цис (математика)

$цис$ — математическое обозначение , определяемое формулой $cis x = cos x + i sin x$ , ^{[номер 1]}где $cos$ — функция косинуса , $i$ — мнимая единица измерения , а $sin$ — функция синуса . $x$ — аргумент комплексного числа (угол между линией и точкой и осью x в полярной форме ). Обозначения реже используются в математике, чем формула Эйлера , $e ix$ , который предлагает еще более короткое обозначение для $cos x + i sin x$ , но cis(x) широко используется в качестве названия этой функции в библиотеках программного обеспечения .

Обзор [ править ]

Цис $-$ нотация — это сокращение для комбинации функций в правой части формулы Эйлера :

e^{ix}=\cos x+i\sin x,

где $я 2 = -1$ . Так,

\operatorname {cis} x=\cos x+i\sin x,

^[1]^[2]^[3]^[4]

т.е. « $цис$ » — это аббревиатура от « $Cos i Sin$ ».

Он связывает тригонометрические функции с показательными функциями в комплексной плоскости посредством формулы Эйлера. Хотя область определения обычно $x\in \mathbb {R}$ , комплексные значения $z\in \mathbb {C}$ возможны также:

\operatorname {cis} z=\cos z+i\sin z,

поэтому $цис-$ функцию можно использовать для расширения формулы Эйлера до более общей сложной версии . ^[5]

Функция чаще всего используется в качестве удобной сокращенной записи для упрощения некоторых выражений. ^[6]^[7]^[8] например, в сочетании с Фурье и преобразованиями Хартли , ^[9]^[10]^[11] или когда показательные функции по какой-то причине не следует использовать в математическом образовании.

В информационных технологиях эта функция имеет специальную поддержку в различных высокопроизводительных математических библиотеках (таких как Intel Math Kernel Library (MKL)). ^[12] или MathCW ^[13]), доступный для многих компиляторов и языков программирования (включая C , C++ , ^[14] Общий Лисп , ^[15]^[16] Д , ^[17] Хаскелл , ^[18] Юлия , ^[19] и ржавчина ^[20]). В зависимости от платформы объединенная операция выполняется примерно в два раза быстрее, чем вызов функций синуса и косинуса по отдельности. ^[17]^[3]

Математические тождества [ править ]

Производная [ править ]

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cis} z=i\operatorname {cis} z=ie^{iz}

^[1]^[21]

Интеграл [ править ]

\int \operatorname {cis} z\,\mathrm {d} z=-i\operatorname {cis} z=-ie^{iz}

^[1]

Другая недвижимость [ править ]

Они следуют непосредственно из формулы Эйлера .

\cos(x)={\frac {\operatorname {cis} (x)+\operatorname {cis} (-x)}{2}}={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}

\sin(x)={\frac {\operatorname {cis} (x)-\operatorname {cis} (-x)}{2i}}={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}

\operatorname {cis} (x+y)=\operatorname {cis} x\,\operatorname {cis} y

^[22]

\operatorname {cis} (x-y)={\operatorname {cis} x \over \operatorname {cis} y}

Приведенные выше тождества справедливы, если $x$ и $y$ — любые комплексные числа. Если $x$ и $y$ действительны, то

|\operatorname {cis} x-\operatorname {cis} y|\leq |x-y|.

^[22]

История [ править ]

Цис $-$ нотация была впервые введена Уильямом Роуэном Гамильтоном в «Элементах кватернионов» (1866 г.). ^[23]^[24] и впоследствии использовался Ирвингом Стрингхэмом (который также называл его « сектором x $Унипланарная$ ») в таких работах, как « алгебра» (1893), ^[25]^[26] Джеймс Харкнесс и Фрэнк Морли в своем «Введении в теорию аналитических функций» (1898 г.), ^[26]^[27] или Джорджа Эшли Кэмпбелла (который также называл это «цисоидальным колебанием») в его работах о линиях передачи (1901 г.) и интегралах Фурье (1928 г.). ^[28]^[29]^[30]

В 1942 году, вдохновленный $цис-$ нотацией, Ральф В.Л. Хартли представил $функцию cas$ (для косинуса и синуса с действительным знаком ) для ядра Хартли , тем временем установленный ярлык в сочетании с преобразованиями Хартли : ^[31]^[32]

\operatorname {cas} x=\cos x+\sin x.

