Гомологические гипотезы в коммутативной алгебре

В математике гомологические гипотезы были в центре внимания исследовательской деятельности в области коммутативной алгебры с начала 1960-х годов. Они касаются ряда взаимосвязанных (иногда удивительно) гипотез, связывающих различные гомологические свойства коммутативного кольца с его внутренней кольцевой структурой, в частности Крулля с размерностью и глубиной .

Следующий список, составленный Мелвином Хохстером, считается окончательным для этой области. В продолжении $A,R$ , и $S$ обратитесь к нетеровым коммутативным кольцам ; $R$ будет локальным кольцом с максимальным идеалом $m_{R}$ , и $M$ и $N$ генерируются конечно $R$ -модули.

Теорема о делителе нуля. Если $M\neq 0$ имеет конечную проективную размерность и $r\in R$ не является нуля делителем $M$ , затем $r$ не является делителем нуля $R$ .
Вопрос Басса. Если $M\neq 0$ имеет конечную инъективную резольвенту, тогда $R$ является кольцом Коэна–Маколея .
Теорема о пересечении. Если $M\otimes _{R}N\neq 0$ имеет конечную длину, то размерность Крулла N проективной . размерность R по модулю аннулятора N ( т ) не превышает размерности M . е .
Новая теорема о пересечении. Позволять $0\to G_{n}\to \cdots \to G_{0}\to 0$ обозначим конечный комплекс свободных R -модулей такой, что $\bigoplus \nolimits _{i}H_{i}(G_{\bullet })$ имеет конечную длину, но не равна 0. Тогда (размерность Крулля) $\dim R\leq n$ .
Усовершенствованная гипотеза нового пересечения. Позволять $0\to G_{n}\to \cdots \to G_{0}\to 0$ обозначим конечный комплекс свободных R -модулей такой, что $H_{i}(G_{\bullet })$ имеет конечную длину для $i>0$ и $H_{0}(G_{\bullet })$ имеет минимальный генератор, который уничтожается степенью максимального идеала R . Затем $\dim R\leq n$ .
Гипотеза о прямом слагаемом. Если $R\subseteq S$ — конечное по модулю кольцевое расширение с регулярным R (здесь R не обязательно должен быть локальным, но задача сразу сводится к локальному случаю), то R — прямое слагаемое S как R -модуля. Гипотеза была доказана Ивом Андре с использованием теории перфектоидных пространств . ^[1]
Гипотеза о каноническом элементе. Позволять $x_{1},\ldots ,x_{d}$ — система параметров для R , пусть $F_{\bullet }$ свободное R -разрешение поля вычетов R с — $F_{0}=R$ , и пусть $K_{\bullet }$ обозначим комплекс Кошуля R относительно $x_{1},\ldots ,x_{d}$ . Поднимите карту личности $R=K_{0}\to F_{0}=R$ к карте комплексов. Тогда неважно, какой выбор системы параметров или подъем, последняя карта из $R=K_{d}\to F_{d}$ не 0.
Гипотеза о существовании сбалансированных больших модулей Коэна–Маколея. Существует (не обязательно конечно порожденный) R -модуль W такой, что m _R W ≠ W и каждая система параметров для R является регулярной последовательностью на W .
Гипотеза Коэна-Маколена о прямых слагаемых. Если R — прямое слагаемое регулярного кольца S как R -модуля, то R является модулем Коэна–Маколея ( R не обязательно должен быть локальным, но результат сразу сводится к случаю, когда R локально).
Гипотеза об исчезновении карт Тора. Позволять $A\subseteq R\to S$ являются гомоморфизмами, где R не обязательно локально (однако можно свести к этому случаю), с A, S регулярными и R конечно порожденным как A -модуль. Пусть W — любой A -модуль. Тогда карта $\operatorname {Tor} _{i}^{A}(W,R)\to \operatorname {Tor} _{i}^{A}(W,S)$ равен нулю для всех $i\geq 1$ .
Гипотеза о сильном прямом слагаемом. Позволять $R\subseteq S$ — карта полных локальных областей, и пусть Q — простой идеал высоты один в S, лежащий над $xR$ , где R и $R/xR$ оба регулярные. Затем $xR$ является прямым слагаемым группы Q, рассматриваемой как R -модули.
Существование слабо функториальной гипотезы больших алгебр Коэна-Маколея. Позволять $R\to S$ — локальный гомоморфизм полных локальных областей. Тогда существует R -алгебра B _R , являющаяся сбалансированной большой алгеброй Коэна–Маколея для R , S -алгебра $B_{S}$ это сбалансированная большая алгебра Коэна-Маколея для S и гомоморфизм BR _такой → _BS , что натуральный квадрат, заданный этими отображениями, коммутирует.
Гипотеза Серра о множественностях. (см. гипотезы Серра о множественности . ) Предположим, что R регулярно размерности d и что $M\otimes _{R}N$ имеет конечную длину. Затем $\chi (M,N)$ , определяемый как знакопеременная сумма длин модулей $\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,N)$ равно 0, если $\dim M+\dim N<d$ , и является положительным, если сумма равна d . (Обратите внимание: Жан-Пьер Серр доказал, что сумма не может превышать d .)
Гипотеза о малых модулях Коэна – Маколея. Если R полон, то существует конечно порожденный R -модуль $M\neq 0$ такая, что некоторая (эквивалентно любая) система параметров R является регулярной последовательностью на M .