Потенциальная завихренность

В механике жидкости потенциальная завихренность (PV) — это величина, пропорциональная произведению завихренности стратификации и скалярному . Это количество, следующее за порцией воздуха или воды, может быть изменено только за счет диабатических или фрикционных процессов. Это полезная концепция для понимания возникновения завихренности в циклогенезе (рождение и развитие циклона), особенно вдоль полярного фронта , а также для анализа течения в океане.

Потенциальная завихренность (PV) рассматривается как один из важных теоретических успехов современной метеорологии. Это упрощенный подход к пониманию движения жидкости во вращающейся системе, такой как атмосфера Земли и океан. Его развитие восходит к теореме о циркуляции Бьеркнеса в 1898 году: которая является специализированной формой теоремы Кельвина о циркуляции . Начиная с Хоскинса и др., 1985 г., PV чаще используется в оперативной диагностике погоды, например, для отслеживания динамики воздушных потоков и инвертирования поля полного потока. Даже после того, как подробные численные прогнозы погоды в более мелких масштабах стали возможными благодаря увеличению вычислительной мощности, вид PV по-прежнему используется в научных кругах и в обычных прогнозах погоды, проливая свет на особенности синоптического масштаба для синоптиков и исследователей.

Бароклинная неустойчивость требует наличия потенциального градиента завихренности, вдоль которого волны усиливаются в ходе циклогенеза.

Теорема Бьеркнеса о циркуляции

Вильгельм Бьеркнес обобщил уравнение завихренности Гельмгольца (1858 г.) и теорему Кельвина о циркуляции (1869 г.) на невязкие, геострофические и бароклинные жидкости. т.е. жидкости различной плотности во вращающейся системе координат, имеющей постоянную угловую скорость. Если мы определим циркуляцию как интеграл касательной составляющей скорости вокруг замкнутого контура жидкости и возьмем интеграл от замкнутой цепочки частиц жидкости, мы получим

${\frac {DC}{Dt}}=-\oint {\frac {1}{\rho }}\nabla p\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} -2\Omega {\frac {DA_{e}}{Dt}},$ (1)

где ${\textstyle {\frac {D}{Dt}}}$ - производная по времени во вращательной системе отсчета (не инерциальной), $C$ относительная циркуляция, $A_{e}$ – проекция площади, окруженной жидкостной петлей, на экваториальную плоскость, $\rho$ плотность, $p$ это давление, и $\Omega$ - угловая скорость кадра. С помощью теоремы Стокса первый член в правой части можно переписать как

${\frac {DC}{Dt}}=\int _{A}{\frac {\nabla \rho \times \nabla p}{\rho ^{2}}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} -2\Omega {\frac {DA_{e}}{Dt}},$(2)

в котором говорится, что скорость изменения циркуляции определяется изменением плотности в координатах давления и экваториальной проекцией ее площади, соответствующей первому и второму слагаемым в правой части. Первый член также называют « термом соленоида ». В условиях баротропной жидкости с постоянной площадью проекции $A_{e}$, теорема о циркуляции Бьеркнеса сводится к теореме Кельвина. Однако в контексте динамики атмосферы такие условия не являются хорошим приближением: если контур жидкости перемещается из экваториальной области во внетропики, $A_{e}$ не сохраняется. Более того, сложная геометрия материального контура не идеальна для аргументации о движении жидкости.

Мелководный фотоэлектрический объект Россби

Карл Россби сделал предложение в 1939 году. что вместо полного трехмерного вектора завихренности локальная вертикальная составляющая абсолютной завихренности $\zeta _{a}$ является наиболее важным компонентом крупномасштабных атмосферных потоков. Кроме того, крупномасштабную структуру двумерного недивергентного баротропного течения можно смоделировать, предположив, что $\zeta _{a}$ сохраняется. Его более поздняя статья 1940 г. ослабил эту теорию от двумерного потока до квази-двумерных уравнений мелкой воды на бета-плоскости . В этой системе атмосфера разделена на несколько несжимаемых слоев, наложенных друг на друга, и вертикальную скорость можно определить путем интегрирования схождения горизонтального потока. Для однослойной системы мелкой воды без внешних сил и диабатического нагрева Россби показал, что

${\frac {D}{Dt}}\left({\frac {\zeta +f}{h}}\right)=0$, (3)

