Уравнение Омеги

Уравнение омега — это кульминационный результат в синоптического масштаба метеорологии . Это эллиптическое уравнение в частных производных , названное так потому, что его левая часть дает оценку вертикальной скорости, обычно ^[1] выраженный символом $\omega$ , в координате давления, измеряющей высоту атмосферы. Математически, $\omega ={\frac {dp}{dt}}$ , где ${d \over dt}$ представляет собой материальный производный материал . Однако основная концепция является более общей и может также применяться ^[2] к системе уравнений жидкости Буссинеска , где вертикальная скорость равна $w={\frac {dz}{dt}}$ по высотной координате z .

Концепция и резюме

Вертикальный ветер имеет решающее значение для погоды и штормов всех типов. Даже медленные, широкие восходящие потоки могут создать конвективную нестабильность или довести воздух до повышенного уровня конденсации, создавая слоистые слои облаков . К сожалению, напрямую предсказать вертикальное движение сложно. Для синоптических масштабов Земли в широкой и мелкой тропосфере Ньютона вертикальная составляющая закона движения метеорологии приносится в жертву в примитивных уравнениях , принимая гидростатическое приближение. Вместо этого вертикальная скорость должна быть решена через ее связь с горизонтальными законами движения через уравнение неразрывности массы . Но это создает дополнительные трудности, поскольку горизонтальные ветры, в основном геострофические , в хорошем приближении . Геострофические ветры просто циркулируют горизонтально и не сходятся и не расходятся существенно по горизонтали, чтобы обеспечить необходимую связь с непрерывностью массы и, следовательно, с вертикальным движением.

Ключевая идея, воплощенная в квазигеострофическом омега-уравнении, заключается в том, что тепловой баланс ветра (комбинация гидростатического и геострофического баланса сил, описанная выше) сохраняется на протяжении всего времени, даже несмотря на то, что горизонтальный перенос импульса и тепла геострофическими ветрами часто имеет тенденцию разрушать этот баланс. . Логично, что небольшая негеострофическая составляющая ветра (расходящаяся и, таким образом, связанная с вертикальным движением) должна действовать как вторичная циркуляция для поддержания баланса геострофической первичной циркуляции. Квазигеострофическая омега $\omega _{QG}$ - это гипотетическое вертикальное движение, эффект адиабатического охлаждения или потепления атмосферы которого (основанный на статической стабильности ) предотвратит теплового ветра рост дисбаланса со временем, противодействуя разрушающим баланс (или создающим дисбаланс) эффектам адвекции . Строго говоря, теория КГ аппроксимирует как переносимый импульс, так и переносящую скорость, заданные геострофическим ветром.

Подводя итог, можно рассматривать вертикальную скорость, полученную в результате решения омега-уравнения, как ту, которая потребуется для поддержания геострофии и гидростазии перед лицом адвекции геострофического ветра. ^[1]

Уравнение гласит:

\sigma \nabla _{\text{H}}^{2}\omega +f^{2}{\frac {\partial ^{2}\omega }{\partial p^{2}}}=f{\frac {\partial }{\partial p}}\left[\mathbf {V} _{\text{g}}\cdot \nabla _{\text{H}}\left(\zeta _{\text{g}}+f\right)\right]-\nabla _{\text{H}}^{2}\left(\mathbf {V} _{\text{g}}\cdot \nabla _{\text{H}}{\frac {\partial \phi }{\partial p}}\right)

( 1 )

где $f$ – параметр Кориолиса , $\sigma$ связано со статической устойчивостью , $\mathbf {V} _{\text{g}}$ – вектор геострофической скорости , $\zeta _{\text{g}}$ – геострофическая относительная завихренность , $\phi$ это геопотенциал , $\nabla _{\text{H}}^{2}$ — горизонтальный оператор Лапласа и $\nabla _{\text{H}}$ — горизонтальный оператор del . ^[3] Его знак и смысл в типичных погодных приложениях. ^[4] заключается в следующем: движение вверх производится за счет положительной завихренной адвекции над рассматриваемым уровнем (первый член) плюс теплой адвекции (второй член).