Мотивация [ править ]

Обозначение $цис$ иногда используется, чтобы подчеркнуть один метод рассмотрения и решения проблемы по сравнению с другим. ^[33]Математика тригонометрии и экспоненты связаны, но не совсем одинаковы; экспоненциальное обозначение подчеркивает целое, тогда как $обозначения цис x$ и $cos x + i sin x$ подчеркивают части. Это может быть риторически полезно математикам и инженерам при обсуждении этой функции, а также служить мнемоникой ( для $cos + i sin$ ). ^[30]

Обозначение $цис$ удобно для студентов-математиков, чьи знания тригонометрии и комплексных чисел позволяют использовать это обозначение, но чье концептуальное понимание еще не позволяет использовать обозначение $e. ix$ . Когда учащиеся изучают концепции, основанные на предшествующих знаниях, важно не заставлять их изучать математику на тех уровнях, к которым они еще не готовы: обычное доказательство того, что $цис x = e ix$ требует исчисления , которое студент, возможно, не изучал до того, как встретил выражение $cos x + i sin x$ .

Это обозначение было более распространено, когда пишущие машинки использовались для передачи математических выражений.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Здесь $я$ относится к единице математики . мнимой Поскольку $i$ обычно используется для обозначения электрического тока в электротехнике и системах управления мнимая единица альтернативно обозначается $j$ вместо $i$ , в этих контекстах . Независимо от контекста, это не влияет на установленное имя функции как $cis$ .