где $\zeta$ - относительная завихренность, $h$ - глубина слоя, а $f$ – параметр Кориолиса. Сохраняющаяся величина в уравнении (3) позже будет названа потенциальной завихренностью мелкой воды . Для атмосферы с несколькими слоями, каждый из которых имеет постоянную потенциальную температуру, приведенное выше уравнение принимает форму

${\frac {D}{Dt}}\left({\frac {\zeta _{\theta }+f}{\Delta }}\right)=0,$ (4)

в котором $\zeta _{\theta }$ — относительная завихренность на изэнтропической поверхности — поверхности с постоянной потенциальной температурой , и $\Delta =-\delta p/g$ является мерой веса единицы поперечного сечения отдельного столба воздуха внутри слоя.

Интерпретация

Схождение и расхождение воздушной посылки

Уравнение (3) представляет собой атмосферный эквивалент углового момента . Например, вращающаяся фигуристка с разведенными в стороны руками может ускорить вращение, сжимая руки. Точно так же, когда воздушный вихрь расширяется, он, в свою очередь, вращается медленнее. Когда воздух сходится горизонтально, скорость воздуха увеличивается для поддержания потенциальной завихренности, а вертикальная протяженность увеличивается для сохранения массы. С другой стороны, дивергенция заставляет вихрь распространяться, замедляя скорость вращения.

Потенциальная завихренность Эртеля

Ганс Эртель обобщил работу Россби в независимой статье, опубликованной в 1942 году. Идентифицируя сохраняющуюся величину, следующую за движением воздушного пакета, можно доказать, что определенная величина, называемая потенциальной завихренностью Эртеля, также сохраняется и для идеализированной непрерывной жидкости. Мы рассмотрим уравнение количества движения и уравнение неразрывности массы идеализированной сжимаемой жидкости в декартовых координатах:

${\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {v^{2}} -\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {v} )+2\mathbf {\Omega } \times \mathbf {v} =-\nabla \Phi -{\frac {1}{\rho }}\nabla p,$ (5)

${\frac {D\rho }{Dt}}=-\rho \nabla \cdot \mathbf {v} ,$ (6)

где $\Phi$ – геопотенциальная высота. Записав абсолютную завихренность как ${\textstyle \mathbf {\zeta _{a}} =\nabla \times \mathbf {v} +2\mathbf {\Omega } }$, $1/\rho$ как $\alpha$, а затем возьмем ротор уравнения полного импульса (5), получим

${\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {v} -\nabla \times (\mathbf {v} \times \mathbf {\zeta _{a}} )=\nabla p\times \nabla \alpha .$ (7)

Учитывать $\psi =\psi (\mathbf {r} ,t)$ быть гидродинамическим инвариантом, т. е. ${\textstyle {\frac {D\psi }{Dt}}}$ равен нулю после рассматриваемого движения жидкости. Скалярное умножение уравнения (7) на $\nabla \psi$, и обратите внимание, что ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {\zeta _{a}} ={\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {v} }$, у нас есть

$\nabla \psi \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {\zeta _{a}} -\nabla \psi \cdot [\nabla \times (\mathbf {v} \times \mathbf {\zeta _{a}} )]=\nabla \psi \cdot (\nabla p\times \nabla \alpha ).$ (8)

Второе слагаемое в левой части уравнения (8) равно ${\textstyle \nabla \cdot [\nabla \psi \times (\mathbf {v} \times \mathbf {\zeta _{a}} )]-(\mathbf {v} \times \zeta _{a})\cdot (\nabla \times \nabla \psi )}$, в котором второй член равен нулю. Из формулы тройного векторного произведения мы имеем

${\begin{aligned}\nabla \psi \times (\mathbf {v} \times \mathbf {\zeta _{a}} )&=\mathbf {v} (\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )-\mathbf {\zeta _{a}} (\mathbf {v} \cdot \nabla \psi )\\&=\mathbf {v} (\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )+\mathbf {\zeta _{a}} {\frac {\partial \psi }{\partial t}},\end{aligned}}$ (9)

где вторая строка обусловлена ​​тем, что $\psi$ сохраняется после движения, ${\textstyle {\frac {D\psi }{Dt}}=0}$. Подставив уравнение (9) в уравнение (8) выше,

