Неравенство Браскапа – Либа

В математике неравенство Браскампа –Либа представляет собой одно из двух неравенств. Первый — это результат в геометрии, касающийся интегрируемых функций в n - мерном евклидовом пространстве. $\mathbb {R} ^{n}$. Оно обобщает неравенство Лумиса-Уитни и неравенство Гёльдера . Второй является результатом теории вероятностей, которая дает неравенство концентрации для логарифмически вогнутых распределений вероятностей. Оба названы в честь Герма Яна Браскампа и Эллиота Х. Либа .

Геометрическое неравенство

Зафиксируйте натуральные числа m и n . Для 1 ≤ i ≤ m пусть n _i ∈ N и пусть c _i > 0, так что

$\sum _{i=1}^{m}c_{i}n_{i}=n.$

Выбирайте неотрицательные интегрируемые функции.

$f_{i}\in L^{1}\left(\mathbb {R} ^{n_{i}};[0,+\infty ]\right)$

и сюръективные линейные карты

$B_{i}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n_{i}}.$

Тогда имеет место следующее неравенство:

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}\prod _{i=1}^{m}f_{i}\left(B_{i}x\right)^{c_{i}}\,\mathrm {d} x\leq D^{-1/2}\prod _{i=1}^{m}\left(\int _{\mathbb {R} ^{n_{i}}}f_{i}(y)\,\mathrm {d} y\right)^{c_{i}},$

где D определяется выражением

$D=\inf \left\{\left.{\frac {\det \left(\sum _{i=1}^{m}c_{i}B_{i}^{*}A_{i}B_{i}\right)}{\prod _{i=1}^{m}(\det A_{i})^{c_{i}}}}\right|A_{i}{\text{ is a positive-definite }}n_{i}\times n_{i}{\text{ matrix}}\right\}.$

Другой способ выразить это состоит в том, что константа D — это то, что можно было бы получить, ограничив внимание случаем, в котором каждый $f_{i}$ является центрированной функцией Гаусса, а именно $f_{i}(y)=\exp\{-(y,\,A_{i}\,y)\}$.

Альтернативные формы

Рассмотрим функцию плотности вероятности $p(x)=\exp(-\phi (x))$. Эта функция плотности вероятности $p(x)$ называется логарифмически вогнутой мерой, если $\phi (x)$ функция выпуклая. Такие функции плотности вероятности имеют хвосты, которые затухают экспоненциально быстро, поэтому большая часть массы вероятности находится в небольшой области вокруг моды $p(x)$. Неравенство Браскампа–Либа дает еще одну характеристику компактности $p(x)$ ограничивая среднее значение любой статистики $S(x)$.

Формально пусть $S(x)$ быть любой производной функцией. Неравенство Браскапа – Либа гласит:

$\operatorname {var} _{p}(S(x))\leq E_{p}(\nabla ^{T}S(x)[H\phi (x)]^{-1}\nabla S(x))$

где H — гессиан , а $\nabla$ является символом Наблы .

Неравенство BCCT

Неравенство обобщено в 2008 году. для учета как непрерывных, так и дискретных случаев, а также всех линейных отображений с точными оценками константы.

Определение: датум Браскампа-Либа (баз BL).

• $d,n\geq 1$.

• $d_{1},...,d_{n}\in \{1,2,...,d\}$.

• $p_{1},...,p_{n}\in [0,\infty )$.

• $B_{i}:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d_{i}}$ являются линейными сюръективами с нулевым общим ядром: $\cap _{i}ker(B_{i})=\{0\}$.
• Вызов $(B,p)=(B_{1},...,B_{n},p_{1},...,p_{n})$ данные Браскампа -Либа (BL datum) .

Для любого $f_{i}\in L^{1}(R^{d_{i}})$ с $f_{i}\geq 0$, определять $$BL(B,p,f):={\frac {\int _{H}\prod _{j=1}^{m}\left(f_{j}\circ B_{j}\right)^{p_{j}}}{\prod _{j=1}^{m}\left(\int _{H_{j}}f_{j}\right)^{p_{j}}}}$$

Теперь определим константу Браскампа-Либа для базы данных BL: $$BL(B,p)=\max _{f}BL(B,p,f)$$

Теорема — (BCCT, 2007 г.)

$BL(B,p)$ конечно тогда и только тогда, когда $d=\sum _{i}p_{i}d_{i}$, и для всего подпространства $V$ из $\mathbb {R} ^{d}$,

$$dim(V)\leq \sum _{i}p_{i}dim(B_{i}(V))$$

$BL(B,p)$ достигается гауссианом:

• Если $BL(B,p)$ конечно, то существуют некоторые линейные операторы $A_{i}:\mathbb {R} ^{d_{i}}\to \mathbb {R} ^{d_{i}}$ такой, что $f_{i}=e^{-\langle A_{i}x,x\rangle }$ достигает верхней границы.

• Если $BL(B,p)$ бесконечно, то существует последовательность гауссианов, для которой

$${\frac {\int _{H}\prod _{j=1}^{m}\left(f_{j}\circ B_{j}\right)^{p_{j}}}{\prod _{j=1}^{m}\left(\int _{H_{j}}f_{j}\right)^{p_{j}}}}\to \infty$$

Дискретный случай

Настраивать:

• Конечно порожденные абелевы группы $G,G_{1},...,G_{n}$.