Вывод

Вывод $\omega$ Уравнение основано на вертикальной составляющей уравнения завихренности и термодинамическом уравнении. Уравнение вертикальной завихренности для атмосферы без трения можно записать, используя давление в качестве вертикальной координаты:

{\frac {\partial \xi }{\partial t}}+V\cdot \nabla \eta -f{\frac {\partial \omega }{\partial p}}=\left(\xi {\frac {\partial \omega }{\partial p}}-\omega {\frac {\partial \xi }{\partial p}}\right)+{\hat {k}}\cdot \nabla \omega \times {\frac {\partial V}{\partial p}}

( 2 )

Здесь $\xi$ - относительная завихренность, $V$ вектор горизонтальной скорости ветра, компоненты которого в $x$ и $y$ направления $u$ и $v$ соответственно, $\eta$ абсолютная завихренность $\xi +f$ , $f$ – параметр Кориолиса , $\omega ={\frac {dp}{dt}}$ материальная производная давления $p$ , ${\hat {k}}$ - единичный вертикальный вектор, $\nabla$ — изобарный оператор Del (grad), $\left(\xi {\frac {\partial \omega }{\partial p}}-\omega {\frac {\partial \xi }{\partial p}}\right)$ – вертикальная адвекция завихренности и ${\hat {k}}\cdot \nabla \omega \times {\frac {\partial V}{\partial p}}$ представляет собой термин «наклона» или преобразование горизонтальной завихренности в вертикальную завихренность. ^[5]

Термодинамическое уравнение можно записать как:

{\frac {\partial }{\partial t}}\left(-{\frac {\partial Z}{\partial p}}\right)+V\cdot \nabla \left(-{\frac {\partial Z}{\partial p}}\right)-k\omega ={\frac {R}{C_{\text{p}}\cdot g}}\cdot {\frac {Q}{p}}

( 3 )

где $k\equiv \left({\frac {\partial Z}{\partial p}}\right){\frac {\partial }{\partial p}}\ln \theta$ , в котором $Q$ - скорость нагрева (запас энергии в единицу времени и единицу массы), $C_{\text{p}}$ - удельная теплоемкость сухого воздуха, $R$ газовая постоянная для сухого воздуха, $\theta$ потенциальная температура и $\phi$ является геопотенциалом $(gZ)$ .

The $\omega$ уравнение ( 1 ) получается из уравнений ( 2 ) и ( 3 ) путем преобразования обоих уравнений в термины геопотенциала Z и исключения производных по времени на основе физического предположения о том, что дисбаланс теплового ветра остается небольшим во времени, или d/dt (дисбаланс) = 0. На первом этапе относительную завихренность необходимо аппроксимировать геострофической завихренностью: $\xi ={\frac {g}{f}}\nabla ^{2}Z$

Если разложить последний член «наклона» в ( 2 ) в декартовы координаты (хотя мы скоро им пренебрегаем), уравнение завихренности будет выглядеть следующим образом:

{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {g}{f}}\nabla ^{2}Z\right)+V\cdot \nabla \eta -f{\frac {\partial \omega }{\partial p}}=\left(\xi {\frac {\partial \omega }{\partial p}}-\omega {\frac {\partial \xi }{\partial p}}\right)+\left({\frac {\partial \omega }{\partial y}}{\frac {\partial u}{\partial p}}-{\frac {\partial \omega }{\partial x}}{\frac {\partial v}{\partial p}}\right)

( 4 )

Дифференцируя ( 4 ) по $p$ дает:

{\frac {g}{f}}{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla ^{2}\left({\frac {\partial Z}{\partial p}}\right)+{\frac {\partial }{\partial p}}(V\cdot \nabla \eta )-f{\frac {\partial ^{2}\omega }{\partial p^{2}}}={\frac {\partial }{\partial p}}\left(\xi {\frac {\partial \omega }{\partial p}}-\omega {\frac {\partial \xi }{\partial p}}\right)+{\frac {\partial }{\partial p}}\left({\frac {\partial \omega }{\partial y}}\cdot {\frac {\partial u}{\partial p}}-{\frac {\partial \omega }{\partial x}}\cdot {\frac {\partial v}{\partial p}}\right)

( 5 )

Взяв лапласиан ( $\nabla ^{2}$ ) из ( 3 ) дает:

{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla ^{2}\left(-{\frac {\partial Z}{\partial p}}\right)+\nabla ^{2}[V\cdot \nabla \left(-{\frac {\partial Z}{\partial p}}\right)]-\nabla ^{2}k\omega ={\frac {R}{C_{\text{p}}\cdot g}}\cdot {\frac {\nabla ^{2}Q}{p}}

( 6 )

Прибавив ( 5 ) к г / ф раз ( 6 ), подставив $gk=\sigma$ и аппроксимация горизонтальной адвекции геострофической адвекцией (с использованием формализма Якобиана ) дает:

\nabla ^{2}\omega +{\frac {f^{2}}{\sigma }}{\frac {\partial ^{2}\omega }{\partial p^{2}}}={\frac {1}{\sigma }}\left[{\frac {\partial }{\partial p}}J(\phi ,\eta )+{\frac {1}{f}}\nabla ^{2}J\left(\phi ,-{\frac {\partial \phi }{\partial p}}\right)\right]-{\frac {f}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial p}}\left({\frac {\partial \omega }{\partial y}}\cdot {\frac {\partial u}{\partial p}}-{\frac {\partial \omega }{\partial x}}\cdot {\frac {\partial v}{\partial p}}\right)-{\frac {f}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial p}}\left(\xi {\frac {\partial \omega }{\partial p}}-\omega {\frac {\partial \xi }{\partial p}}\right){\frac {R\cdot \nabla ^{2}Q}{C_{\text{p}}\cdot S\cdot p}}

( 7 )

Уравнение ( 7 ) теперь является диагностическим линейным дифференциальным уравнением для $\omega$ , который можно разбить на два слагаемых, а именно $\omega _{1}$ и $\omega _{2}$ , такой, что:

\nabla ^{2}\omega _{1}+{\frac {f^{2}}{\sigma }}{\frac {\partial ^{2}\omega _{1}}{\partial p^{2}}}={\frac {1}{\sigma }}\left[{\frac {\partial }{\partial p}}J(\phi ,\eta )+{\frac {1}{f}}\nabla ^{2}J\left(\phi ,-{\frac {\partial \phi }{\partial p}}\right)\right]-{\frac {f}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial p}}\left({\frac {\partial \omega }{\partial y}}\cdot {\frac {\partial u}{\partial p}}-{\frac {\partial \omega }{\partial x}}\cdot {\frac {\partial v}{\partial p}}\right)-{\frac {f}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial p}}\left(\xi {\frac {\partial \omega }{\partial p}}-\omega {\frac {\partial \xi }{\partial p}}\right)

( 8 )

и

\nabla ^{2}\omega _{2}+{\frac {f^{2}}{\sigma }}{\frac {\partial ^{2}\omega _{2}}{\partial p^{2}}}={\frac {R\cdot \nabla ^{2}Q}{C_{\text{p}}\cdot \sigma \cdot p}}

( 9 )

где $\omega _{1}$ - вертикальная скорость, приходящаяся на все зависящие от потока адвективные тенденции в уравнении ( 8 ), и $\omega _{2}$ — вертикальная скорость, обусловленная неадиабатическим нагревом, который включает в себя скрытую теплоту конденсации, явные тепловые потоки, радиационный нагрев и т. д. (Singh & Rathor, 1974). Поскольку все скорости адвекции по горизонтали были заменены геострофическими значениями, а геострофические ветры почти не расходятся, пренебрежение членами вертикальной адвекции является последовательным дальнейшим предположением о квазигеострофическом наборе, оставляя только член в квадратных скобках в уравнениях. ( 7-8 ) , 1 чтобы войти ( ) .

Интерпретация

Уравнение ( 1 ) для адиабатического $\omega _{QG}$ используется метеорологами и оперативными синоптиками для прогнозирования того, где на синоптических картах произойдет восходящее движение. Для синусоидальных или волнообразных движений, где операторы Лапласа действуют просто как отрицательный знак, ^[4] а смысл уравнения можно выразить словами, указывающими знак эффекта: движение вверх обусловлено адвекцией положительной завихренности, увеличивающейся с высотой (или сокращенно PVA), плюс адвекцией теплого воздуха (или сокращенно WAA). Случай с противоположным знаком является логически противоположным для этого линейного уравнения.

