Кардинал Рэмси

В математике кардинал Рамсея — это определенный вид большого кардинального числа, введенный Эрдёшем и Хайналом (1962) и названный в честь Фрэнка П. Рэмси , чья теорема, называемая теоремой Рамсея, устанавливает, что ω обладает определенным свойством, которое кардиналы Рамсея обобщают на несчетное число. случай.

Пусть [ κ ] ^<ω обозначаем множество всех конечных подмножеств κ . Кардинальное число κ называется Рамсеем, если для любой функции

е : [ к ] ^<ω → {0, 1}

существует множество A мощности κ однородное , по f . есть для каждого n функция f постоянна То на подмножествах n из A. мощности Кардинал κ называется невыразимо Рэмси , если A можно выбрать как стационарное подмножество κ . Кардинал κ называется практически Рамсеем, если для любой функции

е : [ к ] ^<ω → {0, 1}

существует C , замкнутое и неограниченное подмножество κ , так что для каждого λ в C несчетной конфинальности существует неограниченное подмножество λ , однородное для f ; немного более слабым является понятие почти Рамсея однородные множества для f , где требуются порядка типа λ для любого λ < κ .

Существования любого из этих кардиналов Рамсея достаточно, чтобы доказать существование 0 ^#или даже то, что каждое множество ранга меньше κ имеет острое . Это, в свою очередь, подразумевает ложность аксиомы конструктивности Курта Гёделя .

Каждый измеримый кардинал является кардиналом Рэмси, а каждый кардинал Рэмси — кардиналом Роуботтома .

Промежуточным по силе свойством между Рамсеевостью и измеримостью является существование κ -полного нормального неглавного идеала I на κ такого, что для любого A ∉ I и для любой функции

е : [ к ] ^<ω → {0, 1}

существует множество B ⊂ A, не принадлежащее I , однородное по f . Это строго сильнее, чем κ , невыразимо Рэмси.

Определение по k-моделям

Правильный кардинал κ является Рамсеем тогда и только тогда, когда ^[1]^{[ нужен лучший источник ]} для любого множества A ⊂ κ существует транзитивное множество M ⊨ ZFC ^- (т.е. ZFC без аксиомы набора степеней) размера κ с A ∈ M и неглавный ультрафильтр U на булевой алгебре P(κ) ∩ M такой, что:

U является M-ультрафильтром: для любой последовательности ⟨ X _β : β < κ ⟩ ∈ M членов U диагональное пересечение Δ X _β = { α < κ : ∀ β < α ( α ∈ X _β )} ∈ U ,
U слабо аменабельен : для любой последовательности ⟨ X _β : β < κ ⟩ ∈ M подмножеств κ множество { β < κ : X _β ∈ U } ∈ M и
U является σ-полным: пересечение любого счетного семейства членов U снова находится в U .

Ссылки

^ Гитман, Виктория (2008). «Кардиналы типа Рэмси». arXiv : 0801.4723v2 [ math.LO ].

Библиография

Дрейк, Франция (1974). Теория множеств: введение в большие кардиналы (Исследования по логике и основам математики; т. 76) . Elsevier Science Ltd. ISBN компании 0-444-10535-2 .
Эрдеш, Пол ; Хайнал, Андраш (1962), «Некоторые замечания по поводу нашей статьи «О структуре отображений множеств» . Отсутствие двузначной σ-меры для первого несчетного недоступного кардинала», Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae , 13 (1–2): 223–226, doi : 10.1007/BF02033641 , ISSN 0001-5954 , MR 0141603 , S2CID 121179872
Канамори, Акихиро (2003). Высшее бесконечное: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.). Спрингер. ISBN 3-540-00384-3 .

Эта теории множеств статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Гитман, Виктория (2008). «Кардиналы типа Рэмси». arXiv : 0801.4723v2 [ math.LO ].

[1]