Теорема Кэли

В теории групп теорема Кэли , названная в честь Артура Кэли что каждая группа $G$ изоморфна , подгруппе , утверждает группы симметричной . ^{[ 1 ]} Более конкретно, $G$ изоморфна подгруппе симметрической группы $\operatorname {Sym} (G)$ чьи элементы являются перестановками основного набора $G$ . Явно,

для каждого $g\in G$ умножения слева на $g$ , отображение $\ell _{g}\colon G\to G$ отправка каждого $x$ в $gx$ является перестановкой G $элемента$ и
карта $G\to \operatorname {Sym} (G)$ отправка каждого элемента $g$ в $\ell _{g}$ является инъективным гомоморфизмом , поэтому он определяет изоморфизм группы $G$ на подгруппу группы $\operatorname {Sym} (G)$ .

Гомоморфизм $G\to \operatorname {Sym} (G)$ также можно понимать как возникающее в результате действия на $левого перемещения G$ базовом множестве $G$ . ^{[ 2 ]}

Когда $G$ конечен, $\operatorname {Sym} (G)$ тоже конечно. Доказательство теоремы Кэли в этом случае показывает, что если $G$ — конечная группа порядка $n$ , то $G$ изоморфна подгруппе стандартной симметрической группы. $S_{n}$ . Но $G$ также может быть изоморфна подгруппе меньшей симметрической группы: $S_{m}$ для некоторых $m<n$ ; например, группа порядка 6 $G=S_{3}$ не только изоморфна подгруппе из $S_{6}$ , но также (тривиально) изоморфна подгруппе из $S_{3}$ . ^{[ 3 ]} Проблема нахождения симметрической группы минимального порядка, в которую вкладывается данная группа $G,$ весьма сложна. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

Альперин и Белл отмечают, что «в целом тот факт, что конечные группы вложены в симметрические группы, не повлиял на методы, используемые для изучения конечных групп». ^{[ 6 ]}

Когда $G$ бесконечно, $\operatorname {Sym} (G)$ бесконечно, но теорема Кэли по-прежнему применима.

История

Хотя это кажется достаточно элементарным, в то время современных определений не существовало, и когда Кэли ввел то, что сейчас называется группами, не сразу было ясно, что это эквивалентно ранее известным группам, которые теперь называются группами перестановок . Теорема Кэли объединяет эти два понятия.

Хотя Бернсайд ^{[ 7 ]} приписывает теорему в Иорданию , ^{[ 8 ]} Эрик Нуммела ^{[ 9 ]} тем не менее утверждает, что стандартное название — «Теорема Кэли» — на самом деле подходит. Кэли в своей оригинальной статье 1854 года ^{[ 10 ]} показал, что соответствие в теореме взаимно однозначно, но ему не удалось явно показать, что это гомоморфизм (и, следовательно, вложение). Однако Нуммела отмечает, что Кэли в то время сделал этот результат известным математическому сообществу, таким образом, примерно на 16 лет раньше Джордана.

Теорема была позже опубликована Вальтером Дейком в 1882 году. ^{[ 11 ]} и приписывается Дайку в первом издании книги Бернсайда. ^{[ 12 ]}

Фон

Перестановка множества $A$ является биективной функцией из $A$ в $A$ . Набор всех перестановок $A$ образует группу при композиции функций , называемую симметричной группой на $A$ и записываемую как $\operatorname {Sym} (A)$ . ^{[ 13 ]} В частности, если взять $A$ в качестве основного множества группы $G,$ получится симметричная группа, обозначаемая $\operatorname {Sym} (G)$ .

Доказательство теоремы

Если g — любой элемент группы G с операцией ∗, рассмотрим функцию f _g : G → G , определенную формулой f _g ( x ) = g ∗ x . Благодаря существованию обратных эта функция имеет и обратную: $f_{g^{-1}}$ . Таким образом, умножение на g действует как биективная функция. Таким образом, fg _{и поэтому} является перестановкой G является членом Sym( G ).

Множество K = { f _g : g ∈ G } является подгруппой Sym( G ), которая изоморфна G . Самый быстрый способ установить это — рассмотреть функцию T : G → Sym( G ) с T ( g ) = f _g для каждого g в G . T является гомоморфизмом группы , потому что (используя · для обозначения композиции в Sym( G )):

(f_{g}\cdot f_{h})(x)=f_{g}(f_{h}(x))=f_{g}(h*x)=g*(h*x)=(g*h)*x=f_{g*h}(x),

для всех x в G и, следовательно:

T(g)\cdot T(h)=f_{g}\cdot f_{h}=f_{g*h}=T(g*h).

