Постоянная эластичность замещения

Постоянная эластичность замещения ( ПЭЗ ) в экономике является свойством некоторых производственных функций и функций полезности . Несколько экономистов участвовали в этой теме и внесли свой вклад в окончательный вывод константы. В их число входят Том Маккензи, Джон Хикс и Джоан Робинсон . Важнейшим экономическим элементом этой меры является то, что она предоставила производителю четкое представление о том, как перемещаться между различными способами или типами производства.

В частности, оно возникает в определенном типе агрегаторной функции, которая объединяет два или более типов потребительских товаров или два или более типов производственных ресурсов в совокупное количество. Эта агрегаторная функция демонстрирует постоянную эластичность замещения .

Производственная функция ЕЭП

Несмотря на наличие нескольких факторов производства в взаимозаменяемости, наиболее распространенными являются формы эластичности замещения. В отличие от ограничения прямой эмпирической оценки, постоянная эластичность замещения проста в использовании и, следовательно, широко используется. Макфадден утверждает это;

Допущение постоянства ES является ограничением на форму производственных возможностей, и можно охарактеризовать класс производственных функций, обладающих этим свойством. Это было сделано Эрроу-Ченери-Минхасом-Солоу для случая двухфакторного производства.

CES Производственная функция представляет собой неоклассическую производственную функцию , которая демонстрирует постоянную эластичность замещения . Другими словами, технология производства имеет постоянное процентное изменение пропорций факторов (например, труда и капитала ) из-за процентного изменения предельной нормы технического замещения . Двухфакторная производственная функция CES (капитал, труд), введенная Солоу , и позже ставший популярным благодаря Эрроу , Ченери , Минхасу и Солоу :

$Q=F\cdot \left(a\cdot K^{\rho }+(1-a)\cdot L^{\rho }\right)^{\frac {\upsilon }{\rho }}$

где

• $Q$ = Количество продукции
• $F$ = Факторная производительность
• $a$ = Параметр общего доступа
• $K$, $L$ = Количества первичных факторов производства (капитала и труда)
• $\rho$ = ${\frac {\sigma -1}{\sigma }}$ = Параметр замены
• $\sigma$ = ${\frac {1}{1-\rho }}$ = Эластичность замещения
• $\upsilon$ = степень однородности производственной функции. Где $\upsilon$ = 1 (постоянный возврат к масштабу) , $\upsilon$ < 1 (убывающая отдача от масштаба) , $\upsilon$ > 1 (возрастающая отдача от масштаба) .

Как следует из названия, производственная функция CES демонстрирует постоянную эластичность замещения между капиталом и трудом. Леонтьева, линейная функция и функция Кобба–Дугласа являются частными случаями производственной функции CES. То есть,

• Если $\rho$ приближается к 1, мы имеем линейную или совершенную функцию замены;
• Если $\rho$ приближается к нулю в пределе, получаем производственную функцию Кобба–Дугласа ;
• Если $\rho$ приближаясь к отрицательной бесконечности, мы получаем Леонтьевскую или идеально дополняющую производственную функцию.

Общая форма производственной функции CES с n входами выглядит следующим образом:

$Q=F\cdot \left[\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}^{r}\ \right]^{\frac {1}{r}}$

где

• $Q$ = Количество продукции
• $F$ = Факторная производительность
• $a_{i}$ = Общий параметр входа i, $\sum _{i=1}^{n}a_{i}=1$
• $X_{i}$ = Количества факторов производства (i = 1,2...n)
• $s={\frac {1}{1-r}}$ = Эластичность замещения.

Расширение функциональной формы CES (Солоу) для включения нескольких факторов производства создает некоторые проблемы. Однако не существует абсолютно общего способа сделать это. Удзава показал, что единственные возможные производственные функции n-факторов (n>2) с постоянной частичной эластичностью замещения требуют, чтобы либо все эластичности между парами факторов были одинаковыми, либо, если они различаются, все они должны быть равны друг другу, а все остальные эластичности должны быть равны. единство. Это справедливо для любой производственной функции. Это означает, что использование функциональной формы CES для более чем двух факторов обычно будет означать, что среди всех факторов не существует постоянной эластичности замещения.

Вложенные функции CES обычно встречаются в моделях частичного равновесия и общего равновесия . Различные гнезда (уровни) позволяют ввести соответствующую эластичность замещения.

Функция полезности CES

Та же самая функциональная форма CES возникает как функция полезности в теории потребления . Например, если существуют $n$ виды потребительских товаров $x_{i}$, то совокупное потребление $X$ можно определить с помощью агрегатора CES:

$X=\left[\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{\frac {1}{s}}x_{i}^{\frac {s-1}{s}}\ \right]^{\frac {s}{s-1}}.$

И снова коэффициенты $a_{i}$ являются общими параметрами, и $s$ – эластичность замещения. Поэтому потребительские товары $x_{i}$ являются идеальными заменителями, когда $s$ приближается к бесконечности и идеально дополняет, когда $s$ приближается к нулю. В случае, когда $s$ приближается к единице — это снова предельный случай, когда применяется правило Лопиталя . Агрегатор CES также иногда называют агрегатором Армингтона , который обсуждался Армингтоном (1969).

Функции полезности CES представляют собой частный случай гомотетических предпочтений .

Ниже приведен пример функции полезности CES для двух товаров: $x$ и $y$, с равными долями:

$u(x,y)=(x^{r}+y^{r})^{1/r}.$

Функция расходов в этом случае имеет вид:

$e(p_{x},p_{y},u)=(p_{x}^{r/(r-1)}+p_{y}^{r/(r-1)})^{(r-1)/r}\cdot u.$

Косвенная функция полезности является ее обратной:

$v(p_{x},p_{y},I)=(p_{x}^{r/(r-1)}+p_{y}^{r/(r-1)})^{(1-r)/r}\cdot I.$

Функции спроса :

$x(p_{x},p_{y},I)={\frac {p_{x}^{1/(r-1)}}{p_{x}^{r/(r-1)}+p_{y}^{r/(r-1)}}}\cdot I,$

$y(p_{x},p_{y},I)={\frac {p_{y}^{1/(r-1)}}{p_{x}^{r/(r-1)}+p_{y}^{r/(r-1)}}}\cdot I.$

Функция полезности CES — это один из случаев, рассмотренных Диксит и Стиглиц (1977) в их исследовании оптимального разнообразия продуктов в контексте монополистической конкуренции .

Обратите внимание на разницу между полезностью CES и изоэластичной полезностью : функция полезности CES — это порядковая функция полезности , которая представляет предпочтения в отношении определенных наборов потребительских товаров, тогда как изоэластичная функция полезности — это кардинальная функция полезности, которая представляет предпочтения в лотереях. Косвенная (двойная) функция полезности CES использовалась для получения систем спроса на бренды, согласованных с полезностью, в которых спрос на категории определяется эндогенно многокатегорийной косвенной (двойной) функцией полезности CES. Было также показано, что предпочтения CES самодвойственны и что как первичные, так и двойственные предпочтения CES образуют системы кривых безразличия, которые могут демонстрировать любую степень выпуклости.

Внешние ссылки

• Анатомия производственных функций типа CES в 3D
• Решение закрытой формы для фирмы с N-мерной технологией CES
• Функция дохода монополистов