Расширенное z-преобразование

В математике и обработке сигналов расширенное z-преобразование является расширением z-преобразования и позволяет включать идеальные задержки, не кратные времени выборки . Он принимает форму

$F(z,m)=\sum _{k=0}^{\infty }f(kT+m)z^{-k}$

где

• T — период выборки
• m («параметр задержки») — это доля периода выборки. $[0,T].$

Он также известен как модифицированное z-преобразование .

Усовершенствованное z-преобразование широко применяется, например, для точного моделирования задержек обработки при цифровом управлении .

Характеристики

Если параметр задержки m считается фиксированным, тогда все свойства z-преобразования сохраняются для расширенного z-преобразования.

Линейность

${\mathcal {Z}}\left\{\sum _{k=1}^{n}c_{k}f_{k}(t)\right\}=\sum _{k=1}^{n}c_{k}F_{k}(z,m).$

Сдвиг времени

${\mathcal {Z}}\left\{u(t-nT)f(t-nT)\right\}=z^{-n}F(z,m).$

Демпфирование

${\mathcal {Z}}\left\{f(t)e^{-a\,t}\right\}=e^{-a\,m}F(e^{a\,T}z,m).$

Умножение времени

${\mathcal {Z}}\left\{t^{y}f(t)\right\}=\left(-Tz{\frac {d}{dz}}+m\right)^{y}F(z,m).$

Теорема об окончательной ценности

$\lim _{k\to \infty }f(kT+m)=\lim _{z\to 1}(1-z^{-1})F(z,m).$

Пример

Рассмотрим следующий пример, где $f(t)=\cos(\omega t)$:

${\begin{aligned}F(z,m)&={\mathcal {Z}}\left\{\cos \left(\omega \left(kT+m\right)\right)\right\}\\&={\mathcal {Z}}\left\{\cos(\omega kT)\cos(\omega m)-\sin(\omega kT)\sin(\omega m)\right\}\\&=\cos(\omega m){\mathcal {Z}}\left\{\cos(\omega kT)\right\}-\sin(\omega m){\mathcal {Z}}\left\{\sin(\omega kT)\right\}\\&=\cos(\omega m){\frac {z\left(z-\cos(\omega T)\right)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}-\sin(\omega m){\frac {z\sin(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}\\&={\frac {z^{2}\cos(\omega m)-z\cos(\omega (T-m))}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}.\end{aligned}}$

Если $m=0$ затем $F(z,m)$ сводится к преобразованию

$F(z,0)={\frac {z^{2}-z\cos(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}},$

что, очевидно, является просто z -преобразованием $f(t)$.

Ссылки

• Жюри, Элиаху Ибрахам (1973). Теория и применение метода z-преобразования . Кригер. ISBN  0-88275-122-0 . OCLC   836240 .