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Вайсштейн, Эрик Вольфганг (2015) [2000]. «Цис» . Математический мир . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 27 января 2016 г. Проверено 9 января 2016 г.
^ Симмонс, Брюс (28 июля 2014 г.) [2004]. «Цис» . Mathwords: термины и формулы от алгебры I до исчисления . Орегон-Сити, Орегон, США: Общественный колледж Клакамас , математический факультет. Архивировано из оригинала 16 июля 2023 г. Проверено 15 января 2016 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б «Обоснование международного стандарта — языки программирования — C» (PDF) . 5.10. Апрель 2003 г., стр. 114, 117, 183, 186–187. Архивировано (PDF) из оригинала 6 июня 2016 г. Проверено 17 октября 2010 г.
^ Аманн, Герберт [в Викиданных] ; Эшер, Иоахим [на немецком языке] (2006). Анализ И. Фундаментальные исследования по математике (на немецком языке) (3-е изд.). Базель, Швейцария: Birkhäuser Verlag . стр. 292, 298. ISBN. 978-3-76437755-7 . ISBN 3-76437755-0 . (445 страниц)
^ Московиц, Мартин А. (2002). «Глава 1. Первые понятия» . Написано в Центре аспирантуры Городского университета Нью-Йорка, Нью-Йорк, США. Курс комплексного анализа по одной переменной . Сингапур: World Scientific Publishing Co. Pte. ООО с. 7. ISBN 981-02-4780-Х . (ix+149 страниц)
^ Своковски, граф Уильям [в Викиданных] ; Коул, Джеффри (2011). Предварительное исчисление: функции и графики . Серия Precalculus (12-е изд.). Cengage Обучение . ISBN 978-0-84006857-6 . Проверено 18 января 2016 г.
^ Рейс, Клайв (2011). Абстрактная алгебра: введение в группы, кольца и поля (1-е изд.). World Scientific Publishing Co. Pte. ООО , стр. 434–438. ISBN 978-9-81433564-5 .
^ Вайц, Эдмунд [на немецком языке] (2016). «Основная теорема алгебры – наглядное доказательство» . Гамбург, Германия: Гамбургский университет прикладных наук (HAW), факультет Medientechnik. Архивировано из оригинала 3 августа 2019 г. Проверено 3 августа 2019 г.
^ Л.-Рундблад, Екатерина; Майдан, Алексей; Новак, Питер; Лабунец, Валерий (2004). «Быстрые цветовые преобразования вейвлета-Хаара-Хартли-Прометея для обработки изображений». Написано в Prometheus Inc., Ньюпорт, США. В Бирнсе, Джим (ред.). Вычислительная некоммутативная алгебра и приложения (PDF) . Серия научных исследований НАТО II: математика, физика и химия (NAII). Том. 136. Дордрехт, Нидерланды: Springer Science + Business Media, Inc., стр. 401–411. дои : 10.1007/1-4020-2307-3 . ISBN 978-1-4020-1982-1 . ISSN 1568-2609 . Архивировано (PDF) из оригинала 28 октября 2017 г. Проверено 28 октября 2017 г.
^ Каммлер, Дэвид В. (17 января 2008 г.). Первый курс анализа Фурье (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-1-13946903-6 . Проверено 28 октября 2017 г.
^ Лоренцо, Карл Ф.; Хартли, Том Т. (14 ноября 2016 г.). Дробная тригонометрия: с приложениями к дробным дифференциальным уравнениям и науке . Джон Уайли и сыновья . ISBN 978-1-11913942-3 . Проверено 28 октября 2017 г.
^ «В?СНГ». Справочник разработчика по библиотеке ядра Intel Math Kernel (Intel MKL) 2017 — C. документация МКЛ; Библиотека документации IDZ. Корпорация Интел . 06.09.2016. п. 1799. 671504 . Проверено 15 января 2016 г.
^ Биб, Нельсон ХФ (22 августа 2017 г.). «Глава 15.2. Комплексная абсолютная величина». Справочник по математическим вычислениям - Программирование с использованием портативной библиотеки программного обеспечения MathCW (1-е изд.). Солт-Лейк-Сити, Юта, США: Springer International Publishing AG . п. 443. дои : 10.1007/978-3-319-64110-2 . ISBN 978-3-319-64109-6 . LCCN 2017947446 . S2CID 30244721 .
^ «Справочник по компилятору Intel C++» (PDF) . Корпорация Интел . 2007 [1996]. стр. 34, 59–60. 307777-004США. Архивировано (PDF) из оригинала 16 июля 2023 г. Проверено 15 января 2016 г.
^ «СНГ» . Общая гиперспецификация Lisp . Компания «Арлекин Групп Лимитед» . 1996. Архивировано из оригинала 16 июля 2023 г. Проверено 15 января 2016 г.
^ «СНГ» . LispWorks, Ltd. 2005 [1996]. Архивировано из оригинала 16 июля 2023 г. Проверено 15 января 2016 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б "std.math: экспи" . Язык программирования D. Цифровой Марс . 11 января 2016 г. [2000]. Архивировано из оригинала 16 июля 2023 г. Проверено 14 января 2016 г.
^ «СНГ» . Ссылка на Хаскель . ЗВОН. Архивировано из оригинала 16 июля 2023 г. Проверено 15 января 2016 г.
^ «Математика. Математические операторы» . Язык Джулии . Архивировано из оригинала 19 августа 2020 г. Проверено 5 декабря 2019 г.
^ «Структура num_complex::Complex» . Архивировано из оригинала 16 июля 2023 г. Проверено 5 августа 2022 г.
^ Фукс, Мартин (2011). «Глава 11: Дифференцируемость функций». Анализ I (PDF) (на немецком языке) (изд. WS 2011/2012). Кафедра 6.1 математики, Саарский университет , Германия. стр. 3, 13. Архивировано (PDF) из оригинала 16 июля 2023 г. Проверено 15 января 2016 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Фукс, Мартин (2011). «Глава 8.IV: Специальные функции – Тригонометрические функции». Анализ I (PDF) (на немецком языке) (изд. WS 2011/2012). Кафедра 6.1 математики, Саарский университет , Германия. стр. 16–20. Архивировано (PDF) из оригинала 16 июля 2023 г. Проверено 15 января 2016 г.
