Байесовская оценка шаблонов в вычислительной анатомии

Дополнительная информация: Диффеоморфное метрическое отображение большой деформации и байесовская модель вычислительной анатомии.

Основная статья: Вычислительная анатомия

Статистический анализ формы и статистическая теория формы в вычислительной анатомии (КА) выполняются относительно шаблонов, поэтому это локальная теория статистики формы. Оценка шаблона в вычислительной анатомии на основе совокупности наблюдений — фундаментальная операция, повсеместно распространенная в этой дисциплине. несколько методов оценки шаблона, основанных на байесовской вероятности и статистике в модели случайных орбит CA. Для подмногообразий появилось и плотные объемы изображений.

Деформируемая шаблонная модель фигур и форм посредством диффеоморфных групповых действий.

Дополнительная информация: Групповые действия в вычислительной анатомии.

Линейная алгебра — один из центральных инструментов современной инженерии. Центральным элементом линейной алгебры является понятие орбиты векторов, в которой матрицы образуют группы (матрицы с обратными и единичными), которые действуют на векторы. В линейной алгебре уравнения, описывающие элементы орбит, векторы линейны относительно векторов, на которые действуют матрицы. В вычислительной анатомии пространство всех фигур и форм моделируется как орбита, аналогичная векторам в линейной алгебре, однако группы не действуют линейно, как матрицы, а формы и формы не аддитивны. В вычислительной анатомии сложение по сути заменяется законом композиции.

Центральная группа действующих ЦС определена по объемам в ${\mathbb {R} }^{3}$ являются диффеоморфизмами ${\mathcal {G}}\doteq Diff$ которые являются отображениями с 3-компонентами $\phi (\cdot )=(\phi _{1}(\cdot ),\phi _{2}(\cdot ),\phi _{3}(\cdot ))$, закон композиции функций $\phi \circ \phi ^{\prime }(\cdot )\doteq \phi (\phi ^{\prime }(\cdot ))$, с обратным $\phi \circ \phi ^{-1}(\cdot )=\phi (\phi ^{-1}(\cdot ))=id$.

Группы и группы знакомы инженерному сообществу с всеобщей популяризацией и стандартизацией линейной алгебры как базовой модели.

Популярное групповое действие — над скалярными изображениями. $I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}$, с действием справа через обратное.

$\phi \cdot I(x)=I\circ \phi ^{-1}(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}.$

Для подраспределителей $X\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}$, параметризованный диаграммой или погружением $m(u),u\in U$, диффеоморфное действие поток позиции

$\phi \cdot m(u)\doteq \phi \circ m(u),u\in U.$

несколько групповых действий в вычислительной анатомии Определены .

Геодезическое позиционирование с помощью римановой экспоненты

Для изучения деформируемой формы в CA была выбрана более общая группа диффеоморфизмов, которая является бесконечномерным аналогом. Многомерные группы диффеоморфизмов, используемые в вычислительной анатомии, генерируются с помощью гладких потоков. $\phi _{t},t\in [0,1]$ которые удовлетворяют лагранжевой и эйлеровой спецификации полей потока, удовлетворяющих обыкновенному дифференциальному уравнению:

Показ лагранжева потока координат $x\in X$ со связанными векторными полями $v_{t},t\in [0,1]$ удовлетворяющее обыкновенному дифференциальному уравнению ${\dot {\phi }}_{t}=v_{t}(\phi _{t}),\phi _{0}=id$.

${\frac {d}{dt}}\phi _{t}=v_{t}\circ \phi _{t},\ \phi _{0}=id\ ;$ ( Лагранжев поток )

с $v\doteq (v_{1},v_{2},v_{3})$ векторные поля на ${\mathbb {R} }^{3}$ называется эйлеровой скоростью частиц в положении $\phi$ потока. Векторные поля представляют собой функции в функциональном пространстве, смоделированном как гладкое гильбертово пространство с векторными полями, имеющими 1-непрерывную производную. Для $v_{t}={\dot {\phi }}_{t}\circ \phi _{t}^{-1},t\in [0,1]$, с обратным потоком, заданным выражением

${\frac {d}{dt}}\phi _{t}^{-1}=-(D\phi _{t}^{-1})v_{t},\ \phi _{0}^{-1}=id\ ,$ ( Эйлеров поток )

