Тензор структуры

В математике структурный тензор , также называемый матрицей второго момента , представляет собой матрицу, из градиента функции полученную . Он описывает распределение градиента в заданной окрестности вокруг точки и делает информацию инвариантной к координатам наблюдения. Тензор структуры часто используется при обработке изображений и компьютерном зрении .

Тензор двумерной структуры

Непрерывная версия

Для функции $I$ двух переменных p = ( x , y ) структурный тензор представляет собой матрицу 2 × 2

$$S_{w}(p)={\begin{bmatrix}\int w(r)(I_{x}(p-r))^{2}\,dr&\int w(r)I_{x}(p-r)I_{y}(p-r)\,dr\\[10pt]\int w(r)I_{x}(p-r)I_{y}(p-r)\,dr&\int w(r)(I_{y}(p-r))^{2}\,dr\end{bmatrix}}$$где $I_{x}$ и $I_{y}$ являются частными производными $I$ относительно x и y ; интегралы распространяются по плоскости $\mathbb {R} ^{2}$; и w — некоторая фиксированная «оконная функция» (например, размытие по Гауссу ), распределение по двум переменным. Обратите внимание, что матрица $S_{w}$ сам по себе является функцией p = ( x , y ) .

Приведенную выше формулу можно записать также как ${\textstyle S_{w}(p)=\int w(r)S_{0}(p-r)\,dr}$, где $S_{0}$ — матричная функция, определяемая формулой $$S_{0}(p)={\begin{bmatrix}(I_{x}(p))^{2}&I_{x}(p)I_{y}(p)\\[10pt]I_{x}(p)I_{y}(p)&(I_{y}(p))^{2}\end{bmatrix}}$$

Если градиент $\nabla I=(I_{x},I_{y})^{\text{T}}$ из $I$ рассматривается как матрица 2 × 1 (одностолбцовая), где $(\cdot )^{\text{T}}$ обозначает операцию транспонирования , превращающую вектор-строку в вектор-столбец, матрицу $S_{0}$ можно записать как матричное произведение $(\nabla I)(\nabla I)^{\text{T}}$ или тензор или внешнее произведение $\nabla I\otimes \nabla I$. Однако заметим, что структурный тензор $S_{w}(p)$ вообще не может быть учтено таким образом, за исключением случаев, когда $w$ является дельта-функцией Дирака .

Дискретная версия

В обработке изображений и других подобных приложениях функция $I$ обычно задается как дискретный массив выборок $I[p]$, где p — пара целочисленных индексов. Тензор двумерной структуры в данном пикселе обычно принимается за дискретную сумму

$$S_{w}[p]={\begin{bmatrix}\sum _{r}w[r](I_{x}[p-r])^{2}&\sum _{r}w[r]I_{x}[p-r]I_{y}[p-r]\\[10pt]\sum _{r}w[r]I_{x}[p-r]I_{y}[p-r]&\sum _{r}w[r](I_{y}[p-r])^{2}\end{bmatrix}}$$

Здесь индекс суммирования r колеблется в конечном наборе пар индексов («окно», обычно $\{-m\ldots +m\}\times \{-m\ldots +m\}$ для некоторого m ), а w [ r ] — фиксированный «вес окна», зависящий от r , такой, что сумма всех весов равна 1. Значения $I_{x}[p],I_{y}[p]$ — частные производные, выбранные в пикселе p ; которое, например, можно оценить по формуле $I$ по формулам конечных разностей .

Формулу структурного тензора можно записать также в виде ${\textstyle S_{w}[p]=\sum _{r}w[r]S_{0}[p-r]}$, где $S_{0}$ — это массив с матричным знаком такой, что $$S_{0}[p]={\begin{bmatrix}(I_{x}[p])^{2}&I_{x}[p]I_{y}[p]\\[10pt]I_{x}[p]I_{y}[p]&(I_{y}[p])^{2}\end{bmatrix}}$$

Интерпретация

Важность тензора двумерной структуры $S_{w}$ вытекает из того факта, что собственные значения $\lambda _{1},\lambda _{2}$ (который можно заказать так, чтобы $\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq 0$) и соответствующие собственные векторы $e_{1},e_{2}$ суммировать распределение градиента $\nabla I=(I_{x},I_{y})$ из $I$ в окне, определенном $w$ сосредоточено в $p$.