^ Гамильтон, Уильям Роуэн (1 января 1866 г.). «Книга II, Глава II. Дробные полномочия, Общие корни единства» . Написано в Дублине, Ирландия. В Гамильтоне, Уильям Эдвин (ред.). Элементы кватернионов (1-е изд.). Лондон, Великобритания: Longmans, Green & Co. , University Press , Майкл Генри Гилл . стр. 250–257, 260, 262–263 . Проверено 17 января 2016 г. стр. 250, 252: [...] cos [...] + i sin [...] мы будем иногда сокращать до следующего: [...] cis [...]. Что касается знаков [...], их следует рассматривать в основном как доступные для настоящего изложения системы и нечасто востребованные и не используемые в последующей практике ее ; и то же самое замечание относится и к недавнему сокращению цис, для cos + i sin [...] ( [1] , [2] [3] ) (Примечание. Эта работа была опубликована посмертно, Гамильтон умер в 1865 году.)
^ Гамильтон, Уильям Роуэн (1899) [1866-01-01]. Гамильтон, Уильям Эдвин ; Джоли, Чарльз Джаспер (ред.). Элементы кватернионов . Том. Я (2-е изд.). Лондон, Великобритания: Longmans, Green & Co. 262 . Проверено 3 августа 2019 г. п. 262: [...] недавнее сокращение cis для cos + i sin [...] (NB. Это издание было переиздано издательством Chelsea Publishing Company в 1969 году.)
^ Стрингем, Ирвинг (1 июля 1893 г.) [1891]. Унипланарная алгебра, являющаяся частью 1 пропедевтики высшего математического анализа . Том. 1. CA Mordock & Co. (принтер) (1-е изд.). Сан-Франциско, Калифорния, США: Berkeley Press . С. 71–75, 77, 79–80, 82, 84–86, 89, 91–92, 94–95, 100–102, 116, 123, 128–129, 134–135 . Проверено 18 января 2016 г. п. 71: В качестве сокращения для cos θ + i sin θ удобно использовать cis θ , что можно прочитать: сектор θ .
^ Перейти обратно: ^а ^б Каджори, Флориан (1952) [март 1929]. История математических обозначений . Том. 2 (3-е исправленное издание выпуска 1929 г., 2-е изд.). Чикаго, Иллинойс, США: Издательская компания «Открытый суд» . п. 133. ИСБН 978-1-60206-714-1 . Проверено 18 января 2016 г. п. 133: Стрингем обозначил cos β + i sin β через «цис β », обозначение, также используемое Харкнессом и Морли . (Примечание. ISBN и ссылка на перепечатку 2-го издания Cosimo, Inc., Нью-Йорк, США, 2013 г.)
^ Харкнесс, Джеймс ; Морли, Фрэнк (1898). Введение в теорию аналитических функций (1-е изд.). Лондон, Великобритания: Macmillan and Company . стр. 18 , 22, 48, 52, 170. ISBN. 978-1-16407019-1 . Проверено 18 января 2016 г. (Примечание. ISBN для переиздания Kessinger Publishing , 2010 г.)
^ Кэмпбелл, Джордж Эшли (1903) [1901-06-07]. «Глава XXX. О загруженных линиях телефонной связи» (PDF) . Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . Ряд 6. 5 (27). Тейлор и Фрэнсис : 313–330. дои : 10.1080/14786440309462928 . Архивировано (PDF) из оригинала 16 июля 2023 г. Проверено 16 июля 2023 г. (2+18 страниц)
^ Кэмпбелл, Джордж Эшли (апрель 1911 г.). «Цисоидальные колебания» (PDF) . Труды Американского института инженеров-электриков . ХХХ (1–6). Американский институт инженеров-электриков : 789–824. дои : 10.1109/PAIEE.1911.6659711 . S2CID 51647814 . Проверено 24 июня 2023 г. (37 страниц)
^ Перейти обратно: ^а ^б Кэмпбелл, Джордж Эшли (1 октября 1928 г.) [13 сентября 1927 г.]. «Практическое применение интеграла Фурье» (PDF) . Технический журнал Bell Systems . 7 (4). Американская телефонная и телеграфная компания : 639–707 [641]. дои : 10.1002/j.1538-7305.1928.tb00347.x . S2CID 53552671 . Проверено 24 июня 2023 г. п. 641: Однако почти с самого начала было признано, что форма, которая лучше всего сочетает в себе математическую простоту и полную общность, использует экспоненциальную осциллирующую функцию e. ^{я 2π футов}. Совсем недавно было общепризнано подавляющее преимущество использования этой колебательной функции при обсуждении синусоидальных колебательных систем. Поэтому ясно, что эту колебательную функцию следует принять в качестве основного колебания для обеих предложенных таблиц. Желательным кажется название этого колебания, связывающее его с синусами и косинусами, а не с реальной показательной функцией. Аббревиатура cis x (cos x + i sin x ) предполагает, что мы называем эту функцию цис или цисоидальным колебанием. (69 страниц)
^ Хартли, Ральф В.Л. (март 1942 г.). «Более симметричный анализ Фурье применительно к задачам передачи» . Труды ИРЭ . 30 (3). Институт радиоинженеров : 144–150. дои : 10.1109/JRPROC.1942.234333 . S2CID 51644127 . Архивировано из оригинала 5 апреля 2019 г. Проверено 16 июля 2023 г.
^ Брейсвелл, Рональд Н. (июнь 1999 г.) [1985, 1978, 1965]. Преобразование Фурье и его приложения (3-е изд.). МакГроу-Хилл . ISBN 978-0-07303938-1 .
^ Диль, Кристина; Леупп, Марсель (январь 2010 г.). Комплексные числа: Руководство по математике (PDF) (на немецком языке). Базель и Херисау, Швейцария: Швейцарский федеральный технологический институт Цюриха (ETH). п. 41. Архивировано (PDF) из оригинала 27 августа 2017 г. п. 41: [...] Но, пожалуйста, не забывайте, что е ^iφДля нас пока это просто обозначение указателя единицы измерения с углом φ . часто используется выражение cis( φ ). В других книгах вместо e ^iφиспользовал. [...] (109 страниц)