и $3\times 3$ Матрица Якоби для потоков в $\mathbb {R} ^{3}$ дано как $\ D\phi \doteq \left({\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x_{j}}}\right).$

Потоки были впервые введены при больших деформациях при сопоставлении изображений; ${\dot {\phi }}_{t}(x)$ - мгновенная скорость частицы $x$ во время $t$. с векторными полями, называемыми эйлеровой скоростью частиц в положении потока. Подход моделирования, используемый в CA, обеспечивает соблюдение условия непрерывной дифференцируемости векторных полей путем моделирования пространства векторных полей. $(V,\|\cdot \|_{V})$ как воспроизводящее ядро ​​гильбертова пространства (RKHS) с нормой, определяемой 1-1 дифференциальным оператором $A:V\rightarrow V^{*}$, обратный Грину $K=A^{-1}$. Норма согласно $\|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{X}Av\cdot vdx,v\in V,$ где для $\sigma (v)\doteq Av\in V^{*}$ обобщенная функция или распределение, тогда $(\sigma \mid w)\doteq \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\sum _{i}w_{i}(x)\sigma _{i}(dx)$. С $A$ — дифференциальный оператор, конечность квадрата нормы $\int _{X}Av\cdot vdx<\infty$ включает производные от дифференциального оператора, предполагающие гладкость векторных полей.

Для обеспечения гладкости потоков диффеоморфизмов с обратными векторные поля ${\mathbb {R} }^{3}$ должна быть хотя бы 1-кратно непрерывно дифференцируема в пространстве которые моделируются как элементы гильбертова пространства $(V,\|\cdot \|_{V})$ используя теоремы вложения Соболева так, чтобы каждый элемент $v_{i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,$ имеет производные, интегрируемые с 3 квадратами. Таким образом $(V,\|\cdot \|_{V})$ плавно вкладываются в 1-раз непрерывно дифференцируемые функции. Группа диффеоморфизмов — это потоки с векторными полями, абсолютно интегрируемыми в соболевской норме:

$Diff_{V}\doteq \{\varphi =\phi _{1}:{\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t},\phi _{0}=id,\int _{0}^{1}\|v_{t}\|_{V}\,dt<\infty \}\ .$ ( Группа диффеоморфизмов )

Байесовская модель вычислительной анатомии

Центральной статистической моделью вычислительной анатомии в контексте медицинской визуализации является модель источника-канала теории Шеннона ; источник — деформируемый шаблон изображений $I\in {\mathcal {I}}$выходы канала представляют собой датчики изображения с наблюдаемыми $I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}$ . Варианты анатомических конфигураций моделируются отдельно от методов медицинской визуализации: аппарата компьютерной аксиальной томографии , МРТ аппарата , аппарата ПЭТ и других. Теория Байеса моделирует априорный источник изображений. $\pi _{\mathcal {I}}(\cdot )$ на $I\in {\mathcal {I}}$, а условная плотность на наблюдаемых изображениях $p(\cdot |I)\ {\text{on}}\ I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}$, обусловленный $I\in {\mathcal {I}}$. Для изображений с групповым действием диффеоморфизма $I\doteq \phi \cdot I_{\mathrm {temp} },\phi \in Diff_{V}$, то априор группы $\pi _{Diff_{V}}(\cdot )$ вызывает априор на изображениях $\pi _{\mathcal {I}}(\cdot )$, записанная как плотности, логарифмическая апостериорная принимает форму

$\log p(\phi \cdot I\mid I^{D})\simeq \log p(I^{D}\mid \phi \cdot I)+\log \pi _{\operatorname {Diff} _{V}}(\phi )\ .$

Оценка максимальной апостериорной оценки (MAP) занимает центральное место в современной статистической теории . Интересующие параметры $\theta \in \Theta$ принимать множество форм, включая (i) тип заболевания, такой как нейродегенеративные заболевания или заболевания , связанные с развитием нервной системы , (ii) тип структуры, такой как корковые или подкорковые структуры, при проблемах, связанных с сегментацией изображений, и (iii) реконструкцию шаблонов из популяций. Учитывая наблюдаемое изображение $I^{D}$, оценка MAP максимизирует апостериорную величину:

