Именованная теория множеств

Теория именованных множеств — раздел теоретической математики изучающий структуры имен , . Именованное множество — теоретическое понятие, обобщающее структуру имени, описанную Фреге . Его обобщение соединяет дескриптивистскую теорию имени и его триадную структуру (имя, ощущение и ссылка). с математическими структурами, определяющими математические имена с помощью триплетов. Он использует первое для рассмотрения второго на более высоком абстрактном уровне, который объединяет имя и его связь с математической структурой как сконструированную ссылку. Это позволяет рассматривать все имена в науке и технике как именованные множества или системы именованных множеств.

Неформально, названная теория множеств — это обобщение, изучающее совокупности объектов (возможно, одного объекта), связанных с другими объектами (возможно, с одним объектом). Парадигматическим примером именованного множества является совокупность объектов, связанных с его именем. Математическим примером именованных множеств являются координатные пространства (объекты — это точки, а координаты — имена этих точек), векторные поля на многообразиях (объекты — это точки многообразия, а векторы, присвоенные точкам, — имена этих точек), бинарные отношения между двумя множествами ( объекты — это элементы первого множества, а элементы второго множества — имена) и расслоения (объекты образуют топологическое пространство, имена — из другого топологического пространства, а связь — непрерывная проекция). Язык теории именованных множеств можно использовать для определения всех этих абстрактных объектов.

История

В 20 веке было изобретено множество обобщений множеств, например, нечеткие множества (Zadeh, 1965), или заново открыты, например, мультимножества (Knuth, 1997). В результате эти обобщения создали проблему объединения в основе математики . Концепция именованного набора была создана как решение этой проблемы. Его обобщение математических структур позволило унифицировать все известные обобщения множеств. Позднее было показано, что все основные математические структуры либо представляют собой разновидности именованных множеств, либо построены из именованных множеств.По словам Анеллиса, Бургин и Калужнин представили теоретико-множественные именованные множества в 1983 году, а Бургин представил именованные множества в наиболее общей форме в 1990 году. С тех пор Бургин продолжал развивать эту теорию в серии статей и книге. В 2011 году Зеллвегер применил теорию именованных множеств для моделирования отношений данных в реляционной базе данных для интерфейса конечного пользователя.

Основные понятия

В математике математические структуры могут иметь более одного определения . Таким образом, существует несколько определений именованных множеств, каждое из которых представляет собой определенную конструкцию теории именованных множеств. Неформальное определение является наиболее общим.

Неформальное определение

Именованное множество X имеет форму триады X = ( X , f , I ), в которой X и I два объекта, а f — связь между X и I. — Он представлен фундаментальной триадой на следующей диаграмме.

Элементарную теорию множеств можно изучать неформально и интуитивно, и поэтому ее можно преподавать в начальных школах, используя теоретико-множественные именованные множества и операции с ними.

Аксиоматическое определение

Подобно теории множеств, именованные множества имеют аксиоматические представления. т. е. они определяются системами аксиом и изучаются в аксиоматической теории множеств. Аксиоматические определения теории поименованных множеств показывают, что в отличие от нечетких множеств и мультимножеств , теория поименованных множеств полностью независима от теории множеств или теории категорий, в то время как эти теории естественным образом рассматриваются как подтеории поименованной теории множеств.

Категорическое определение

В категорическом определении именованные множества строятся внутри выбранной (математической) категории аналогично построению теории множеств в топосе. А именно, для данной категории K именованное множество в K представляет собой триаду X = ( X , f , I ), в которой X и I два объекта из K, а f — морфизм между X и I. —

Теоретико-множественное определение

В теоретико-множественном определении именованные множества строятся с использованием множеств, аналогичных конструкциям нечетких множеств или мультимножеств. А именно, теоретико-множественное именованное множество — это триада X = (X, f, I), в которой X и I — два множества, а f — теоретико-множественное соответствие (бинарное отношение) между X и I. Обратите внимание, что не все именованные множества являются теоретико-множественными. Наиболее наглядным примером нетеоретико-множественных именованных множеств являются алгоритмические именованные множества, имеющие вид X = (X, A, I), в которых X и I — два конструктивных объекта, например, наборы слов, и A — алгоритм, который преобразует X в I.