[NB_ij-1] Здесь $я$ относится к единице математики . мнимой Поскольку $i$ обычно используется для обозначения электрического тока в электротехнике и системах управления мнимая единица альтернативно обозначается $j$ вместо $i$ , в этих контекстах . Независимо от контекста, это не влияет на установленное имя функции как $cis$ .

[Weisstein_cis-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с Вайсштейн, Эрик Вольфганг (2015) [2000]. «Цис» . Математический мир . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 27 января 2016 г. Проверено 9 января 2016 г.

[Simmons_2014_1-3] Симмонс, Брюс (28 июля 2014 г.) [2004]. «Цис» . Mathwords: термины и формулы от алгебры I до исчисления . Орегон-Сити, Орегон, США: Общественный колледж Клакамас , математический факультет. Архивировано из оригинала 16 июля 2023 г. Проверено 15 января 2016 г.

[Rationale_2003_C-4] Перейти обратно: ^а ^б «Обоснование международного стандарта — языки программирования — C» (PDF) . 5.10. Апрель 2003 г., стр. 114, 117, 183, 186–187. Архивировано (PDF) из оригинала 6 июня 2016 г. Проверено 17 октября 2010 г.

[Amann-Escher_2006-5] Аманн, Герберт [в Викиданных] ; Эшер, Иоахим [на немецком языке] (2006). Анализ И. Фундаментальные исследования по математике (на немецком языке) (3-е изд.). Базель, Швейцария: Birkhäuser Verlag . стр. 292, 298. ISBN. 978-3-76437755-7 . ISBN 3-76437755-0 . (445 страниц)

[Moskowitz_2002-6] Московиц, Мартин А. (2002). «Глава 1. Первые понятия» . Написано в Центре аспирантуры Городского университета Нью-Йорка, Нью-Йорк, США. Курс комплексного анализа по одной переменной . Сингапур: World Scientific Publishing Co. Pte. ООО с. 7. ISBN 981-02-4780-Х . (ix+149 страниц)

[Swokowski_2011-7] Своковски, граф Уильям [в Викиданных] ; Коул, Джеффри (2011). Предварительное исчисление: функции и графики . Серия Precalculus (12-е изд.). Cengage Обучение . ISBN 978-0-84006857-6 . Проверено 18 января 2016 г.