${\hat {\theta }}\doteq \arg \max _{\theta \in \Theta }\log p(\theta \mid I^{D}).$

Показаны шаблоны формы миндалевидного тела, гиппокампа и желудочка, созданные на основе 754 образцов ADNI. Верхняя панель обозначает локализованные групповые различия по площади поверхности между нормальным старением и болезнью Альцгеймера (положительное значение представляет атрофию при болезни Альцгеймера, тогда как отрицательное предполагает расширение). Нижняя панель обозначает групповые различия в годовых темпах изменения локализованных площадей поверхности (положительное значение означает более высокие темпы атрофии (или более медленные темпы расширения) при болезни Альцгеймера, тогда как отрицательное предполагает более высокие темпы расширения (или более медленные темпы атрофии) при болезни Альцгеймера); взято из Tang et al.

Для этого необходимо вычислить условные вероятности $p(\theta \mid I^{D})={\frac {p(I^{D},\theta )}{p(I^{D})}}$. Модель множественных орбит атласа рандомизирует счетный набор атласов. $\{I_{a},a\in {\mathcal {A}}\}$. Модель на изображениях на орбите имеет вид распределения мультимодальной смеси.

$p(I^{D},\theta )=\textstyle \sum _{a\in {\mathcal {A}}}p(I^{D},\theta \mid I_{a})\pi _{\mathcal {A}}(a)\ .$

Поверхностные шаблоны для вычислительной нейроанатомии и подкорковых структур

Изучение подкорковой нейроанатомии было в центре внимания многих исследований. Со времени появления оригинальных публикаций Чернанского и его коллег об изменениях гиппокампа при шизофрении, болезнь Альцгеймера, и депрессия, многие статистические исследования нейроанатомической формы в настоящее время завершены с использованием шаблонов, построенных на основе всех подкорковых структур для депрессии, болезнь Альцгеймера, Биполярное расстройство, СДВГ, аутизм, и болезнь Хантингтона. Шаблоны были созданы с использованием данных оценки байесовского шаблона, полученных Ма, Юнесом и Миллером.

На сопроводительном рисунке показан пример шаблонов подкорковых структур, созданных на основе T1-взвешенных магнитно-резонансных изображений Tang et al. для изучения болезни Альцгеймера в популяции субъектов ADNI.

Оценка поверхности в вычислительной анатомии сердца

Показаны популяционные атласы, определяющие региональные различия в толщине лучевой кости в конечно-систолической фазе сердца между пациентами с гипертрофической кардиомиопатией (слева) и гипертонической болезнью сердца (справа). Серая сетка показывает общий шаблон поверхности для популяции, а цветовая карта представляет базилярную перегородку и переднюю стенку эпикарда с большей радиальной толщиной у пациентов с гипертрофической кардиомиопатией по сравнению с гипертонической болезнью сердца.

В настоящее время проведены многочисленные исследования гипертрофии сердца и роли структурных интеграций в функциональной механике сердца. Сиамак Ардекани работал над популяциями сердечной анатомии, реконструируя системы координат атласа на основе популяций. На рисунке справа показан метод компьютерной анатомии сердца, используемый для выявления региональных различий в радиальной толщине в конечно-систолической фазе сердца у пациентов с гипертрофической кардиомиопатией (слева) и гипертонической болезнью сердца (справа). Цветная карта, размещенная на общем шаблоне поверхности (серая сетка), представляет область (базилярную перегородку и переднюю стенку эпикарда), которая в среднем имеет значительно большую радиальную толщину у пациентов с гипертрофической кардиомиопатией по сравнению с гипертонической болезнью сердца (ссылка ниже).

MAP Оценка шаблонов объема по популяциям и алгоритм EM

Эмпирическое создание шаблонов на основе совокупностей является фундаментальной операцией, повсеместно используемой в этой дисциплине.Для подмногообразий и плотных объемов изображений появилось несколько методов, основанных на байесовской статистике.Для случая плотного объема изображения, учитывая наблюдаемую $I^{D_{1}},I^{D_{2}},\dots$ проблема в том, чтобы оценить шаблон на орбите плотных изображений $I\in {\mathcal {I}}$. Процедура Ма использует исходный гипершаблон. $I_{0}\in {\mathcal {I}}$ в качестве отправной точки и моделирует шаблон на орбите при неизвестном, подлежащем оценке диффеоморфизме $I\doteq \phi _{0}\cdot I_{0}$, с параметрами, подлежащими оценке, лог-координатами $\theta \doteq v_{0}$ определение геодезического отображения гипершаблона $\mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})\cdot I_{0}=I\in {\mathcal {I}}$.