А именно, если $\lambda _{1}>\lambda _{2}$, затем $e_{1}$ (или $-e_{1}$) — это направление, которое максимально совпадает с градиентом внутри окна.

В частности, если $\lambda _{1}>0,\lambda _{2}=0$ тогда градиент всегда кратен $e_{1}$ (положительный, отрицательный или нулевой); это так тогда и только тогда, когда $I$ внутри окна меняется в направлении $e_{1}$ но постоянно $e_{2}$. Это условие собственных значений еще называют условием линейной симметрии, поскольку тогда изокривые $I$ состоят из параллельных прямых, т.е. существует одномерная функция $g$ которая может генерировать двумерную функцию $I$ как $I(x,y)=g(d^{\text{T}}p)$ для некоторого постоянного вектора $d=(d_{x},d_{y})^{T}$ и координаты $p=(x,y)^{T}$.

Если $\lambda _{1}=\lambda _{2}$С другой стороны, градиент в окне не имеет преобладающего направления; что происходит, например, когда изображение имеет вращательную симметрию внутри этого окна. Это состояние собственных значений также называется сбалансированным телом или условием направленного равновесия, поскольку оно выполняется, когда все направления градиента в окне одинаково часты/вероятны.

Кроме того, условие $\lambda _{1}=\lambda _{2}=0$ происходит тогда и только тогда, когда функция $I$ постоянно ( $\nabla I=(0,0)$) в пределах $W$.

В более общем плане значение $\lambda _{k}$, для k =1 или k =2, является $w$-взвешенное среднее в окрестности p квадрата производной по направлению $I$ вдоль $e_{k}$. Относительное расхождение между двумя собственными значениями $S_{w}$ является показателем степени анизотропии градиента в окне, а именно, насколько сильно он смещен в определенное направление (и противоположное ему). Этот атрибут может быть определен количественно с помощью когерентности , определяемой как

$$c_{w}=\left({\frac {\lambda _{1}-\lambda _{2}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}\right)^{2}$$

если $\lambda _{2}>0$. Эта величина равна 1, когда градиент полностью выровнен, и 0, когда у него нет предпочтительного направления. Формула не определена даже в пределе , когда изображение в окне постоянно ( $\lambda _{1}=\lambda _{2}=0$). Некоторые авторы в этом случае определяют его как 0.

Обратите внимание, что среднее значение градиента $\nabla I$ внутри окна не является хорошим индикатором анизотропии. Выровненные, но противоположно ориентированные векторы градиента будут компенсироваться в этом среднем, тогда как в структурном тензоре они правильно складываются. Это причина, почему $(\nabla I)(\nabla I)^{\text{T}}$ используется при усреднении структурного тензора для оптимизации направления вместо $\nabla I$.

За счет расширения эффективного радиуса оконной функции $w$ (то есть увеличивая его дисперсию), можно сделать тензор структуры более устойчивым к шуму за счет уменьшения пространственного разрешения. Формальная основа этого свойства более подробно описана ниже, где показано, что многомасштабная формулировка тензора структуры, называемая многомасштабным структурным тензором , представляет собой истинное многомасштабное представление данных о направлении при изменениях. пространственной протяженности оконной функции .

Сложная версия

Интерпретация и реализация тензора двумерной структуры становится особенно доступной при использовании комплексных чисел . Тензор структуры состоит из 3 действительных чисел

$$S_{w}(p)={\begin{bmatrix}\mu _{20}&\mu _{11}\\[10pt]\mu _{11}&\mu _{02}\end{bmatrix}}$$

где ${\textstyle \mu _{20}=\int (w(r)(I_{x}(p-r))^{2}\,dr}$ , ${\textstyle \mu _{02}=\int (w(r)(I_{y}(p-r))^{2}\,dr}$ и ${\textstyle \mu _{11}=\int w(r)I_{x}(p-r)I_{y}(p-r)\,dr}$ в котором интегралы можно заменить суммами для дискретного представления. Используя тождество Парсеваля, становится ясно, что три действительных числа являются моментами второго порядка спектра мощности $I$. Следующий комплексный момент второго порядка спектра мощности $I$ тогда можно записать как

$$\kappa _{20}=\mu _{20}-\mu _{02}+i2\mu _{11}=\int w(r)(I_{x}(p-r)+iI_{y}(p-r))^{2}\,dr=(\lambda _{1}-\lambda _{2})\exp(i2\phi )$$

