Лемма Брэмбла – Гильберта

В математике , особенно в численном анализе , Брэмбла-Гильберта лемма , названная в честь Х. Брэмбла и Стивена Гильберта , ограничивает ошибку аппроксимации . функции Джеймса $\textstyle u$ полиномом порядка не более $\textstyle m-1$ с точки производных зрения $\textstyle u$ порядка $\textstyle m$ . Как погрешность аппроксимации, так и производные $\textstyle u$ измеряются $\textstyle L^{p}$ нормы в ограниченной области в $\textstyle \mathbb {R} ^{n}$ . Это похоже на классический численный анализ, где, например, ошибка линейной интерполяции $\textstyle u$ может быть ограничено с использованием второй производной от $\textstyle u$ . Однако лемма Брамбла-Гильберта применима в любом количестве измерений, а не только в одном измерении, а ошибка аппроксимации и производные $\textstyle u$ измеряются более общими нормами, включающими средние значения, а не только максимальную норму .

Для справедливости леммы Брэмбла – Гильберта необходимы дополнительные предположения относительно области. По сути, граница домена должна быть «разумной». Например, исключаются домены, имеющие шип или щель с нулевым углом на конце. Достаточно разумны липшицевы области , включающие выпуклые области и области с непрерывно дифференцируемой границей.

Основное применение леммы Брамбла–Гильберта — доказательство оценок погрешности интерполяции функции $\textstyle u$ оператором, сохраняющим многочлены порядка до $\textstyle m-1$ , через производные $\textstyle u$ порядка $\textstyle m$ . Это важный шаг в оценке погрешности метода конечных элементов . Лемма Брэмбла–Гильберта применяется там к области, состоящей из одного элемента (или, в некоторых результатах суперсходимости , из небольшого числа элементов).

Одномерный случай

Прежде чем сформулировать лемму в полной общности, полезно рассмотреть некоторые простые частные случаи. В одном измерении и для функции $\textstyle u$ у которого есть $\textstyle m$ производные на интервале $\textstyle \left(a,b\right)$ , лемма сводится к

\inf _{v\in P_{m-1}}{\bigl \Vert }u^{\left(k\right)}-v^{\left(k\right)}{\bigr \Vert }_{L^{p}\left(a,b\right)}\leq C\left(m,k\right)\left(b-a\right)^{m-k}{\bigl \Vert }u^{\left(m\right)}{\bigr \Vert }_{L^{p}\left(a,b\right)}{\text{ for each integer }}k\leq m{\text{ and extended real }}p\geq 1,

где $\textstyle P_{m-1}$ — пространство всех полиномов степени не выше $\textstyle m-1$ и $f^{(k)}$ указывает тот $k$ -я производная функции $f$ .

В случае, когда $\textstyle p=\infty$ , $\textstyle m=2$ , $\textstyle k=0$ , и $\textstyle u$ дважды дифференцируемо, это означает, что существует полином $\textstyle v$ степени один такой, что для всех $\textstyle x\in \left(a,b\right)$ ,

\left\vert u\left(x\right)-v\left(x\right)\right\vert \leq C\left(b-a\right)^{2}\sup _{\left(a,b\right)}\left\vert u^{\prime \prime }\right\vert .

Это неравенство также следует из известной оценки погрешности линейной интерполяции выбором $\textstyle v$ как линейный интерполянт $\textstyle u$ .

Утверждение леммы

^{[ сомнительно – обсудить ]}

Предполагать $\textstyle \Omega$ является ограниченной областью в $\textstyle \mathbb {R} ^{n}$ , $\textstyle n\geq 1$ , с границей $\textstyle \partial \Omega$ и диаметр $\textstyle d$ . $\textstyle W_{p}^{k}(\Omega )$ — пространство Соболева всех функций $\textstyle u$ на $\textstyle \Omega$ со слабыми производными $\textstyle D^{\alpha }u$ порядка $\textstyle \left\vert \alpha \right\vert$ до $\textstyle k$ в $\textstyle L^{p}(\Omega )$ . Здесь, $\textstyle \alpha =\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\right)$ является мультииндексом , $\textstyle \left\vert \alpha \right\vert =$ $\textstyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$ и $\textstyle D^{\alpha }$ обозначает производную $\textstyle \alpha _{1}$ раз по отношению к $\textstyle x_{1}$ , $\textstyle \alpha _{2}$ раз по отношению к $\textstyle x_{2}$ , and so on. The Sobolev seminorm on $\textstyle W_{p}^{m}(\Omega )$ состоит из $\textstyle L^{p}$ нормы производных высшего порядка,