В месте, где дисбалансирующие эффекты адиабатической адвекции вызывают движение вверх (где $\omega _{QG}<0$ в уравнении 1 ), инерция геострофического поля ветра (т. е. его склонность к продолжению вперед) создает потребность в уменьшении толщины ${\frac {-\partial Z}{\partial p}}$ для того, чтобы баланс теплового ветра продолжал сохраняться. Например, когда над рассматриваемым уровнем имеется приближающийся верхний циклон или впадина, часть $\omega _{QG}$ относящийся к первому члену в уравнении. 1 — это движение вверх, необходимое для создания все более прохладного столба воздуха, который гипсометрически необходим при падении высоты. Это адиабатическое рассуждение должно быть дополнено пониманием обратной связи от нагрева, зависящего от потока, например, выделения скрытого тепла. Если при охлаждении воздуха выделяется скрытое тепло, то потребуется дополнительное движение вверх, согласно уравнению. ( 9 ), чтобы противодействовать его эффекту, чтобы по-прежнему создавать необходимое прохладное ядро. Другой способ подумать о такой обратной связи — принять во внимание эффективную статическую стабильность, которая меньше в насыщенном воздухе, чем в ненасыщенном воздухе, хотя сложность этой точки зрения состоит в том, что скрытый нагрев, опосредованный конвекцией, не обязательно должен быть локальным по вертикали высоте, где охлаждение за счет конвекции. $\omega _{QG}$ запускает его формирование. По этой причине сохранение отдельного Q-члена, такого как уравнение (9), является полезным подходом. ^[6]

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Холтон, Джеймс (2004). Введение в динамическую метеорологию . Эльзевир Академик Пресс. ISBN 0123540151 .
^ Дэвис, Хью (2015). «Квазигеострофическое уравнение Омеги: переоценка, уточнения и актуальность» . Ежемесячный обзор погоды . 143 (1): 3–25. Бибкод : 2015MWRv..143....3D . дои : 10.1175/MWR-D-14-00098.1 .
^ Холтон, младший, 1992, Введение в динамическую метеорологию Academic Press, 166-175.
^ Перейти обратно: ^а ^б «Лаборатория квазигеострофических уравнений Омеги» . METEd, программа CoMET . Проверено 10 ноября 2019 г. .
^ Сингх и Ратор, 1974, Приведение полного уравнения Омеги к простейшей форме, Чистая и прикладная геофизика, 112, 219-223.
^ Не, Джи; Фан, Боуэн (19 июня 2019 г.). «Роль динамических воздействий и диабатического нагрева в летних экстремальных осадках в Восточном Китае и на юго-востоке США» . Журнал климата . 32 (18): 5815–5831. Бибкод : 2019JCli...32.5815N . дои : 10.1175/JCLI-D-19-0188.1 . ISSN 0894-8755 .

Внешние ссылки

Определение Американского метеорологического общества

[:0-1] Перейти обратно: ^а ^б Холтон, Джеймс (2004). Введение в динамическую метеорологию . Эльзевир Академик Пресс. ISBN 0123540151 .

[2] Дэвис, Хью (2015). «Квазигеострофическое уравнение Омеги: переоценка, уточнения и актуальность» . Ежемесячный обзор погоды . 143 (1): 3–25. Бибкод : 2015MWRv..143....3D . дои : 10.1175/MWR-D-14-00098.1 .

[3] Холтон, младший, 1992, Введение в динамическую метеорологию Academic Press, 166-175.

[:1-4] Перейти обратно: ^а ^б «Лаборатория квазигеострофических уравнений Омеги» . METEd, программа CoMET . Проверено 10 ноября 2019 г. .

[5] Сингх и Ратор, 1974, Приведение полного уравнения Омеги к простейшей форме, Чистая и прикладная геофизика, 112, 219-223.

[6] Не, Джи; Фан, Боуэн (19 июня 2019 г.). «Роль динамических воздействий и диабатического нагрева в летних экстремальных осадках в Восточном Китае и на юго-востоке США» . Журнал климата . 32 (18): 5815–5831. Бибкод : 2019JCli...32.5815N . дои : 10.1175/JCLI-D-19-0188.1 . ISSN 0894-8755 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]