$\nabla \psi \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {\zeta _{a}} +\mathbf {v} \cdot \nabla (\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )+(\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {\zeta _{a}} \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \psi =\nabla \psi \cdot (\nabla p\times \nabla \alpha ).$ (10)

Объединение первого, второго и четвертого членов в уравнении (10) может дать ${\textstyle {\frac {D}{Dt}}(\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )}$. Деление на ${\textstyle \rho }$ и используя вариантную форму уравнения неразрывности массы, ${\textstyle {\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot \mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {D\alpha }{Dt}}}$, уравнение (10) дает

$\alpha {\frac {D}{Dt}}(\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )+(\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi ){\frac {D\alpha }{Dt}}=\alpha \nabla \psi \cdot (\nabla p\times \nabla \alpha )$ (11)

Если инвариант ${\textstyle \psi }$ является только функцией давления ${\textstyle p}$ и плотность ${\textstyle \rho }$, то его градиент перпендикулярен векторному произведению ${\textstyle \nabla p}$ и ${\textstyle \nabla \rho }$, что означает, что правая часть уравнения (11) равна нулю. Конкретно для атмосферы потенциальная температура выбрана в качестве инварианта для движений без трения и адиабатических движений. Следовательно, закон сохранения потенциальной завихренности Эртеля имеет вид

${\frac {D}{Dt}}PV=0.$ (12)

потенциальная завихренность определяется как

$PV={\frac {\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \theta }{\rho }},$ (13)

где $\rho$ жидкости плотность , $\mathbf {\zeta _{a}}$ абсолютная завихренность и $\nabla \theta$ – градиент потенциальной температуры . и сохранения импульса можно показать С помощью комбинации первого закона термодинамики , что потенциальная завихренность может быть изменена только за счет диабатического нагрева (например, скрытого тепла, выделяющегося при конденсации) или процессов трения.

Если атмосфера устойчиво стратифицирована так, что потенциальная температура ${\textstyle \theta }$ монотонно возрастает с высотой, ${\textstyle \theta }$ может использоваться как вертикальная координата вместо ${\textstyle z}$. В ${\textstyle (x,y,\theta )}$ системе координат, «плотность» определяется как ${\textstyle \sigma \equiv -g^{-1}\partial p/\partial \theta }$. Тогда, если мы начнем вывод с уравнения горизонтального импульса в изэнтропических координатах, Ertel PV примет гораздо более простой вид

$PV_{\theta }={\frac {f+\mathbf {k} \cdot (\nabla _{\theta }\times \mathbf {v} )}{\sigma }}$ (14)

где ${\textstyle \mathbf {k} }$ - локальный вертикальный вектор единичной длины и ${\textstyle \nabla _{\theta }}$ — оператор трехмерного градиента в изэнтропических координатах. Можно видеть, что эта форма потенциальной завихренности представляет собой не что иное, как непрерывную форму изэнтропического многослойного ФВ Россби в уравнении (4).

Интерпретация

Теорема Эртеля о сохранении ПВ, уравнение (12), утверждает, что для сухой атмосферы, если воздушный пакет сохраняет свою потенциальную температуру, его потенциальная завихренность также сохраняется после его полных трехмерных движений. Другими словами, при адиабатическом движении частицы воздуха сохраняют Ertel PV на изэнтропической поверхности. Примечательно, что эта величина может служить лагранжевым индикатором, связывающим поля ветра и температуры. Использование теоремы Эртеля о сохранении солнечной энергии привело к различным достижениям в понимании общей циркуляции. Одним из них был процесс «складывания тропопаузы», описанный Ридом и др. (1950). В верхней тропосфере и стратосфере воздушные массы следуют адиабатическим движениям в течение синоптического периода времени. Во внетропической области изэнтропические поверхности стратосферы могут проникать в тропопаузу, и, таким образом, частицы воздуха могут перемещаться между стратосферой и тропосферой, хотя сильный градиент ПВ вблизи тропопаузы обычно препятствует этому движению. Однако во фронтальной области вблизи полос струи, которая представляет собой концентрированную область внутри струйного течения , где скорость ветра самая сильная, контур ФВ может простираться существенно вниз в тропосферу, что аналогично изэнтропическим поверхностям. Следовательно, стратосферный воздух может переноситься вниз, следуя как по постоянным PV, так и по изэнтропическим поверхностям, вниз, вглубь тропосферы. Также было доказано, что использование фотоэлектрических карт позволяет точно различить воздушные участки недавнего стратосферного происхождения даже при возмущениях субсиноптического масштаба. (Иллюстрацию можно найти у Холтона, 2004 г., рис. 6.4.)

