без координат

Бескоординатная систему или бескомпонентная трактовка научной теории или математической темы развивает свои концепции на любой форме многообразия без ссылки на какую-либо конкретную координат .

Преимущества

Бескоординатные методы обычно допускают более простые системы уравнений и по своей сути ограничивают определенные типы несогласованности, обеспечивая большую математическую элегантность за счет некоторой абстракции от подробных формул, необходимых для оценки этих уравнений в конкретной системе координат.

Помимо элегантности, в некоторых приложениях решающее значение имеют бескоординатные методы, позволяющие доказать правильность формулировки данного определения. Например, для векторного пространства $V$ с основой $v_{1},...,v_{n}$, может возникнуть соблазн построить двойное пространство $V^{*}$ как формальный диапазон символов $v_{1}^{*},...,v_{n}^{*}$ с кронштейном $\langle \sum \alpha _{i}v_{i},\sum \beta _{i}v_{i}^{*}\rangle :=\sum \alpha _{i}\beta _{i}$, но не сразу понятно, что эта конструкция не зависит от выбранной исходной системы координат. Вместо этого лучше построить $V^{*}$ как пространство линейных функционалов со скобкой $\langle v,\varphi \rangle =\varphi (v)$, а затем вывести из этой конструкции координатные формулы.

Тем не менее иногда бывает слишком сложно исходить из бескоординатной трактовки, или же бескоординатная трактовка может гарантировать единственность, но не существование описываемого объекта, или же бескоординатная трактовка может просто не существовать. В качестве примера последней ситуации отображение $v_{i}\mapsto v_{i}^{*}$ указывает на общий изоморфизм между конечномерным векторным пространством и его двойственным векторным пространством, но этот изоморфизм не подтверждается никаким бескоординатным определением. В качестве примера второй ситуации распространённый способ построения расслоенного произведения схем включает склеивание аффинных участков. Чтобы смягчить неизящность этой конструкции, волокнистый продукт затем характеризуется удобным универсальным свойством и оказывается независимым от выбранных исходных аффинных участков.

История

Бескоординатные методы лечения были единственным доступным подходом к ( и теперь известны как синтетическая геометрия ) до разработки аналитической геометрии Декартом геометрии . После нескольких столетий изложения, в основном основанного на координатах, современная тенденция, как правило, заключается в том, чтобы на раннем этапе знакомить студентов с бескоординатными методами лечения, а затем выводить координатные методы лечения из бескоординатных методов лечения, а не наоборот .

Приложения

Области, которые сейчас часто вводятся с помощью бескоординатных методов, включают векторное исчисление , тензоры , дифференциальную геометрию и компьютерную графику .

В физике существование бескоординатных трактовок физических теорий является следствием принципа общей ковариантности .

См. также

• Общая ковариация
• Основы геометрии
• Изменение базы
• Координатные условия
• Бескомпонентная обработка тензоров
• Независимость от фона
• Бессмысленная топология