Многоуровневая регрессия с постстратификацией

Многоуровневая регрессия с постстратификацией ( MRP ) представляет собой статистический метод, используемый для исправления модельных оценок для известных различий между популяцией выборки (популяция данных, которые есть из них), и целевой популяцией (популяция, которую нужно оценить).

Постократрификация . относится к процессу корректировки оценок, по сути, средневзвешенным оценкам из всех возможных комбинаций атрибутов (например, возраста и пола) Каждая комбинация иногда называется «ячейкой». Многоуровневая регрессия - это использование многоуровневой модели для сглаживания шумных оценок в ячейках с слишком небольшим количеством данных с использованием общих или близлежащих средних значений.

Одним из приложений является оценка предпочтений в субрегионах (например, штаты, отдельные избирательные округа) на основе данных обследования индивидуального уровня, собранных на других уровнях агрегации (например, национальные опросы).

Математическая формулировка

Следуя описанию MRP модели , предполагать $Y$ представляет собой измерение единого результата и среднее значение населения $Y$, $\mu _{Y}$, является целевым параметром интереса. В основном населении, каждый человек, $i$, принадлежит одному из $j=1,2,\cdots ,J$ Постератификационные клетки, характеризующиеся уникальным набором ковариат. Многоуровневая регрессия с моделью постстратификации включает в себя следующую пару шагов:

MRP Шаг 1 (многоуровневая регрессия) : многоуровневая регрессионная модель определяет линейный предиктор для среднего $\mu _{Y}$или преобразование логита среднего значения в случае бинарного исхода, в ячейке постстратификации $j$,

$$g{\left({\mathrm {\mu } }_{j}\right)}=g{\left(E{\left[Y_{j{\lbrack i\rbrack }}\right]}\right)}={\mathrm {\beta } }_{0}+{\boldsymbol {X}}_{j}^{T}\mathbf {\beta } +\sum _{k=1}^{K}a_{l{\lbrack j\rbrack }}^{k},$$

где $Y_{j\lbrack i\rbrack }$ для измерение результата респондента $i$ в клетке $j$, $\beta _{0}$ является фиксированным перехватом , ${\boldsymbol {X}}_{j}$ уникальный ковариатный вектор для ячейки $j$, ${\mathrm {\beta } }$ вектор коэффициентов регрессии ( фиксированные эффекты ), $a_{l{\lbrack j\rbrack }}^{k}$ различный коэффициент ( случайный эффект ), $l{\lbrack j\rbrack }$ Карты $j$ Индекс ячейки к соответствующему индексу категории $l$ переменной $k\in \{1,2,\cdots ,K\}$Полем Все различные коэффициенты являются обменными партиями с независимыми нормальными предыдущими распределениями $a_{l}^{k}\sim \mathrm {N} \left(0,\mathrm {\sigma } _{k}^{2}\right),\ l\in \{1,\dots ,L_{k}\}$.

MRP Шаг 2: Постератификация : оценка постстратификации (PS) для интересующего параметра населения - ${\hat {\mu }}^{PS}={\frac {\sum _{j=1}^{J}N_{j}{\hat {\mu }}_{j}}{\sum _{i=1}^{J}N_{j}}}$ где ${\hat {\mu }}_{j}$ Является ли оцененный результат интереса для ячейки постстретификации $j$ и размер $j$-Та Посстратификационная ячейка в популяции. Оценки на любом уровне субпопуляции $s$ аналогично получены $${\hat {\mu }}_{s}^{PS}={\frac {\sum _{j=1}^{J_{s}}N_{j}{\hat {\mu }}_{j}}{\sum _{i=1}^{J_{s}}N_{j}}}$$ где $J_{s}$ является подмножества всех постстратификационных клеток, которые включают $s$.

Техника и ее преимущества

Техника по существу включает использование данных, например, от переписей, касающихся различных типов людей, соответствующих различным характеристикам (например, возраст, раса), на первом этапе оценки взаимосвязи между этими типами и индивидуальными предпочтениями ( т.е. регрессия набора данных). Затем эта связь используется во втором этапе для оценки субрегионального предпочтения, основанного на количестве людей, имеющих каждый тип/характеристика в этом субрегионе (процесс, известный как «постофификация»). Таким образом, необходимость провести опросы на субрегиональном уровне, которые могут быть дорогими и нецелесообразными в области (например, страна) со многими субрегионами (например, округа, Ridings или состояния). Это также избегает проблем с последовательности обследования при сравнении различных опросов, проведенных в разных областях. Кроме того, это позволяет оценить предпочтения в определенной местности, основанном на опросе, проведенном в более широкой области, которая включает в себя относительно немногие люди из рассматриваемого места, или где выборка может быть очень непреднамеренной.

История

Техника была первоначально разработана Гелманом и Т. Литтлом в 1997 году, Опираясь на идеи Фэй и Херриота и Р. Литтл. Впоследствии он был расширен Парком, Гелманом и Бафуми в 2004 и 2006 годах. Он был предложен для использования при оценке предпочтений избирателей на уровне США и Филипса в 2009 году. Варшоу и Родден впоследствии предложили его для использования в оценке округа и округа. Уровень общественное мнение в 2012 году. Позже Wang et al. Использовали данные опроса пользователей Xbox для прогнозирования результатов президентских выборов в США в 2012 году . Геймеры Xbox были в возрасте от 18 до 29 лет и 93% мужчин, в то время как электорат в целом составлял 19% от 18 до 29 лет и 47% мужчин. Несмотря на то, что первоначальные данные были сильно смещенными, после многоуровневой регрессии с постстратификацией авторы смогли получить оценки, которые согласились с теми, которые поступают из опросов, использующих большие объемы случайных и репрезентативных данных. С тех пор он также был предложен для использования в области эпидемиологии .

YouGov использовал эту технику для успешного прогнозирования общего результата всеобщих выборов в Великобритании 2017 года , Правильно прогнозировать результат в 93% избирательных округов. На выборах в 2019 и 2024 годах другие избиратели использовали ППМ, включая выживание и ipsos.

Ограничения и расширения

ППМ может быть расширен на оценку изменения мнения с течением времени И когда они используются для прогнозирования выборов лучше всего, когда они используются относительно близко к дате опроса, после закрытия номинаций.

Как «многоуровневая регрессия», так и «постстратификационные» идеи MRP могут быть обобщены. Многоуровневая регрессия может быть заменена непараметрической регрессией или регуляризованное прогноз , и постстратификация может быть обобщено для обеспечения негенсусных переменных, то есть итоги постстратификации, которые оцениваются, а не известны.