[Reis_2011-8] Рейс, Клайв (2011). Абстрактная алгебра: введение в группы, кольца и поля (1-е изд.). World Scientific Publishing Co. Pte. ООО , стр. 434–438. ISBN 978-9-81433564-5 .

[Weitz_2016-9] Вайц, Эдмунд [на немецком языке] (2016). «Основная теорема алгебры – наглядное доказательство» . Гамбург, Германия: Гамбургский университет прикладных наук (HAW), факультет Medientechnik. Архивировано из оригинала 3 августа 2019 г. Проверено 3 августа 2019 г.

[Byrnes_2004-10] Л.-Рундблад, Екатерина; Майдан, Алексей; Новак, Питер; Лабунец, Валерий (2004). «Быстрые цветовые преобразования вейвлета-Хаара-Хартли-Прометея для обработки изображений». Написано в Prometheus Inc., Ньюпорт, США. В Бирнсе, Джим (ред.). Вычислительная некоммутативная алгебра и приложения (PDF) . Серия научных исследований НАТО II: математика, физика и химия (NAII). Том. 136. Дордрехт, Нидерланды: Springer Science + Business Media, Inc., стр. 401–411. дои : 10.1007/1-4020-2307-3 . ISBN 978-1-4020-1982-1 . ISSN 1568-2609 . Архивировано (PDF) из оригинала 28 октября 2017 г. Проверено 28 октября 2017 г.

[Kammler_2008-11] Каммлер, Дэвид В. (17 января 2008 г.). Первый курс анализа Фурье (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-1-13946903-6 . Проверено 28 октября 2017 г.

[Lorenzo-Hartley_2016-12] Лоренцо, Карл Ф.; Хартли, Том Т. (14 ноября 2016 г.). Дробная тригонометрия: с приложениями к дробным дифференциальным уравнениям и науке . Джон Уайли и сыновья . ISBN 978-1-11913942-3 . Проверено 28 октября 2017 г.

[Intel_MKL-13] «В?СНГ». Справочник разработчика по библиотеке ядра Intel Math Kernel (Intel MKL) 2017 — C. документация МКЛ; Библиотека документации IDZ. Корпорация Интел . 06.09.2016. п. 1799. 671504 . Проверено 15 января 2016 г.

[Beebe_2017-14] Биб, Нельсон ХФ (22 августа 2017 г.). «Глава 15.2. Комплексная абсолютная величина». Справочник по математическим вычислениям - Программирование с использованием портативной библиотеки программного обеспечения MathCW (1-е изд.). Солт-Лейк-Сити, Юта, США: Springer International Publishing AG . п. 443. дои : 10.1007/978-3-319-64110-2 . ISBN 978-3-319-64109-6 . LCCN 2017947446 . S2CID 30244721 .

[Intel_2007_C++-15] «Справочник по компилятору Intel C++» (PDF) . Корпорация Интел . 2007 [1996]. стр. 34, 59–60. 307777-004США. Архивировано (PDF) из оригинала 16 июля 2023 г. Проверено 15 января 2016 г.

[Lisp-16] «СНГ» . Общая гиперспецификация Lisp . Компания «Арлекин Групп Лимитед» . 1996. Архивировано из оригинала 16 июля 2023 г. Проверено 15 января 2016 г.

[Lisp_2005-17] «СНГ» . LispWorks, Ltd. 2005 [1996]. Архивировано из оригинала 16 июля 2023 г. Проверено 15 января 2016 г.

