Полуалгебраическое множество

В математике базовый полуалгебраический набор — это набор, определяемый полиномиальными равенствами и полиномиальными неравенствами, а полуалгебраический набор — это конечное объединение основных полуалгебраических множеств. Полуалгебраическая функция — это функция с полуалгебраическим графиком . Такие множества и функции в основном изучаются в реальной алгебраической геометрии , которая является подходящей основой для алгебраической геометрии над действительными числами.

Определение

Позволять $\mathbb {F}$ быть настоящим закрытым полем (например $\mathbb {F}$ может быть полем действительных чисел $\mathbb {R}$).Подмножество ​ $S$ из $\mathbb {F} ^{n}$ является полуалгебраическим множеством , если оно представляет собой конечное объединение множеств, определяемых полиномиальными равенствами вида $\{(x_{1},...,x_{n})\in \mathbb {F} ^{n}\mid P(x_{1},...,x_{n})=0\}$ и множеств, определяемых полиномиальными неравенствами вида $\{(x_{1},...,x_{n})\in \mathbb {F} ^{n}\mid P(x_{1},...,x_{n})>0\}.$

Свойства

Подобно алгебраическим подмногообразиям , конечные объединения и пересечения полуалгебраических множеств по-прежнему являются полуалгебраическими множествами. Более того, в отличие от подмногообразий, дополнение полуалгебраического множества снова является полуалгебраическим. Наконец, что наиболее важно, теорема Тарского-Зейденберга утверждает, что они также замкнуты относительно операции проецирования: другими словами, полуалгебраическое множество, спроектированное на линейное подпространство, дает другое полуалгебраическое множество (как в случае с устранением квантора ). Вместе эти свойства означают, что полуалгебраические множества образуют o-минимальную структуру на R .

Говорят, что полуалгебраическое множество (или функция) определено над подкольцом A кольца R , если существует некоторое описание, как в определении, где полиномы могут быть выбраны так, чтобы иметь коэффициенты из A .

На плотном открытом подмножестве полуалгебраического множества S это (локально) подмногообразие . Можно определить размерность S как наибольшую размерность в точках, в которых оно является подмногообразием. Нетрудно видеть, что полуалгебраическое множество лежит внутри алгебраического подмногообразия той же размерности.

См. также

• Неравенство Лоясевича
• Экзистенциальная теория реальности
• Субаналитический набор
• кусочно-алгебраическое пространство

Ссылки

• Бочнак Дж.; Косте, М.; Рой, М.-Ф. (1998), Реальная алгебраическая геометрия , Берлин: Springer-Verlag, ISBN  9783662037188 .
• Бирстон, Эдвард; Милман, Пьер Д. (1988), «Полуаналитические и субаналитические наборы» , Inst. Hautes Études Sci. Опубл. Математика. , 67 : 5–42, doi : 10.1007/BF02699126 , MR   0972342 , S2CID   56006439 .
• ван ден Дрис, Л. (1998), Ручная топология и o -минимальные структуры , Cambridge University Press, ISBN  9780521598385 .

Внешние ссылки

• Страница ПланетыМатематики