\left\vert u\right\vert _{W_{p}^{m}(\Omega )}=\left(\sum _{\left\vert \alpha \right\vert =m}\left\Vert D^{\alpha }u\right\Vert _{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}{\text{ if }}1\leq p<\infty

и

\left\vert u\right\vert _{W_{\infty }^{m}(\Omega )}=\max _{\left\vert \alpha \right\vert =m}\left\Vert D^{\alpha }u\right\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}

$\textstyle P_{k}$ — пространство всех полиномов порядка до $\textstyle k$ на $\textstyle \mathbb {R} ^{n}$ . Обратите внимание, что $\textstyle D^{\alpha }v=0$ для всех $\textstyle v\in P_{m-1}$ и $\textstyle \left\vert \alpha \right\vert =m$ , так $\textstyle \left\vert u+v\right\vert _{W_{p}^{m}(\Omega )}$ имеет одинаковое значение для любого $\textstyle v\in P_{m-1}$ .

Лемма (Брэмбл и Гильберт) При дополнительных предположениях на область определения $\textstyle \Omega$ , указанное ниже, существует константа $\textstyle C=C\left(m,\Omega \right)$ независимо от $\textstyle p$ и $\textstyle u$ такой, что для любого $\textstyle u\in W_{p}^{m}(\Omega )$ существует полином $\textstyle v\in P_{m-1}$ такой, что для всех $\textstyle k=0,\ldots ,m,$

\left\vert u-v\right\vert _{W_{p}^{k}(\Omega )}\leq Cd^{m-k}\left\vert u\right\vert _{W_{p}^{m}(\Omega )}.

Исходный результат

Лемму доказали Брамбл и Гильберт. ^{[ 1 ]} в предположении, что $\textstyle \Omega$ удовлетворяет свойству сильного конуса ; т. е. существует конечное открытое накрытие $\textstyle \left\{O_{i}\right\}$ из $\textstyle \partial \Omega$ и соответствующие конусы $\textstyle \{C_{i}\}$ с вершинами в начале координат такими, что $\textstyle x+C_{i}$ содержится в $\textstyle \Omega$ для любого $\textstyle x$ $\textstyle \in \Omega \cap O_{i}$ .

Утверждение леммы здесь представляет собой простую переписку правого неравенства, сформулированного в теореме 1 в. ^{[ 1 ]} Собственно заявление в ^{[ 1 ]} это норма факторного пространства $\textstyle W_{p}^{m}(\Omega )/P_{m-1}$ эквивалентно $\textstyle W_{p}^{m}(\Omega )$ полунорма. $\textstyle W_{p}^{m}(\Omega )$ норма не обычная, но сроки масштабируются с $\textstyle d$ так что правое неравенство эквивалентности полунорм получается именно так, как указано здесь.

В исходном результате не указан выбор полинома, а также значение константы и ее зависимость от области определения. $\textstyle \Omega$ не может быть определена из доказательства.

Конструктивная форма

Альтернативный результат дали Дюпон и Скотт. ^{[ 2 ]} в предположении, что область $\textstyle \Omega$ имеет звездообразную форму ; то есть существует шар $\textstyle B$ такой, что для любого $\textstyle x\in \Omega$ , замкнутая выпуклая оболочка $\textstyle \left\{x\right\}\cup B$ является подмножеством $\textstyle \Omega$ . Предположим, что $\textstyle \rho _{\max }$ – верхняя грань диаметров таких шаров. Соотношение $\textstyle \gamma =d/\rho _{\max }$ называется объемностью $\textstyle \Omega$ .

Тогда лемма справедлива с константой $\textstyle C=C\left(m,n,\gamma \right)$ , то есть константа зависит от области определения $\textstyle \Omega$ только благодаря своей массивности $\textstyle \gamma$ и размер помещения $\textstyle n$ . Кроме того, $v$ может быть выбран как $v=Q^{m}u$ , где $\textstyle Q^{m}u$ – усредненный полином Тейлора , определяемый как

Q^{m}u=\int _{B}T_{y}^{m}u\left(x\right)\psi \left(y\right)\,dx,

где

T_{y}^{m}u\left(x\right)=\sum \limits _{k=0}^{m-1}\sum \limits _{\left\vert \alpha \right\vert =k}{\frac {1}{\alpha !}}D^{\alpha }u\left(y\right)\left(x-y\right)^{\alpha }

– полином Тейлора степени не выше $\textstyle m-1$ из $\textstyle u$ сосредоточено в $\textstyle y$ оценивается в $\textstyle x$ , и $\textstyle \psi \geq 0$ — функция, имеющая производные всех порядков, равная нулю вне пределов $\textstyle B$ , и такой, что

\int _{B}\psi \,dx=1.