Алгоритмическое определение

В алгоритмическом определении именованный набор A = ( X , A , Y ) состоит из алгоритма A , набора X входных данных и набора Y выходных данных.

Примеры

Примеры из повседневной жизни

Имя . дается человеку, месту или предмету для его идентификации Например, родители могут дать своему ребенку имя, а ученый может дать имя элементу. Примеры именованных наборов включают:

• Люди, их имена и отношения между людьми и их именами.
• Страны, их названия и отношения между странами и их названиями.
• Статьи в энциклопедии, их названия (как названия) и отношения между статьями и их названиями (связь).

Примеры из физики

• Любое физическое поле , например электромагнитное поле , представляет собой именованное множество.

Примеры из математики

Анри Пуанкаре (1908) писал, что без имени не существует ни одного объекта в науке или математике. Примеры таких математических объектов и их имен в качестве приложений именованных наборов включают:

• Бинарные отношения представляют собой теоретико-множественные наборы имен. Уже в 1960 году Бурбаки представлял и исследовал бинарное отношение между множествами А и В в виде множества имен (А, G, В), где G — граф бинарного отношения, т. е. множество пар, для которых первая проекция является подмножеством A, а вторая проекция является подмножеством B (Бурбаки, 1960).
• Функции представляют собой теоретико-множественные наборы имен как частные случаи бинарных отношений.
• Нечеткое множество — это именованное множество (U, m, [0,1]), где U — множество, [0,1] — единичный интервал, а m — функция принадлежности.
• Граф G — это именованное множество (V, E, V), где V — множество вершин (узлов) графа G, а E — множество ребер графа G.
• Расслоение B — это именованное множество (E, p, B) , где топологическое пространство E — это пространство B; топологическое пространство B — база B; и p — топологическая проекция E на B такая, что каждая точка в B имеет окрестность U такую, что p ⁻¹ (b) = F для всех точек b из B и p ⁻¹ (U) гомеоморфно прямому произведению U × F, где F — слой B.

Следовательно, любое множество на самом деле является именованным множеством вида (X, ∈, «X»), где X — множество (без имени), «X» — имя этого множества и соединяет элементы из X с именем» Х». Вот почему любое описание теории множеств начинается с фундаментального бинарного отношения ∈. Следующим является базовое бинарное отношение ⊆ между двумя множествами, называемое отношением подмножества или включением множества. Некоторыми базовыми именованными множествами, имеющими центральное значение, являются пустое именованное множество (уникальное множество, не содержащее ни объектов, ни имен, ни пустой связи), именованное множество натуральных чисел , в котором числа имеют имена на естественных языках и в числовых системах (например, число десять имеет названия: «10», «десять», «1010», «диез», «дикс», «зен», «Х» и многие другие) и набор действительных чисел, в которых записываются числа точки прямой в качестве их названий.

Приложения

Все математические конструкции представляют собой именованные множества или системы именованных множеств. Например, такие разнообразные математические структуры, как графики, многообразия , векторные пространства , натуральные и действительные числа , идентифицируются формально определенными терминами, которые удовлетворяют различным (аксиоматическим) свойствам. Каждое имя и его соответствие математическому выражению его структуры составляют именованное множество. Отношения эквивалентности и порядка , повсеместно встречающиеся в математике, представляют собой бинарные отношения, которые, в свою очередь, являются формально определенными терминами, соответствующими математическим структурам, представляя систему именованных множеств.

