Хартли преобразует

В математике ( преобразование Хартли HT ) представляет собой неотъемлемое преобразование, тесно связанное с преобразованием Фурье (FT), но которое преобразует реальные функции в реальные функции. Он был предложен в качестве альтернативы преобразованию Фурье Ральфа В.Л. Хартли в 1942 году, ^{[ 1 ]} и является одним из многих известных трансформаций, связанных с Фурье . По сравнению с преобразованием Фурье преобразование Хартли обладает преимуществами преобразования реальных функций в реальные функции (в отличие от требований сложных чисел ) и быть его собственным обратным.

Дискретная версия Transform, Discrete Hartley Transform (DHT), была представлена Рональдом Н. Брейсвеллом в 1983 году. ^{[ 2 ]}

Двумерное преобразование Хартли может быть рассчитано с помощью аналогового оптического процесса, аналогичного оптическому преобразованию Фурье (OFT), с предлагаемым преимуществом, что необходимо определить только его амплитуду и знак, а не его сложная фаза. ^{[ 3 ]} Тем не менее, оптические преобразования Хартли, похоже, не видели широко распространенного использования.

Определение

Хартли Преобразование функции $f(t)$ определяется:

$H(\omega )=\left\{{\mathcal {H}}f\right\}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\operatorname {cas} (\omega t)\,\mathrm {d} t\,,$

где $\omega$ Может ли в приложениях быть угловой частотой и

$\operatorname {cas} (t)=\cos(t)+\sin(t)={\sqrt {2}}\sin(t+\pi /4)={\sqrt {2}}\cos(t-\pi /4)\,,$

это ядро косинуса (CAS) или Хартли . В инженерных терминах это преобразование принимает сигнал (функцию) от временной области до спектрального домена Хартли (частотная область).

Обратное преобразование

Преобразование Хартли обладает удобным свойством быть его собственным обратным ( инволюция ):

$f=\{{\mathcal {H}}\{{\mathcal {H}}f\}\}\,.$

Конвенции

Выше приведено в соответствии с первоначальным определением Хартли, но (как и в случае с преобразованием Фурье) различные незначительные детали являются вопросами соглашения и могут быть изменены без изменения основных свойств:

Вместо того, чтобы использовать одно и то же преобразование для прямого и обратного, можно удалить ${1}/{\sqrt {2\pi }}$ от прямого преобразования и использования ${1}/{2\pi }$ для обратного - или, действительно, любых паре нормализаций, чей продукт ${1}/{2\pi }$ Полем (Такие асимметричные нормализации иногда встречаются как в чисто математическом, так и в инженерном контексте.)
Также можно использовать $2\pi \nu t$ вместо $\omega t$ (т.е. частота вместо угловой частоты), и в этом случае ${1}/{\sqrt {2\pi }}$ Коэффициент полностью опущен.
Можно использовать $\cos -\sin$ вместо $\cos +\sin$ как ядро.

Отношение к преобразованию Фурье

Это преобразование отличается от классического преобразования Фурье $F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}(\omega )$ в выборе ядра. В преобразовании Фурье у нас есть экспоненциальное ядро, $\exp \left({-\mathrm {i} \omega t}\right)=\cos(\omega t)-\mathrm {i} \sin(\omega t)$ В где $\mathrm {i}$ это воображаемая единица .

Однако эти два преобразования тесно связаны, и преобразование Фурье (при условии, что он использует то же самое $1/{\sqrt {2\pi }}$ Конвенция о нормализации) может быть рассчитана из преобразования Хартли через:

$F(\omega )={\frac {H(\omega )+H(-\omega )}{2}}-\mathrm {i} {\frac {H(\omega )-H(-\omega )}{2}}\,.$

То есть реальные и воображаемые части преобразования Фурье просто определяются ровными и нечетными частями преобразования Хартли соответственно.

И наоборот, для реальных функций $f(t)$ , преобразование Хартли дано из реальных и воображаемых частей преобразования Фурье:

$\{{\mathcal {H}}f\}=\Re \{{\mathcal {F}}f\}-\Im \{{\mathcal {F}}f\}=\Re \{{\mathcal {F}}f\cdot (1+\mathrm {i} )\}\,,$

где $\Re$ и $\Im$ Обозначите реальные и воображаемые части.

Характеристики

Преобразование Хартли является настоящим линейным оператором и является симметричным (и эрмитовым ). Из симметричных и самостоятельных свойств из этого следует, что преобразование является унитарным оператором (действительно, ортогональным ).