Гомоморфизм T инъективен , поскольку T ( g ) = id _G (единичный элемент Sym( G )) означает, что g ∗ x = x для всех x в G , и если взять x как единичный элемент e группы G, то g = g ∗ e = e , т. е. ядро тривиально. Альтернативно, T также инъективен , поскольку из g ∗ x = g ′ ∗ x следует, что g = g ′ (поскольку каждая группа сокращаема ).

Таким образом, изоморфна образу T , который является подгруппой K. G

T называют регулярным представлением G . иногда

Альтернативная установка доказательства

Альтернативная настройка использует язык групповых действий . Мы рассматриваем группу $G$ как действующий на себя путем левого умножения, т.е. $g\cdot x=gx$ , который имеет представление перестановок, скажем $\phi :G\to \mathrm {Sym} (G)$ .

Представление верно, если $\phi$ инъективен, то есть если ядро $\phi$ тривиально. Предполагать $g\in \ker \phi$ . Затем, $g=ge=g\cdot e=e$ . Таким образом, $\ker \phi$ тривиально. Результат следует из первой теоремы об изоморфизме , из которой получаем $\mathrm {Im} \,\phi \cong G$ .

Замечания о регулярном представлении группы

Единичный элемент группы соответствует идентичной перестановке. Все остальные элементы группы соответствуют нарушениям : перестановкам, которые не оставляют неизменным ни один элемент. Поскольку это также относится к степеням элемента группы, порядок которых ниже порядка этого элемента, каждый элемент соответствует перестановке, состоящей из циклов одинаковой длины: эта длина является порядком этого элемента. Элементы в каждом цикле образуют правый смежный класс подгруппы, порожденной элементом.

Примеры регулярного представления группы

$\mathbb {Z} _{2}=\{0,1\}$ со сложением по модулю 2; элемент группы 0 соответствует тождественной перестановке e, элемент группы 1 — перестановке (12) (см. обозначение цикла ). Например, 0 +1 = 1 и 1+1 = 0, поэтому ${\textstyle 1\mapsto 0}$ и ${\textstyle 0\mapsto 1,}$ как и при перестановке.

$\mathbb {Z} _{3}=\{0,1,2\}$ со сложением по модулю 3; Групповой элемент 0 соответствует тождественной перестановке e, групповой элемент 1 — перестановке (123), а групповой элемент 2 — перестановке (132). Например, 1 + 1 = 2 соответствует (123)(123) = (132).

$\mathbb {Z} _{4}=\{0,1,2,3\}$ со сложением по модулю 4; элементы соответствуют е, (1234), (13)(24), (1432).

Элементы четырехгруппы Клейна {e, a, b, c} соответствуют e, (12)(34), (13)(24) и (14)(23).

S ₃ ( группа диэдра порядка 6 ) - это группа всех перестановок 3 объектов, а также группа перестановок из 6 элементов группы, и последняя - это то, как она реализуется посредством своего регулярного представления.

*	и	а	б	с	д	ж	перестановка
и	и	а	б	с	д	ж	и
а	а	и	д	ж	б	с	(12)(35)(46)
б	б	ж	и	д	с	а	(13)(26)(45)
с	с	д	ж	и	а	б	(14)(25)(36)
д	д	с	а	б	ж	и	(156)(243)
ж	ж	б	с	а	и	д	(165)(234)

Более общее заявление

Теорема: Пусть $G$ — группа и $H$ — подгруппа. Позволять $G/H$ — множество левых смежных классов $H$ в $G$ . Пусть $N$ — ядро H $G$ в $G.$ определенное как пересечение сопряженных $H$ в $нормальное$ , Тогда факторгруппа $G/N$ изоморфна подгруппе $\operatorname {Sym} (G/H)$ .

Особый случай $H=1$ — это оригинальная теорема Кэли.