где $i={\sqrt {-1}}$ и $\phi$ - направляющий угол наиболее значимого собственного вектора структурного тензора $\phi =\angle {e_{1}}$ тогда как $\lambda _{1}$ и $\lambda _{2}$ являются наиболее и наименее значимыми собственными значениями. Отсюда следует, что $\kappa _{20}$ содержит в себе как уверенность $|\kappa _{20}|=\lambda _{1}-\lambda _{2}$ и оптимальное направление в представлении двойного угла, поскольку это комплексное число, состоящее из двух действительных чисел. Отсюда также следует, что если градиент представлен как комплексное число и переназначается путем возведения в квадрат (т. е. углы аргумента комплексного градиента удваиваются), то усреднение действует как оптимизатор в отображенной области, поскольку оно напрямую обеспечивает как оптимальные значения, так и оптимальные значения. направление (в представлении двойного угла) и связанная с ним уверенность. Таким образом, комплексное число показывает, насколько линейная структура (линейная симметрия) присутствует в изображении. $I$, а комплексное число получается непосредственно путем усреднения градиента в его (комплексном) представлении с двойным углом без явного вычисления собственных значений и собственных векторов.

Аналогично следующий комплексный момент второго порядка спектра мощности $I$, что всегда реально, потому что $I$ реально,

$$\kappa _{11}=\mu _{20}+\mu _{02}=\int w(r)|I_{x}(p-r)+iI_{y}(p-r)|^{2}\,dr=\lambda _{1}+\lambda _{2}$$

можно получить, с $\lambda _{1}$ и $\lambda _{2}$ как и прежде, являются собственными значениями. Обратите внимание, что на этот раз величина комплексного градиента возведена в квадрат (который всегда действителен).

Однако разложение тензора структуры по собственным векторам дает его компоненты тензора как

$$S_{w}(p)=\lambda _{1}e_{1}e_{1}^{\text{T}}+\lambda _{2}e_{2}e_{2}^{\text{T}}=(\lambda _{1}-\lambda _{2})e_{1}e_{1}^{\text{T}}+\lambda _{2}(e_{1}e_{1}^{\text{T}}+e_{2}e_{2}^{\text{T}})=(\lambda _{1}-\lambda _{2})e_{1}e_{1}^{\text{T}}+\lambda _{2}E$$

где $E$ является единичной матрицей в 2D, поскольку два собственных вектора всегда ортогональны (и сумма равна единице). Первое слагаемое в последнем выражении разложения $(\lambda _{1}-\lambda _{2})e_{1}e_{1}^{\text{T}}$, представляет собой компонент линейной симметрии тензора структуры, содержащий всю информацию о направлении (в виде матрицы ранга 1), тогда как второй член представляет собой компонент сбалансированного тела тензора, в котором отсутствует какая-либо информация о направлении (содержащая единичную матрицу $E$). Чтобы узнать, сколько информации о направлении содержится в $I$ тогда это то же самое, что проверить, насколько велик $\lambda _{1}-\lambda _{2}$ сравнивается с $\lambda _{2}$.

Очевидно, $\kappa _{20}$ является комплексным эквивалентом первого члена тензорного разложения, тогда как $${\tfrac {1}{2}}(|\kappa _{20}|-\kappa _{11})=\lambda _{2}$$является эквивалентом второго члена. Таким образом, два скаляра, состоящие из трех действительных чисел,

$${\begin{aligned}\kappa _{20}&=&(\lambda _{1}-\lambda _{2})\exp(i2\phi )&=w*(h*I)^{2}\\\kappa _{11}&=&\lambda _{1}+\lambda _{2}&=w*|h*I|^{2}\\\end{aligned}}$$где $h(x,y)=(x+iy)\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))$ это (комплексный) градиентный фильтр, а $*$ является сверткой, представляет собой комплексное представление тензора двумерной структуры. Как обсуждалось здесь и в других местах $w$ определяет локальное изображение, которое обычно является гауссовым (с определенной дисперсией, определяющей внешний масштаб), и $\sigma$ – параметр (внутреннего масштаба), определяющий эффективный диапазон частот, в котором ориентация $2\phi$ предстоит оценить.

