Неравенство Кай Фана

В математике есть два разных результата, которые имеют общее название неравенство Кай Фана . Одним из них является неравенство, включающее среднее геометрическое и среднее арифметическое двух наборов действительных чисел единичного интервала . Результат был опубликован на странице 5 книги «Неравенства» Эдвина Ф. Бекенбаха и Ричарда Э. Беллмана (1961), которые ссылаются на неопубликованный результат Кая Фана . Они упоминают этот результат в связи с неравенством средних арифметических и геометрических , а также Огюстеном Луи Коши доказательством этого неравенства методом прямой-обратной индукции; метод, который также можно использовать для доказательства неравенства Кая Фана.

Это неравенство Кай Фана является частным случаем неравенства Левинсона , а также отправной точкой для нескольких обобщений и уточнений; некоторые из них приведены в ссылках ниже.

Второе неравенство Кай Фана используется в теории игр для исследования существования равновесия.

Постановка классической версии

Если с ${\textstyle 0\leq x_{i}\leq {\frac {1}{2}}}$ для i = 1, ..., n , тогда

{\frac {{\bigl (}\prod _{i=1}^{n}x_{i}{\bigr )}^{1/n}}{{\bigl (}\prod _{i=1}^{n}(1-x_{i}){\bigr )}^{1/n}}}\leq {\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(1-x_{i})}}

с равенством тогда и только тогда, когда Икс ₁ знак равно Икс ₂ знак равно ⋅ ⋅ ⋅ знак равно Икс _п .

Примечание

Позволять

A_{n}:={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i},\qquad G_{n}={\biggl (}\prod _{i=1}^{n}x_{i}{\biggr )}^{1/n}

обозначают соответственно среднее арифметическое и геометрическое x ₁ , . . ., x _n , и пусть

A_{n}':={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(1-x_{i}),\qquad G_{n}'={\biggl (}\prod _{i=1}^{n}(1-x_{i}){\biggr )}^{1/n}

обозначают среднее арифметическое и геометрическое соответственно 1 − x ₁ , . . ., 1 - Икс _п . Тогда неравенство Кай Фана можно записать в виде

{\frac {G_{n}}{G_{n}'}}\leq {\frac {A_{n}}{A_{n}'}},

что показывает сходство с неравенством средних арифметических и геометрических, формулой G _n ≤ An _{заданным} .

Обобщение с весами

Если x _i ∈ [0, ⁠ 1 / 2 ⁠ ] и γ _i ∈ [0,1] для i = 1, . . ., n — действительные числа, удовлетворяющие γ ₁ + . . . + γ _n = 1, тогда

{\frac {\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\gamma _{i}}}{\prod _{i=1}^{n}(1-x_{i})^{\gamma _{i}}}}\leq {\frac {\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}(1-x_{i})}}

с соглашением 0 ⁰ := 0. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда либо

γ _i x _i = 0 для всех i = 1, . . , ни .
все x _i > 0 и существует x ∈ (0, ⁠ 1 / 2 ⁠ ] такой, что x = x _i для всех i = 1, . . ., n с γ _i > 0.

Классический вариант соответствует γ _i = 1/ n для всех i = 1, . . ., н .

Доказательство обобщения

Идея: применить неравенство Йенсена к строго вогнутой функции.

f(x):=\ln x-\ln(1-x)=\ln {\frac {x}{1-x}},\qquad x\in (0,{\tfrac {1}{2}}].

Подробное доказательство: (a) Если хотя бы один x _i равен нулю, то левая часть неравенства Кая Фана равна нулю, и неравенство доказано. Равенство выполняется тогда и только тогда, когда правая часть также равна нулю, что имеет место, когда γ _i x _i = 0 для всех i = 1, . . ., н .

(b) Предположим теперь, что все x _i > 0. Если существует i с γ _i = 0, то соответствующий x _i > 0 не влияет ни на одну из сторон неравенства, следовательно, i ^й термин можно опустить. Поэтому мы можем предположить, что > _γi 0 для всех i в дальнейшем. Если х ₁ = х ₂ = . . . = x _n , то равенство имеет место. Осталось показать строгое неравенство, если не все x _i равны.

Функция f строго вогнутая на (0, ⁠ 1 / 2 ⁠ ], поскольку для его второй производной мы имеем

f''(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}+{\frac {1}{(1-x)^{2}}}<0,\qquad x\in (0,{\tfrac {1}{2}}).

Используя функциональное уравнение для натурального логарифма и неравенство Йенсена для строго вогнутого f , получаем, что

{\begin{aligned}\ln {\frac {\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\gamma _{i}}}{\prod _{i=1}^{n}(1-x_{i})^{\gamma _{i}}}}&=\ln \prod _{i=1}^{n}{\Bigl (}{\frac {x_{i}}{1-x_{i}}}{\Bigr )}^{\gamma _{i}}\\&=\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}f(x_{i})\\&<f{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}x_{i}{\biggr )}\\&=\ln {\frac {\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}(1-x_{i})}},\end{aligned}}

где на последнем шаге мы использовали, что сумма γ _i равна единице. Взятие экспоненты от обеих частей дает неравенство Кай Фана.

Неравенство Кай Фана в теории игр

Второе неравенство также называют неравенством Кай Фана из-за статьи 1972 года «Минимаксное неравенство и его приложения». Это второе неравенство эквивалентно теореме Брауэра о неподвижной точке , но зачастую более удобно. Пусть S — компактное выпуклое подмножество конечномерного векторного пространства V и пусть $f(x,y)$ быть функцией от $S\times S$ к действительным числам , которые полунепрерывны снизу по x , вогнуты по y и имеют $f(z,z)\leq 0$ для всех z в S . Тогда существует $x^{*}\in S$ такой, что $f(x^{*},y)\leq 0$ для всех $y\in S$ . Это неравенство Кай Фана используется для установления существования равновесия в различных играх, изучаемых в экономике.

Ссылки

Альцер, Хорст (1988). «Ужесточение неравенства, Кай Фан» . Математические уравнения . 36 (2–3): 246–250. дои : 10.1007/BF01836094 . МР 0972289 . S2CID 122304838 .

Бекенбах, Эдвин Форд; Беллман, Ричард Эрнест (1961). Неравенства . Берлин – Геттинген – Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-7643-0972-5 . МР 0158038 .

Мослехян, М.С. (2011). «Неравенства Кая Фана». Линейная и полилинейная алгебра . появиться. arXiv : 1108.1467 . Бибкод : 2011arXiv1108.1467S .

Нойман, Эдвард; Шандор, Йожеф (2002). «О неравенстве Кая Фана и связанных с ним неравенствах I» (PDF) . Математические неравенства и приложения . 5 (1): 49–56. дои : 10.7153/mia-05-06 . МР 1880271 .

Нойман, Эдвард; Шандор, Йожеф (август 2005 г.). «О неравенстве Кай Фана и связанных с ним неравенствах II» (PDF) . Бюллетень Австралийского математического общества . 72 (1): 87–107. дои : 10.1017/S0004972700034894 . МР 2162296 .

Шандор, Йожеф; Триф, Тибериу (1999). «Новое уточнение неравенства Кая Фана» (PDF) . Математические неравенства и приложения . 2 (4): 529–533. дои : 10.7153/mia-02-43 . МР 1717045 .

Внешние ссылки

Кай Фан в проекте «Математическая генеалогия»