См. также

Теорема Вагнера–Престона является аналогом для инверсных полугрупп.
Теорема Биркгофа о представлении , аналогичный результат в теории порядка.
Теорема Фрухта : каждая конечная группа является группой автоморфизмов графа.
Лемма Йонеды , обобщение теоремы Кэли в теории категорий.
Теорема о представлении

Примечания

^ Джейкобсон (2009 , стр. 38)
^ Джейкобсон (2009 , стр. 72, пр. 1)
^ Питер Дж. Кэмерон (2008). Введение в алгебру, второе издание . Издательство Оксфордского университета. п. 134 . ISBN 978-0-19-852793-0 .
^ Джонсон, Д.Л. (1971). «Минимальные перестановочные представления конечных групп». Американский журнал математики . 93 (4): 857–866. дои : 10.2307/2373739 . JSTOR 2373739 .
^ Гречкосеева, М.А. (2003). «О минимальных представлениях перестановок классических простых групп». Сибирский математический журнал . 44 (3): 443–462. дои : 10.1023/А:1023860730624 . S2CID 126892470 .
^ Ж. Л. Альперин; Роуэн Б. Белл (1995). Группы и представления . Спрингер. п. 29 . ISBN 978-0-387-94525-5 .
^ Бернсайд, Уильям (1911), Теория групп конечного порядка (2-е изд.), Кембридж, стр. 22, ISBN 0-486-49575-2 {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Джордан, Камилла (1870), Трактат о заменах и алгебраических уравнениях , Париж: Готер-Вилларс
^ Нуммела, Эрик (1980), «Теорема Кэли для топологических групп», American Mathematical Monthly , 87 (3), Математическая ассоциация Америки: 202–203, doi : 10.2307/2321608 , JSTOR 2321608
^ Кэли, Артур (1854), «К теории групп в зависимости от символического уравнения θ ^н=1» , Философский журнал , 7 (42): 40–47
^ фон Дейк, Вальтер (1882), « Теоретико-групповые исследования», Mathematical Annals , 20 (1): 30, doi : 10.1007/BF01443322 , hdl : 2027/njp.32101075301422 , ISSN 0025-5831 , S2CID 179178038 . (на немецком языке)
^ Бернсайд, Уильям (1897), Теория групп конечного порядка (1-е изд.), Кембридж, стр. 22 {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Джейкобсон (2009 , стр. 31)

Ссылки

Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра (2-е изд.), Дувр, ISBN 978-0-486-47189-1 .

[1] Джейкобсон (2009 , стр. 38)

[2] Джейкобсон (2009 , стр. 72, пр. 1)

[Cameron2008-3] Питер Дж. Кэмерон (2008). Введение в алгебру, второе издание . Издательство Оксфордского университета. п. 134 . ISBN 978-0-19-852793-0 .

[4] Джонсон, Д.Л. (1971). «Минимальные перестановочные представления конечных групп». Американский журнал математики . 93 (4): 857–866. дои : 10.2307/2373739 . JSTOR 2373739 .

[5] Гречкосеева, М.А. (2003). «О минимальных представлениях перестановок классических простых групп». Сибирский математический журнал . 44 (3): 443–462. дои : 10.1023/А:1023860730624 . S2CID 126892470 .

[AlperinBell1995-6] Ж. Л. Альперин; Роуэн Б. Белл (1995). Группы и представления . Спрингер. п. 29 . ISBN 978-0-387-94525-5 .

[7] Бернсайд, Уильям (1911), Теория групп конечного порядка (2-е изд.), Кембридж, стр. 22, ISBN 0-486-49575-2 {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[8] Джордан, Камилла (1870), Трактат о заменах и алгебраических уравнениях , Париж: Готер-Вилларс

[9] Нуммела, Эрик (1980), «Теорема Кэли для топологических групп», American Mathematical Monthly , 87 (3), Математическая ассоциация Америки: 202–203, doi : 10.2307/2321608 , JSTOR 2321608

[10] Кэли, Артур (1854), «К теории групп в зависимости от символического уравнения θ ^н=1» , Философский журнал , 7 (42): 40–47

[11] фон Дейк, Вальтер (1882), « Теоретико-групповые исследования», Mathematical Annals , 20 (1): 30, doi : 10.1007/BF01443322 , hdl : 2027/njp.32101075301422 , ISSN 0025-5831 , S2CID 179178038 . (на немецком языке)

[12] Бернсайд, Уильям (1897), Теория групп конечного порядка (1-е изд.), Кембридж, стр. 22 {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[13] Джейкобсон (2009 , стр. 31)

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]