Ertel PV также действует как индикатор потока в океане и может использоваться для объяснения того, как горные цепи, такие как Анды , могут заставлять верхние западные ветры отклоняться к экватору и обратно. Карты, изображающие PV Эртеля, обычно используются в метеорологическом анализе, в котором потенциальная единица завихренности (PVU) определяется как ${\textstyle {10^{-6}\cdot \mathrm {K} \cdot \mathrm {m} ^{2} \over \mathrm {kg} \cdot \mathrm {s} }\equiv 1\ \mathrm {PVU} }$.

Квазигеострофические фотоэлектрические системы

Одно из простейших, но, тем не менее, понятных условий балансировки имеет форму квазигеострофических уравнений . Суть этого приближения состоит в том, что для трехмерных атмосферных движений, близких к гидростатическим и геострофическим , их геострофическая часть может быть приближенно определена полем давления, тогда как агеострофическая часть определяет эволюцию геострофического потока. Потенциальная завихренность в квазигеострофическом пределе (QGPV) была впервые сформулирована Чарни и Стерном в 1960 году. Подобно главе 6.3 в Holton 2004, мы исходим из уравнений горизонтального импульса (15), неразрывности массы (16), гидростатики (17) и термодинамики (18) на бета-плоскости , предполагая при этом, что поток невязкий и гидростатический ,

${\frac {D_{g}\mathbf {u_{g}} }{Dt}}+f_{0}\mathbf {k} \times \mathbf {u_{a}} +\beta y\mathbf {k} \times \mathbf {u_{g}} =0$ (15)

$\nabla _{hp}\cdot \mathbf {u_{a}} +{\frac {\partial \omega }{\partial p}}=0$ (16)

${\frac {\partial \Phi }{\partial p}}=-{\frac {R\pi }{p}}\theta$ (17)

${\frac {D_{g}\theta }{Dt}}+\omega {\frac {d\theta _{0}}{dp}}={\frac {J}{c_{p}\pi }}$ (18)

где ${\textstyle {\frac {D_{g}}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+u_{g}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{g}{\frac {\partial }{\partial y}}}$ представляет собой геострофическую эволюцию, ${\textstyle \pi =(p/ps)^{R/c_{p}}}$, ${\textstyle J}$ - член диабатического нагрева в ${\textstyle Js^{-1}kg^{-1}}$, ${\textstyle \Phi }$ - геопотенциальная высота, ${\textstyle \mathbf {u_{g}} }$ – геострофическая составляющая горизонтальной скорости, ${\textstyle \mathbf {u_{a}} }$ – агеострофическая скорость, ${\textstyle \nabla _{hp}}$ — оператор горизонтального градиента в координатах (x, y, p). После некоторых манипуляций (подробнее см. «Квазигеострофические уравнения» или Holton 2004, глава 6) можно прийти к закону сохранения.

${\frac {D_{g}}{Dt}}q=-f_{0}{\frac {\partial }{\partial p}}\left(\sigma {\frac {\kappa J}{p}}\right),$ (19)

где ${\textstyle \sigma =-{\frac {R\pi }{p}}{\frac {d\theta _{0}}{dp}}}$ – пространственно-усредненная сухая статическая устойчивость. Предполагая, что течение адиабатическое, это означает ${\textstyle J=0}$, мы имеем сохранение QGPV. Сохраняющееся количество ${\textstyle q}$ принимает форму

${q={{{1 \over f_{o}}{\nabla ^{2}\Phi }}+{f}+{{\partial \over \partial p}\left({{f_{o} \over \sigma }{\partial \Phi \over \partial p}}\right)}}},$ (20)

это QGPV, также известное как псевдопотенциальная завихренность. Помимо члена диабатического нагрева в правой части уравнения (19), можно также показать, что QGPV можно изменить силами трения.

