Максимальная поверхность

В математической области дифференциальной геометрии максимальная поверхность — это своего рода подмногообразие лоренцева многообразия . Точнее, для лоренцева многообразия ( M , g ) максимальная поверхность — это пространственноподобное подмногообразие M которого , средняя кривизна равна нулю. Таким образом, максимальные поверхности в лоренцевой геометрии напрямую аналогичны минимальным поверхностям в римановой геометрии . Разница в терминологии между двумя настройками связана с тем фактом, что небольшие области на максимальных поверхностях являются локальными максимизаторами функционала площади, а небольшие области на минимальных поверхностях являются локальными минимизаторами функционала площади.

В 1976 году Шиу-Юэнь Ченг и Шинг-Тунг Яу решили «проблему Бернштейна» для максимальных гиперповерхностей пространства Минковского , которые правильно вложены, показав, что любая такая гиперповерхность является плоскостью. Это была часть работы, за которую Яу был награжден медалью Филдса в 1982 году. Задача Бернштейна была первоначально поставлена ​​Эухенио Калаби в 1970 году, который доказал некоторые частные случаи результата. Простые примеры показывают, что существует ряд гиперповерхностей пространства Минковского нулевой средней кривизны, которые не могут быть пространственноподобными.

Расширяя методы Ченга и Яу, Кадзуо Акутагава рассмотрел случай пространственноподобных гиперповерхностей постоянной средней кривизны в лоренцевых многообразиях положительной постоянной кривизны, таких как пространство де Ситтера . Луис Алиас, Альфонсо Ромеро и Мигель Санчес доказали версию результата Ченга и Яу, заменив пространство Минковского искривленным произведением замкнутого риманова многообразия с интервалом.

В качестве задачи уравнений в частных производных Роберт Бартник и Леон Саймон изучили краевую задачу для максимальных поверхностей в пространстве Минковского. Общее существование максимальных гиперповерхностей в асимптотически плоских лоренцевых многообразиях, принадлежащее Бартнику, имеет важное значение в знаменитом доказательстве Деметриоса Христодулу и Серджиу Кляйнермана нелинейной устойчивости пространства Минковского относительно уравнений поля Эйнштейна . Они используют максимальное разрезание общего пространства-времени; тот же подход распространен в числовой теории относительности .

Ссылки

Сноски

Книги

• Джон К. Бим, Пол Э. Эрлих и Кевин Л. Исли. Глобальная лоренцева геометрия. Второе издание. Монографии и учебники по чистой и прикладной математике, 202. Marcel Dekker, Inc., Нью-Йорк, 1996. xiv+635 стр. ISBN   0-8247-9324-2
• Ивонн Шоке-Брюа. Общая теория относительности и уравнения Эйнштейна. Оксфордские математические монографии. Oxford University Press, Оксфорд, 2009. xxvi+785 стр. ISBN   978-0-19-923072-3
• Деметриос Христодулу и Серджиу Кляйнерман. Глобальная нелинейная устойчивость пространства Минковского. Принстонская математическая серия, 41. Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси, 1993. x + 514 стр. ISBN   0-691-08777-6
• Эрик Гургульон. Формализм 3+1 в общей теории относительности. Основы численной теории относительности. Конспект лекций по физике, 846. Springer, Heidelberg, 2012. xviii+294 стр. ISBN   978-3-642-24524-4

Статьи

• Кадзуо Акутагава. О пространственноподобных гиперповерхностях постоянной средней кривизны в пространстве де Ситтера. Математика. З. 196 (1987), вып. 1, 13–19. два : 10.1007/BF01179263
• Луис Х. Алиас, Альфонсо Ромеро и Мигель Санчес. Единственность полных пространственноподобных гиперповерхностей постоянной средней кривизны в обобщенном пространстве-времени Робертсона–Уокера. Общая теория относительности: Гравитация 27 (1995), вып. 1, 71–84. дои : 10.1007/BF02105675
• Роберт Бартник и Леон Саймон. Пространственноподобные гиперповерхности с заданными граничными значениями и средней кривизной. Комм. Математика. Физ. 87 (1982), вып. 1, 131–152. дои : 10.1007/bf01211061
• Эудженио Калаби. Примеры задач Бернштейна для некоторых нелинейных уравнений. Учеб. Симпозиумы. Чистая математика., Vol. XV (1970), стр. 223–230. Глобальный анализ. амер. Математика. Соц., Провиденс, Род-Айленд два : 10.1090/pspum/015
• Шиу Юэнь Чэн и Шинг Тун Яу. Максимальные пространственноподобные гиперповерхности в пространствах Лоренца–Минковского. Энн. математики. (2) 104 (1976), вып. 3, 407–419. дои : 10.2307/1970963
• Осаму Кобаяши. Максимальные поверхности в трехмерном пространстве Минковского L ³ . Токио Дж. Математика. 6 (1983), вып. 2, 297–309. два : 10.3836/tjm/1270213872