Такая функция $\textstyle \psi$ всегда существует.

Более подробную информацию и учебное пособие см. в монографии Бреннера и Скотта. ^{[ 3 ]} Результат можно распространить на случай, когда область определения $\textstyle \Omega$ представляет собой объединение конечного числа звездообразных областей, которое является немного более общим, чем свойство сильного конуса, и других полиномиальных пространств, чем пространство всех многочленов до заданной степени. ^{[ 2 ]}

Связан с линейными функционалами

Этот результат непосредственно следует из приведенной выше леммы, и его также иногда называют леммой Брамбла – Гильберта, например, Чиарле . ^{[ 4 ]} По сути это теорема 2 из. ^{[ 1 ]}

Лемма Предположим, что $\textstyle \ell$ является непрерывным линейным функционалом на $\textstyle W_{p}^{m}(\Omega )$ и $\textstyle \left\Vert \ell \right\Vert _{W_{p}^{m}(\Omega )^{^{\prime }}}$ это двойная норма . Предположим, что $\textstyle \ell \left(v\right)=0$ для всех $\textstyle v\in P_{m-1}$ . Тогда существует константа $\textstyle C=C\left(\Omega \right)$ такой, что

\left\vert \ell \left(u\right)\right\vert \leq C\left\Vert \ell \right\Vert _{W_{p}^{m}(\Omega )^{^{\prime }}}\left\vert u\right\vert _{W_{p}^{m}(\Omega )}.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Дж. Х. Брамбл и С. Р. Гильберт. Оценка линейных функционалов в пространствах Соболева с применением преобразований Фурье и сплайн-интерполяции. СИАМ Дж. Нумер. Анальный. , 7:112–124, 1970.
^ Jump up to: ^а ^б Тодд Дюпон и Риджуэй Скотт. Полиномиальная аппроксимация функций в пространствах Соболева. Математика. Комп. , 34 (150): 441–463, 1980.
^ Сюзанна К. Бреннер и Л. Риджуэй Скотт. Математическая теория методов конечных элементов , том 15 « Текстов по прикладной математике» . Springer-Verlag, Нью-Йорк, второе издание, 2002 г. ISBN 0-387-95451-1
^ Филипп Дж. Сиарле . Метод конечных элементов для эллиптических задач , том 40 «Классики прикладной математики» . Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), Филадельфия, Пенсильвания, 2002. Перепечатка оригинала 1978 года [Северная Голландия, Амстердам]. ISBN 0-89871-514-8

Внешние ссылки

Райчо Д. Лазаров (2001) [1994], «Лемма Брэмбла – Гильберта» , Энциклопедия математики , EMS Press
https://arxiv.org/abs/0710.5148 – Ян Мандель : Лемма Брамбла – Гильберта

[Bramble-1970-ELF-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Дж. Х. Брамбл и С. Р. Гильберт. Оценка линейных функционалов в пространствах Соболева с применением преобразований Фурье и сплайн-интерполяции. СИАМ Дж. Нумер. Анальный. , 7:112–124, 1970.

[Dupont-1980-PAF-2] Jump up to: ^а ^б Тодд Дюпон и Риджуэй Скотт. Полиномиальная аппроксимация функций в пространствах Соболева. Математика. Комп. , 34 (150): 441–463, 1980.

[Brenner-2002-MTF-3] Сюзанна К. Бреннер и Л. Риджуэй Скотт. Математическая теория методов конечных элементов , том 15 « Текстов по прикладной математике» . Springer-Verlag, Нью-Йорк, второе издание, 2002 г. ISBN 0-387-95451-1

[Ciarlet-2002-FEM-4] Филипп Дж. Сиарле . Метод конечных элементов для эллиптических задач , том 40 «Классики прикладной математики» . Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), Филадельфия, Пенсильвания, 2002. Перепечатка оригинала 1978 года [Северная Голландия, Амстердам]. ISBN 0-89871-514-8

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]