Элегантность комплексного представления обусловлена ​​тем, что две компоненты структурного тензора могут быть получены как средние и независимо. В свою очередь, это означает, что $\kappa _{20}$ и $\kappa _{11}$ может использоваться в представлении в масштабном пространстве для описания доказательств наличия уникальной ориентации и доказательств альтернативной гипотезы, наличия нескольких сбалансированных ориентаций, без вычисления собственных векторов и собственных значений. До сих пор не было показано, что такой функционал, как возведение в квадрат комплексных чисел, существует для структурных тензоров с размерностями больше двух. В Bigun 91 было обоснованно выдвинуто, что это происходит потому, что комплексные числа являются коммутативными алгебрами, тогда как кватернионы, возможные кандидаты для построения такого функционала, составляют некоммутативную алгебру.

Комплексное представление структурного тензора часто используется в анализе отпечатков пальцев для получения карт направлений, содержащих определенные факты, которые, в свою очередь, используются для их улучшения, для поиска местоположений глобальных (ядра и дельты) и локальных (мелочи) сингулярностей, а также автоматически оценить качество отпечатков пальцев.

Тензор трехмерной структуры

Определение

Тензор структуры можно определить и для функции $I$ трех переменных p =( x , y , z ) совершенно аналогичным образом. А именно, в непрерывном варианте имеем ${\textstyle S_{w}(p)=\int w(r)S_{0}(p-r)\,dr}$, где $$S_{0}(p)={\begin{bmatrix}(I_{x}(p))^{2}&I_{x}(p)I_{y}(p)&I_{x}(p)I_{z}(p)\\[10pt]I_{x}(p)I_{y}(p)&(I_{y}(p))^{2}&I_{y}(p)I_{z}(p)\\[10pt]I_{x}(p)I_{z}(p)&I_{y}(p)I_{z}(p)&(I_{z}(p))^{2}\end{bmatrix}}$$где $I_{x},I_{y},I_{z}$ являются тремя частными производными $I$, а интеграл находится в пределах $\mathbb {R} ^{3}$.

В дискретной версии ${\textstyle S_{w}[p]=\sum _{r}w[r]S_{0}[p-r]}$, где $$S_{0}[p]={\begin{bmatrix}(I_{x}[p])^{2}&I_{x}[p]I_{y}[p]&I_{x}[p]I_{z}[p]\\[10pt]I_{x}[p]I_{y}[p]&(I_{y}[p])^{2}&I_{y}[p]I_{z}[p]\\[10pt]I_{x}[p]I_{z}[p]&I_{y}[p]I_{z}[p]&(I_{z}[p])^{2}\end{bmatrix}}$$и сумма варьируется по конечному набору трехмерных индексов, обычно $\{-m\ldots +m\}\times \{-m\ldots +m\}\times \{-m\ldots +m\}$ для некоторых м .

Интерпретация

Как и в двумерном случае, собственные значения $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ из $S_{w}[p]$, и соответствующие собственные векторы ${\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{3}$, суммируем распределение направлений градиента в окрестности точки p, определенной окном $w$. Эту информацию можно представить в виде эллипсоида , полуоси которого равны собственным значениям и направлены вдоль соответствующих им собственных векторов.

Эллипсоидальное представление тензора трехмерной структуры.

В частности, если эллипсоид растянут только по одной оси, как сигара (т. е. если $\lambda _{1}$ намного больше, чем оба $\lambda _{2}$ и $\lambda _{3}$), это означает, что градиент в окне преимущественно ориентирован по направлению $e_{1}$, так изоповерхности что $I$ имеют тенденцию быть плоскими и перпендикулярными этому вектору. Такая ситуация возникает, например, когда p лежит на тонкой пластинчатой ​​детали или на гладкой границе между двумя областями с контрастными значениями.

Структурный тензорный эллипсоид поверхностной окрестности (« сёрфель »), где $\lambda _{1}>\!>\lambda _{2}\approx \lambda _{3}$.

Трехмерное окно, охватывающее гладкую граничную поверхность между двумя однородными областями трехмерного изображения.

Соответствующая структура тензорного эллипсоида.

Если эллипсоид сплюснут только в одном направлении, как блин (т. е. если $\lambda _{3}$ намного меньше обоих $\lambda _{1}$ и $\lambda _{2}$), это означает, что направления градиента разбросаны, но перпендикулярны $e_{3}$; так что изоповерхности имеют тенденцию выглядеть как трубы, параллельные этому вектору. Такая ситуация возникает, например, когда p лежит на тонкой линии или на остром углу границы между двумя областями с контрастными значениями.