В байесовской модели случайной орбиты вычислительной анатомии наблюдаемые МРТ-изображения $I^{D_{i}}$ моделируются как условно гауссово случайное поле со средним полем $\phi _{i}\cdot I$, с $\phi _{i}$ случайное неизвестное преобразование шаблона. Проблема оценки MAP состоит в том, чтобы оценить неизвестный шаблон. $I\in {\mathcal {I}}$ учитывая наблюдаемые изображения МРТ.

Процедура Ма для плотных изображений использует исходный гипершаблон. $I_{0}\in {\mathcal {I}}$ в качестве отправной точки и моделирует шаблон на орбите при неизвестном, подлежащем оценке диффеоморфизме $I\doteq \phi _{0}\cdot I_{0}$. Наблюдаемые моделируются как условные случайные поля, $I^{D_{i}}$ условно -гауссово случайное поле со средним полем $\phi _{i}\cdot I\doteq \phi _{i}\cdot \phi _{0}\cdot I_{0}$. Неизвестная переменная, которую необходимо явно оценить с помощью MAP, представляет собой отображение гипершаблона. $\phi _{0}$, а другие отображения рассматриваются как мешающие или скрытые переменные, которые интегрируются с помощью процедуры Байеса. Это достигается с помощью алгоритма ожидания-максимизации (EM) .

Орбитальная модель используется путем привязки неизвестных оцениваемых потоков к их логарифмическим координатам. $v_{i},i=1,\dots$ через риманов геодезический журнал и экспоненту для вычислительной анатомии начальное векторное поле в касательном пространстве в единице, так что $\mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i})\doteq \phi _{i}$, с $\mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})$ отображение гипершаблона.Проблема оценки MAP становится

$\max _{v_{0}}p(I^{D},\theta =v_{0})=\int p(I^{D},\theta =v_{0}\mid v_{1},v_{2},\dots )\pi (v_{1},v_{2},\dots )\,dv$

Алгоритм EM принимает в качестве полных данных координаты векторного поля, параметризующие отображение, $v_{i},i=1,\dots$ и итеративно вычисляем условное ожидание

${\begin{matrix}Q(\theta =v_{0};\theta ^{\text{old}}=v_{0}^{\text{old}})&=-E(\log p(I^{D},\theta =v_{0}\mid v_{1},v_{2},\dots )|I^{D},\theta ^{\text{old}})\\&=-\|({\bar {I}}^{\text{old}}-I_{0}\circ \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})^{-1}){\sqrt {\beta ^{\text{old}}}}\|^{2}-\|v_{0}\|_{V}^{2}\end{matrix}}$

• Вычислить новый шаблон, максимизирующий Q-функцию, установив $\theta ^{\text{new}}\doteq v_{0}^{\text{new}}=\arg \max _{\theta =v_{0}}Q(\theta ;\theta ^{\text{old}}=v_{0}^{\text{old}})=-\|({\bar {I}}^{\text{old}}-I_{0}\circ \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})^{-1}){\sqrt {\beta ^{\text{old}}}}\|^{2}-\|v_{0}\|_{V}^{2}$
• Вычислите аппроксимацию режима для ожидания, обновляющего ожидаемые значения для значений режима:

$v_{i}^{\text{new}}=\arg \max _{v:{\dot {\phi }}=v\circ \phi }-\int _{0}^{1}\|v_{t}\|_{V}^{2}\,dt-\|I^{D_{i}}-I_{0}\circ \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0}^{\text{old}})^{-1}\circ \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v)^{-1}\|^{2}.i=1,2,\dots$

$\beta ^{\text{new}}(x)=\sum _{i=1}^{n}|D\mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i}^{\text{new}})(x)|,{\text{ with }}{\bar {I}}^{\text{new}}(x)={\frac {\sum _{i=1}^{n}I^{D_{i}}\circ \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i}^{\text{new}})|D\mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i}^{\text{new}})(x)|}{\beta ^{\text{old}}(x)}}$