Свертка с использованием преобразований Хартли ^{[ 4 ]} $f(x)*g(x)={\frac {F(\omega )G(\omega )+F(-\omega )G(\omega )+F(\omega )G(-\omega )-F(-\omega )G(-\omega )}{2}}$ где $F(\omega )=\{{\mathcal {H}}f\}(\omega )$ и $G(\omega )=\{{\mathcal {H}}g\}(\omega )$

Подобно преобразованию Фурье, преобразование Хартли равномерной/нечетной функции равно/нечетное соответственно.

кассу

Свойства ядра Хартли , для которых Хартли представил имя CAS для функции (из косинуса и синуса ) в 1942 году, ^{[ 1 ]}^{[ 5 ]} Следуйте непосредственно из тригонометрии , и ее определение в виде тригонометрической функции с измененной фазой $\operatorname {cas} (t)={\sqrt {2}}\sin(t+\pi /4)=\sin(t)+\cos(t)$ Полем Например, у него есть идентичность угла врожденности:

$2\operatorname {cas} (a+b)=\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (-b)-\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (-b)\,.$

Кроме того:

$\operatorname {cas} (a+b)={\cos(a)\operatorname {cas} (b)}+{\sin(a)\operatorname {cas} (-b)}=\cos(b)\operatorname {cas} (a)+\sin(b)\operatorname {cas} (-a)\,,$

и его производная дается:

$\operatorname {cas} '(a)={\frac {d}{da}}\operatorname {cas} (a)=\cos(a)-\sin(a)=\operatorname {cas} (-a)\,.$

Смотрите также

Ссылки

^ Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} Хартли, Ральф В.Л. (март 1942 г.). «Более симметричный анализ Фурье, применяемый к проблемам передачи» . Материалы IRE . 30 (3): 144–150. doi : 10.1109/jrproc.1942.234333 . S2CID 51644127 .
^ Bracewell, Ronald N. (1983). "Дискретный Хартли преобразует". Журнал Оптического общества Америки . 73 (12): 1832–1835. doi : 10.1364/josa.73.001832 . S2CID 120611904 .
^ Villasenor, John D. (1994). «Оптический Хартли преобразует». Труды IEEE . 82 (3): 391–399. doi : 10.1109/5.272144 .
^ Олейничзак (2010). "Хартли преобразует". В Пулариках (ред.). Справочник по преобразованию и приложениям (3 -е изд.). CRC Press. Уравнение (4,54)
^ Bracewell, Ronald N. (июнь 1999 г.) [1985, 1978, 1965]. Преобразование Фурье и его приложения (3 изд.). МакГроу-Хилл . ISBN 978-0-07303938-1 Полем (NB. Второе издание также переведено на японский и лак.)

Bracewell, Ronald N. (1986). Написано в Стэнфорде, штат Калифорния, США. Хартли преобразует . Oxford Engineering Science Series. Тол. 19 (1 изд.). Нью -Йорк, Нью -Йорк, США: Oxford University Press, Inc. ISBN 0-19-503969-6 Полем (NB. Также переведено на немецкий и русский.)
Bracewell, Ronald N. (1994). «Аспекты преобразования Хартли». Труды IEEE . 82 (3): 381–387. doi : 10.1109/5.272142 .
Миллан, Рик П. (1994). «Аналитические свойства преобразования Хартли». Труды IEEE . 82 (3): 413–428. doi : 10.1109/5.272146 .

Дальнейшее чтение

Олнежничзак, Крейг Дж.; Хейдт, Джеральд Т., ред. (Март 1994 г.). «Сканирование специального раздела о преобразовании Хартли» . Специальный выпуск на Hartley Transform . Тол. 82. Труды IEEE . С. 372–380 . Получено 2017-10-31 . (NB. Содержит обширную библиографию.)

[Hartley_1942-1] Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} Хартли, Ральф В.Л. (март 1942 г.). «Более симметричный анализ Фурье, применяемый к проблемам передачи» . Материалы IRE . 30 (3): 144–150. doi : 10.1109/jrproc.1942.234333 . S2CID 51644127 .

[Bracewell_1983-2] Bracewell, Ronald N. (1983). "Дискретный Хартли преобразует". Журнал Оптического общества Америки . 73 (12): 1832–1835. doi : 10.1364/josa.73.001832 . S2CID 120611904 .

[Villasenor_1994-3] Villasenor, John D. (1994). «Оптический Хартли преобразует». Труды IEEE . 82 (3): 391–399. doi : 10.1109/5.272144 .

[4] Олейничзак (2010). "Хартли преобразует". В Пулариках (ред.). Справочник по преобразованию и приложениям (3 -е изд.). CRC Press. Уравнение (4,54)

[Bracewell_1999-5] Bracewell, Ronald N. (июнь 1999 г.) [1985, 1978, 1965]. Преобразование Фурье и его приложения (3 изд.). МакГроу-Хилл . ISBN 978-0-07303938-1 Полем (NB. Второе издание также переведено на японский и лак.)

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]