Тензор структуры линейной окрестности («кривой»), где $\lambda _{1}\approx \lambda _{2}>\!>\lambda _{3}$.

3D-окно, охватывающее линейный элемент 3D-изображения.

Соответствующая структура тензорного эллипсоида.

Наконец, если эллипсоид имеет примерно сферическую форму (т. е. если $\lambda _{1}\approx \lambda _{2}\approx \lambda _{3}$), то есть направления градиента в окне распределены более или менее равномерно, без выраженного предпочтения; так что функция $I$ в этой окрестности в основном изотропен. Это происходит, например, когда функция имеет сферическую симметрию в окрестности точки p . В частности, если эллипсоид вырождается в точку (т. е. если три собственных значения равны нулю), это означает, что $I$ является постоянным (имеет нулевой градиент) внутри окна.

Тензор структуры в изотропной окрестности, где $\lambda _{1}\approx \lambda _{2}\approx \lambda _{3}$.

3D-окно, содержащее сферический элемент 3D-изображения.

Соответствующая структура тензорного эллипсоида.

Тензор многомасштабной структуры

Тензор структуры является важным инструментом анализа масштабного пространства . Тензор многомасштабной структуры (или многомасштабная матрица второго момента ) функции $I$ В отличие от других функций масштабного пространства с одним параметром, дескриптор изображения определяется двумя параметрами масштаба.Один параметр масштаба, называемый локальным масштабом. $t$, необходим для определения степени предварительного сглаживания при вычислении градиента изображения. $(\nabla I)(x;t)$. Другой параметр масштаба, называемый масштабом интеграции. $s$, необходим для указания пространственного размера оконной функции. $w(\xi ;s)$ который определяет веса для области в пространстве, в которой компоненты внешнего продукта градиента сами по себе $(\nabla I)(\nabla I)^{\text{T}}$ накапливаются.

Точнее, предположим, что $I$ это действительный сигнал, определенный по $\mathbb {R} ^{k}$. Для любого локального масштаба $t>0$, пусть многомасштабное представление $I(x;t)$ этого сигнала будет задано выражением $I(x;t)=h(x;t)*I(x)$ где $h(x;t)$ представляет собой ядро ​​предварительного сглаживания. Кроме того, пусть $(\nabla I)(x;t)$ обозначают градиент представления масштабного пространства .Тогда матрица тензора/второго момента многомасштабной структуры определяется выражением $$\mu (x;t,s)=\int _{\xi \in \mathbb {R} ^{k}}(\nabla I)(x-\xi ;t)\,(\nabla I)^{\text{T}}(x-\xi ;t)\,w(\xi ;s)\,d\xi$$Концептуально можно задаться вопросом, достаточно ли будет использовать какие-либо самоподобные семейства сглаживающих функций. $h(x;t)$ и $w(\xi ;s)$. Однако если по наивности применить, например, коробчатый фильтр, то легко могут возникнуть нежелательные артефакты. Если кто-то хочет, чтобы тензор многомасштабной структуры хорошо вел себя в обоих возрастающих локальных масштабах $t$ и увеличение масштабов интеграции $s$, то можно показать, что и функция сглаживания, и оконная функция должны быть гауссовыми. Условия, определяющие эту уникальность, аналогичны аксиомам масштабного пространства , которые используются для вывода единственности гауссовского ядра для регулярного гауссовского масштабного пространства интенсивностей изображений.

В этом семействе дескрипторов изображений существуют разные способы обработки двухпараметрических изменений масштаба. Если мы сохраним параметр локального масштаба $t$ исправлены и применяются все более расширенные версии оконной функции за счет увеличения параметра масштаба интегрирования $s$ только тогда мы получаем истинное формальное представление в пространстве масштаба данных о направлении, вычисленных в данном локальном масштабе. $t$. Если мы объединим локальный масштаб и масштаб интеграции относительной шкалой интегрирования $r\geq 1$, такой, что $s=rt$ тогда для любого фиксированного значения $r$, мы получаем уменьшенную самоподобную однопараметрическую вариацию, которая часто используется для упрощения вычислительных алгоритмов, например, при обнаружении углов , обнаружении точек интереса , анализе текстур и сопоставлении изображений .Варьируя относительный масштаб интегрирования $r\geq 1$ в такой самоподобной вариации масштаба мы получаем еще один альтернативный способ параметризации многомасштабного характера данных о направлении, полученных за счет увеличения масштаба интегрирования.