PV Эртеля сводится к QGPV, если расширить PV Эртеля до главного порядка и предположить, что уравнение эволюции является квазигеострофическим, т. е. ${\textstyle {\frac {D}{Dt}}\approx {\frac {D_{g}}{Dt}}}$. Из-за этого фактора следует также отметить, что Ertel PV сохраняется после потока воздуха на изэнтропической поверхности и, следовательно, является хорошим лагранжевым индикатором, тогда как QGPV сохраняется после крупномасштабного геострофического потока. QGPV широко использовался для изображения крупномасштабных структур атмосферных потоков, как обсуждалось в разделе « Принцип обратимости PV» ;

Принцип обратимости фотоэлектрических систем

Помимо того, что потенциальная завихренность является лагранжевым трассером, она также дает динамические последствия через принцип обратимости. Для двумерной идеальной жидкости распределение завихренности управляет функцией тока с помощью оператора Лапласа:

${\zeta ={\nabla ^{2}\Psi }},$ (21)

где $\zeta$ - относительная завихренность, а $\Psi$ это функция потока. Следовательно, зная поле завихренности, оператор можно инвертировать и вычислить функцию тока. В этом конкретном случае (уравнение 21) завихренность дает всю информацию, необходимую для вывода движений или функции тока, поэтому можно мыслить в терминах завихренности, чтобы понять динамику жидкости. Похожий принцип был первоначально введен для потенциальной завихренности в трехмерной жидкости в 1940-х годах Кляйншмитом и развит Чарни и Стерном в их квазигеострофической теории.

Несмотря на теоретическую элегантность потенциальной завихренности Эртеля, ранние применения Ertel PV ограничивались исследованиями трассеров с использованием специальных изэнтропических карт. Как правило, недостаточно вывести другие переменные только на основе знаний о фотоэлектрических полях Эртеля, поскольку они являются продуктом ветра ( ${\textstyle \zeta _{a}}$) и температурные поля ( ${\textstyle \theta }$ и ${\textstyle \rho }$). Однако крупномасштабные атмосферные движения по своей сути квазистатичны; Поля ветра и массы корректируются и балансируются друг относительно друга (например, градиентный баланс, геострофический баланс). Следовательно, для формирования замыкания и вывода полной структуры рассматриваемого потока можно сделать и другие предположения:

(1) ввести условия балансирования определенного вида. Эти условия должны быть физически реализуемыми и устойчивыми, без неустойчивостей, таких как статическая неустойчивость. Кроме того, пространственные и временные масштабы движения должны быть совместимы с предполагаемым балансом;

(2) указать определенное эталонное состояние, такое как распределение температуры, потенциальная температура или геопотенциальная высота;

(3) установить правильные граничные условия и глобально инвертировать фотоэлектрическое поле.

Первое и второе предположения явно выражены при выводе квазигеострофических ФВ. В качестве условия балансировки используется геострофический баланс ведущего порядка. Члены второго порядка, такие как агеострофические ветры, возмущения потенциальной температуры и возмущения геострофической высоты, должны иметь согласованную величину, т. е. порядка числа Россби . Эталонным состоянием является осредненная по зонам потенциальная температура и геопотенциальная высота. Третье предположение очевидно даже для двумерной инверсии завихренности, поскольку обращение оператора Лапласа в уравнении (21), который является эллиптическим оператором второго порядка , требует знания граничных условий .

Например, в уравнении (20) обратимость означает, что при знании ${\textstyle q}$оператор типа Лапласа можно инвертировать, чтобы получить геопотенциальную высоту ${\textstyle \Phi }$. ${\textstyle \Phi }$ также пропорциональна функции потока QG ${\textstyle \Psi }$ в квазигеострофическом предположении. Тогда геострофическое поле ветра можно легко вывести из ${\textstyle \Psi }$. Наконец, температурное поле ${\textstyle \theta }$ дается заменой ${\textstyle \Phi }$ в гидростатическое уравнение (17).

См. также

• завихренность
• Циркуляция (гидродинамика)

Дальнейшее чтение

Роулстон, Ян; Норбери, Джон (2013). Невидимый во время шторма: роль математики в понимании погоды . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-15272-1 .

Внешние ссылки

• Запись в глоссарии AMS
• в энциклопедии о потенциальной завихренности Статья Майкла Э. Макинтайра