В основе всех областей науки и техники лежит математика. В общем, в этих областях существуют явные и неявные применения именованных множеств. Например, любая классификация или номенклатура, такая как Международный кодекс ботанической номенклатуры (2000 г.), представляет собой явно названный набор, в котором отдельные термины четко определены. Другими примерами явного применения именованных наборов являются:

• Теория расслоений в топологии
• Теория перечислений в информатике
• Математические модели в эпистемологии и методологии науки

Примеры неявного применения именованных наборов включают:

• Реляционные базы данных
• Маркировка и маркировка в Интернете , которая приобрела широкую популярность благодаря развитию социальных сетей , блогов , сайтов для обмена фотографиями и закладок.
• Математическая лингвистика

В случае с реляционными базами данных применение именованных наборов выявило неявный единый шаблон отношений данных, скрытый в базе данных, называемый Алеф . Это абстрактная концепция, которая обобщает вездесущие отношения данных «один-к-одному» и «один-ко-многим», встречающиеся во всей базе данных.

См. также

• Нечеткая концепция
• Нечеткая математика
• Операции с нечетким множеством
• Грубый набор
• Мультисет
• Теория категорий
• Теория множеств
• Реляционная модель

Библиография

• Айгнер, М. Комбинаторная теория, Springer Verlag, Нью-Йорк/Берлин, 1979.
• Анеллис, Ирвинг Х. (1991), «Примечание редактора: Бургин и теория именованных множеств», Modern Logic. Международный журнал истории математической логики, теории множеств и оснований математики 2 (1): 1–2, ISSN   1047-5982 , МР 1127352
• Бурбаки, Н. Теория множеств, Герман, Париж, 1960.
• Бургин М. Теория именованных множеств как фундаментальная основа математики, В: Структуры в математических теориях, Сан-Себастьян, 1990, стр. 417–420 ( http://www.blogg.org/blog-30140-date-2005- 10-26.html )
• Бургин, М. (1992) Алгебраические структуры многокардинальных чисел, в «Проблемах теории групп и гомологической алгебры», Ярославль, стр. 3–20.
• Бургин, М. (1995) Именованные множества как основной инструмент в эпистемологии, Epistemologia, т. XVIII, стр. 87–110.
• Бургин, М. (2001) «Откуда мы знаем, на что способны технологии», Communications of the ACM, т. 44, № 11, стр. 82–88.
• Бургин, М. (2011), Теория именованных множеств, Развитие математических исследований, Nova Science Pub Inc., ISBN   978-1-61122-788-8 , https://books.google.com/books?id=1CpiewAACAAJ.
• Бургин М. и Зеллвегер П. (2005) Единый подход к представлению данных, в материалах Международной конференции 2005 г. по основам компьютерных наук, CSREA Press, Лас-Вегас, стр. 3–9*
• Черч, А. Введение в математическую логику, Princeton University Press, Принстон, 1956 г.
• Каннигам, В. Объекты, шаблоны, Wiki и XP: все это системы имен, OOPSLA 2004, Ванкувер, Канада, 2004 г. ( http://www.oopsla.org/2004/ ).
• Далла Кьяра, М.Л., и Торальдо ди Франсия, Г., «Люди, виды и имена в физике», в Корси, Г. и др. (ред.), Преодоление разрыва: философия, математика, физика, Kluwer Ac. Изд., 1993. С. 261–283.
• Ирлам, Г. Нейминг, 1995 (электронное издание: http://www.base.com/gordoni/web/naming.html )
• Кнут, Д. Искусство компьютерного программирования, т. 2: Получисловые алгоритмы, Аддисон-Уэсли, Ридинг, Массачусетс, 1997 г.
• Мартин, Дж. Организация компьютерных баз данных, Прентис-Холл, 1977 г.
• Заде, Л. (1965) Нечеткие множества, информация и управление, т. 8, № 3, стр. 338–353.
• Зеллвегер, HP (2011) Визуализация знаний содержимого базы данных, созданная с помощью таксономии базы данных, 15-я Международная конференция по визуализации информации, стр. 323–328, 2011 г. ISBN   978-0-7695-4476-2
• Зеллвегер, Пол. (2016), Связь данных Алеф в структурированных данных, Дерево в визуализации дерева. Визуальный анализ и анализ данных. Сан-Франциско, Калифорния, 14 февраля 2016 г., с. 1-1(1), ISSN   2470-1173 .