[D_2011-18] Перейти обратно: ^а ^б "std.math: экспи" . Язык программирования D. Цифровой Марс . 11 января 2016 г. [2000]. Архивировано из оригинала 16 июля 2023 г. Проверено 14 января 2016 г.

[Haskell-19] «СНГ» . Ссылка на Хаскель . ЗВОН. Архивировано из оригинала 16 июля 2023 г. Проверено 15 января 2016 г.

[Julia-20] «Математика. Математические операторы» . Язык Джулии . Архивировано из оригинала 19 августа 2020 г. Проверено 5 декабря 2019 г.

[Rust-21] «Структура num_complex::Complex» . Архивировано из оригинала 16 июля 2023 г. Проверено 5 августа 2022 г.

[Fuchs_2011_2-22] Фукс, Мартин (2011). «Глава 11: Дифференцируемость функций». Анализ I (PDF) (на немецком языке) (изд. WS 2011/2012). Кафедра 6.1 математики, Саарский университет , Германия. стр. 3, 13. Архивировано (PDF) из оригинала 16 июля 2023 г. Проверено 15 января 2016 г.

[Fuchs_2011_1-23] Перейти обратно: ^а ^б Фукс, Мартин (2011). «Глава 8.IV: Специальные функции – Тригонометрические функции». Анализ I (PDF) (на немецком языке) (изд. WS 2011/2012). Кафедра 6.1 математики, Саарский университет , Германия. стр. 16–20. Архивировано (PDF) из оригинала 16 июля 2023 г. Проверено 15 января 2016 г.

[Hamilton_1866-24] Гамильтон, Уильям Роуэн (1 января 1866 г.). «Книга II, Глава II. Дробные полномочия, Общие корни единства» . Написано в Дублине, Ирландия. В Гамильтоне, Уильям Эдвин (ред.). Элементы кватернионов (1-е изд.). Лондон, Великобритания: Longmans, Green & Co. , University Press , Майкл Генри Гилл . стр. 250–257, 260, 262–263 . Проверено 17 января 2016 г. стр. 250, 252: [...] cos [...] + i sin [...] мы будем иногда сокращать до следующего: [...] cis [...]. Что касается знаков [...], их следует рассматривать в основном как доступные для настоящего изложения системы и нечасто востребованные и не используемые в последующей практике ее ; и то же самое замечание относится и к недавнему сокращению цис, для cos + i sin [...] ( [1] , [2] [3] ) (Примечание. Эта работа была опубликована посмертно, Гамильтон умер в 1865 году.)

[Hamilton_1899-25] Гамильтон, Уильям Роуэн (1899) [1866-01-01]. Гамильтон, Уильям Эдвин ; Джоли, Чарльз Джаспер (ред.). Элементы кватернионов . Том. Я (2-е изд.). Лондон, Великобритания: Longmans, Green & Co. 262 . Проверено 3 августа 2019 г. п. 262: [...] недавнее сокращение cis для cos + i sin [...] (NB. Это издание было переиздано издательством Chelsea Publishing Company в 1969 году.)

[Stringham_1893-26] Стрингем, Ирвинг (1 июля 1893 г.) [1891]. Унипланарная алгебра, являющаяся частью 1 пропедевтики высшего математического анализа . Том. 1. CA Mordock & Co. (принтер) (1-е изд.). Сан-Франциско, Калифорния, США: Berkeley Press . С. 71–75, 77, 79–80, 82, 84–86, 89, 91–92, 94–95, 100–102, 116, 123, 128–129, 134–135 . Проверено 18 января 2016 г. п. 71: В качестве сокращения для cos θ + i sin θ удобно использовать cis θ , что можно прочитать: сектор θ .

[Cajori_1929-27] Перейти обратно: ^а ^б Каджори, Флориан (1952) [март 1929]. История математических обозначений . Том. 2 (3-е исправленное издание выпуска 1929 г., 2-е изд.). Чикаго, Иллинойс, США: Издательская компания «Открытый суд» . п. 133. ИСБН 978-1-60206-714-1 . Проверено 18 января 2016 г. п. 133: Стрингем обозначил cos β + i sin β через «цис β », обозначение, также используемое Харкнессом и Морли . (Примечание. ISBN и ссылка на перепечатку 2-го издания Cosimo, Inc., Нью-Йорк, США, 2013 г.)