• Групповые гомоморфизмы $\phi _{j}:G\to G_{j}$.

• База данных BL определяется как $(G,G_{1},...,G_{n},\phi _{1},...\phi _{n})$

• $T(G)$ — периодическая подгруппа , т. е. подгруппа элементов конечного порядка.

При такой настройке имеем (теорема 2.4, Теорема 3.12 )

Теорема . Если существует некоторая $s_{1},...,s_{n}\in [0,1]$ такой, что

$$rank(H)\leq \sum _{j}s_{j}rank(\phi _{j}(H))\quad \forall H\leq G$$

Тогда для всех $0\geq f_{j}\in \ell ^{1/s_{j}}(G_{j})$,

$$\left\|\prod _{j}f_{j}\circ \phi _{j}\right\|_{1}\leq |T(G)|\prod _{j}\|f_{j}\|_{1/s_{j}}$$ и в частности,

$$|E|\leq |T(G)|\prod _{j}|\phi _{j}(E)|^{s_{j}}\quad \forall E\subset G$$

Обратите внимание, что константа $|T(G)|$ не всегда тесно.

BL-многогранник

Учитывая дату BL $(B,p)$, условия для $BL(B,p)<\infty$ являются

• $d=\sum _{i}p_{i}d_{i}$, и
• для всего подпространства $V$ из $\mathbb {R} ^{d}$, $$dim(V)\leq \sum _{i}p_{i}dim(B_{i}(V))$$

Таким образом, подмножество $p\in [0,\infty )^{n}$ удовлетворяющий двум вышеуказанным условиям, является замкнутым выпуклым многогранником, заданным линейными неравенствами. Это многогранник BL.

Обратите внимание, что хотя существует бесконечно много возможных вариантов выбора подпространства $V$ из $\mathbb {R} ^{d}$, существует лишь конечное число возможных уравнений $dim(V)\leq \sum _{i}p_{i}dim(B_{i}(V))$, поэтому подмножество представляет собой замкнутый выпуклый многогранник.

Аналогично мы можем определить многогранник BL для дискретного случая.

Связь с другими неравенствами

Геометрическое неравенство Браскапа–Либа.

Случай неравенства Браскапа–Либа, в котором все n _i равны 1, был доказан раньше, чем общий случай. В 1989 году Кейт Болл представил «геометрическую форму» этого неравенства. Предположим, что $(u_{i})_{i=1}^{m}$ являются единичными векторами в $\mathbb {R} ^{n}$ и $(c_{i})_{i=1}^{m}$ положительные числа, удовлетворяющие

$\sum _{i=1}^{m}c_{i}\langle x,u_{i}\rangle u_{i}=x$

для всех $x\in \mathbb {R} ^{n}$, и это $(f_{i})_{i=1}^{m}$ являются положительными измеримыми функциями на $\mathbb {R}$.Затем

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}\prod _{i=1}^{m}f_{i}(\langle x,u_{i}\rangle )^{c_{i}}\,\mathrm {d} x\leq \prod _{i=1}^{m}\left(\int _{\mathbb {R} }f_{i}(t)\,\mathrm {d} t\right)^{c_{i}}.$

Таким образом, когда векторы $(u_{i})$ Разрешив скалярное произведение, неравенство имеет особенно простой вид: константа равна 1, а экстремальные гауссовы плотности идентичны. Болл использовал это неравенство для оценки соотношений объемов и изопериметрических факторов для выпуклых множеств в и.

Существует также геометрическая версия более общего неравенства, в которой отображения $B_{i}$ являются ортогональными проекциями и

$\sum _{i=1}^{m}c_{i}B_{i}=I$

где $I$ является оператором идентификации на $\mathbb {R} ^{n}$.

Неравенство Гёльдера

Возьмем n i = n , B i = id, тождественное отображение на $\mathbb {R} ^{n}$, заменив f i на f 1/ в я
i , и пусть c i знак равно 1/ p i для 1 ≤ i ≤ m . Затем

$\sum _{i=1}^{m}{\frac {1}{p_{i}}}=1$

а из лог-вогнутости определителя D положительно определенной матрицы следует, что = 1. Это дает неравенство Гёльдера в $\mathbb {R} ^{n}$:

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}\prod _{i=1}^{m}f_{i}(x)\,\mathrm {d} x\leq \prod _{i=1}^{m}\|f_{i}\|_{p_{i}}.$

Неравенство Пуанкаре

Неравенство Браскапа – Либа является расширением неравенства Пуанкаре , которое касается только гауссовских распределений вероятностей.

Граница Крамера-Рао

Неравенство Браскапа–Либа также связано с границей Крамера–Рао . В то время как граница Браскампа–Либа является верхней границей, граница Крамера–Рао ограничивает нижнюю границу дисперсии $\operatorname {var} _{p}(S(x))$. Связанные состояния Крамера – Рао

$\operatorname {var} _{p}(S(x))\geq E_{p}(\nabla ^{T}S(x))[E_{p}(H\phi (x))]^{-1}E_{p}(\nabla S(x))\!$.

что очень похоже на неравенство Браскампа–Либа в альтернативной форме, показанной выше.

Ссылки

• Гарднер, Ричард Дж. (2002). «Неравенство Брунна – Минковского» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 39 (3): 355–405. дои : 10.1090/S0273-0979-02-00941-2 .