Концептуально аналогичная конструкция может быть выполнена для дискретных сигналов с заменой интеграла свертки на сумму свертки и с непрерывным гауссовым ядром. $g(x;t)$ заменено дискретным ядром Гаусса $T(n;t)$: $$\mu (x;t,s)=\sum _{n\in \mathbb {Z} ^{k}}(\nabla I)(x-n;t)\,(\nabla I)^{\text{T}}(x-n;t)\,w(n;s)$$При квантовании параметров шкалы $t$ и $s$ в реальной реализации - конечная геометрическая прогрессия $\alpha ^{i}$ обычно используется, где i находится в диапазоне от 0 до некоторого максимального индекса масштаба m . Таким образом, уровни дискретного масштаба будут иметь определенное сходство с пирамидой изображения , хотя пространственная подвыборка не обязательно может использоваться для сохранения более точных данных для последующих этапов обработки.

Приложения

Собственные значения структурного тензора играют важную роль во многих алгоритмах обработки изображений для таких задач, как обнаружение углов , обнаружение точек интереса и отслеживание объектов . Тензор структуры также играет центральную роль в алгоритме оптического потока Лукаса-Канаде и в его расширениях для оценки адаптации аффинной формы ; где величина $\lambda _{2}$ является показателем достоверности вычисленного результата. Тензор использовался для анализа масштабного пространства , оценка ориентации локальной поверхности по монокулярным или бинокулярным сигналам, нелинейное улучшение отпечатков пальцев , обработка изображений на основе диффузии , и несколько других проблем с обработкой изображений. Тензор структуры также можно применять в геологии для фильтрации сейсмических данных.

Обработка пространственно-временных видеоданных с помощью структурного тензора

Тензор трехмерной структуры использовался для анализа трехмерных видеоданных (рассматриваемых как функция x , y и времени t ). Если в этом контексте стремиться к дескрипторам изображения, инвариантным относительно преобразований Галилея , чтобы сделать возможным сравнение измерений изображения, полученных при изменении априорно неизвестных скоростей изображения. $v=(v_{x},v_{y})^{\text{T}}$$${\begin{bmatrix}x'\\y'\\t'\end{bmatrix}}=G{\begin{bmatrix}x\\y\\t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x-v_{x}\,t\\y-v_{y}\,t\\t\end{bmatrix}},$$однако с вычислительной точки зрения предпочтительнее параметризовать компоненты в матрице тензора структуры/матрицы второго момента. $S$ используя понятие диагонализации Галилея $$S'=R_{\text{space}}^{-{\text{T}}}\,G^{-{\text{T}}}\,S\,G^{-1}\,R_{\text{space}}^{-1}={\begin{bmatrix}\nu _{1}&\,&\,\\\,&\nu _{2}&\,\\\,&\,&\nu _{3}\end{bmatrix}}$$где $G$ обозначает преобразование Галилея пространства-времени и $R_{\text{space}}$ двумерное вращение в пространственной области,по сравнению с вышеупомянутым использованием собственных значений тензора трехмерной структуры, что соответствует разложению по собственным значениям и (нефизическому) трехмерному вращению пространства-времени. $$S''=R_{\text{spacetime}}^{-{\text{T}}}\,S\,R_{\text{spacetime}}^{-1}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&&\\&\lambda _{2}&\\&&\lambda _{3}\end{bmatrix}}.$$Однако для получения истинной инвариантности Галилея необходимо адаптировать форму пространственно-временной оконной функции: соответствующий передаче аффинной адаптации формы от пространственных к пространственно-временным данным изображения.В сочетании с локальными дескрипторами пространственно-временных гистограмм, вместе эти концепции допускают галилеевское инвариантное распознавание пространственно-временных событий.

См. также

• Тензор
• Тензорный оператор
• Производная по направлению
• Гауссовский
• Обнаружение угла
• Обнаружение края
• Метод Лукаса-Канаде
• Аффинная адаптация формы
• Тензор обобщенной структуры

Ресурсы

• Скачать исходный код MATLAB
• Учебное пособие по структурному тензору (оригинал)