[Harkness_Morley_1898-28] Харкнесс, Джеймс ; Морли, Фрэнк (1898). Введение в теорию аналитических функций (1-е изд.). Лондон, Великобритания: Macmillan and Company . стр. 18 , 22, 48, 52, 170. ISBN. 978-1-16407019-1 . Проверено 18 января 2016 г. (Примечание. ISBN для переиздания Kessinger Publishing , 2010 г.)

[Campbell_1901-29] Кэмпбелл, Джордж Эшли (1903) [1901-06-07]. «Глава XXX. О загруженных линиях телефонной связи» (PDF) . Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . Ряд 6. 5 (27). Тейлор и Фрэнсис : 313–330. дои : 10.1080/14786440309462928 . Архивировано (PDF) из оригинала 16 июля 2023 г. Проверено 16 июля 2023 г. (2+18 страниц)

[Campbell_1911-30] Кэмпбелл, Джордж Эшли (апрель 1911 г.). «Цисоидальные колебания» (PDF) . Труды Американского института инженеров-электриков . ХХХ (1–6). Американский институт инженеров-электриков : 789–824. дои : 10.1109/PAIEE.1911.6659711 . S2CID 51647814 . Проверено 24 июня 2023 г. (37 страниц)

[Campbell_1928-31] Перейти обратно: ^а ^б Кэмпбелл, Джордж Эшли (1 октября 1928 г.) [13 сентября 1927 г.]. «Практическое применение интеграла Фурье» (PDF) . Технический журнал Bell Systems . 7 (4). Американская телефонная и телеграфная компания : 639–707 [641]. дои : 10.1002/j.1538-7305.1928.tb00347.x . S2CID 53552671 . Проверено 24 июня 2023 г. п. 641: Однако почти с самого начала было признано, что форма, которая лучше всего сочетает в себе математическую простоту и полную общность, использует экспоненциальную осциллирующую функцию e. ^{я 2π футов}. Совсем недавно было общепризнано подавляющее преимущество использования этой колебательной функции при обсуждении синусоидальных колебательных систем. Поэтому ясно, что эту колебательную функцию следует принять в качестве основного колебания для обеих предложенных таблиц. Желательным кажется название этого колебания, связывающее его с синусами и косинусами, а не с реальной показательной функцией. Аббревиатура cis x (cos x + i sin x ) предполагает, что мы называем эту функцию цис или цисоидальным колебанием. (69 страниц)

[Hartley_1942-32] Хартли, Ральф В.Л. (март 1942 г.). «Более симметричный анализ Фурье применительно к задачам передачи» . Труды ИРЭ . 30 (3). Институт радиоинженеров : 144–150. дои : 10.1109/JRPROC.1942.234333 . S2CID 51644127 . Архивировано из оригинала 5 апреля 2019 г. Проверено 16 июля 2023 г.

[Bracewell_1999-33] Брейсвелл, Рональд Н. (июнь 1999 г.) [1985, 1978, 1965]. Преобразование Фурье и его приложения (3-е изд.). МакГроу-Хилл . ISBN 978-0-07303938-1 .

[Diehl-Leupp_2010-34] Диль, Кристина; Леупп, Марсель (январь 2010 г.). Комплексные числа: Руководство по математике (PDF) (на немецком языке). Базель и Херисау, Швейцария: Швейцарский федеральный технологический институт Цюриха (ETH). п. 41. Архивировано (PDF) из оригинала 27 августа 2017 г. п. 41: [...] Но, пожалуйста, не забывайте, что е ^iφДля нас пока это просто обозначение указателя единицы измерения с углом φ . часто используется выражение cis( φ ). В других книгах вместо e ^iφиспользовал. [...] (109 страниц)

[номер 1]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]