Перфектоидное пространство

В математике которые перфектоидные пространства — это адические пространства особого вида, которые встречаются при изучении задач « смешанной характеристики », таких как локальные поля , нулевой характеристики имеют поля вычетов характеристики простого числа p .

Перфектоидное поле — это полное топологическое поле К которого , топология индуцирована недискретным нормированием ранга 1, такое, что эндоморфизм Фробениуса Ф сюръективен на К °/ р , где К ° обозначает кольцо степенно ограниченных элементов.

Перфектоидные пространства могут использоваться (и были изобретены для того, чтобы) сравнивать ситуации со смешанными характеристическими ситуациями с чисто конечными характеристическими ситуациями. Техническими инструментами для уточнения этого являются тилт-эквивалентность и теорема почти чистоты. Эти понятия были введены в 2012 году Питером Шольце .

Наклонная эквивалентность

Для любого перфектоидного поля K существует наклон K ^♭ , которое является перфектоидным полем конечной характеристики p . В качестве множества его можно определить как

$K^{\flat }=\varprojlim _{x\mapsto x^{p}}K.$

Явно элемент из K ^♭ — это бесконечная последовательность ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , ...) элементов K такая, что x _i = x ^п
_{я +1} . Умножение в K ^♭ определяется почленно, а сложение более сложное. Если K имеет конечную характеристику, то K ≅ K ^♭ . Если K — p -адическое пополнение ​ $\mathbb {Q} _{p}(p^{1/p^{\infty }})$, то К ^♭ является t -адическим пополнением $\mathbb {F} _{p}((t))(t^{1/p^{\infty }})$.

Существуют понятия перфектоидных алгебр и перфектоидных пространств над перфектоидным полем K , примерно аналогичные коммутативным алгебрам и схемам над полем . Операция наклона распространяется и на эти объекты. Если X — перфектоидное пространство над перфектоидным полем K , то можно сформировать перфектоидное пространство X ^♭ над К ^♭ . Наклонная эквивалентность — это теорема, согласно которой функтор наклона (-) ^♭ индуцирует эквивалентность категорий между перфектоидными пространствами над K и перфектоидными пространствами над K. ^♭ . Обратите внимание, что хотя перфектоидное поле конечной характеристики может иметь несколько неизоморфных « ненаклонов», все категории перфектоидных пространств над ними будут эквивалентны.

почти

Эта эквивалентность категорий учитывает некоторые дополнительные свойства морфизмов. Многие свойства морфизмов схем имеют аналоги для морфизмов адических пространств. Теорема почти чистоты для перфектоидных пространств касается конечных этальных морфизмов . Это обобщение Фалтингса теоремы о почти чистоте в p -адической теории Ходжа . Название отсылает к почти математике , которая используется в доказательстве, и к отдаленно связанной классической теореме о чистоте локуса ветвления .

Заявление состоит из двух частей. Пусть K — перфектоидное поле.

• Если X → Y — конечный этальный морфизм адических пространств над K и Y перфектоид, то X также перфектоид;
• Морфизм X → Y перфектоидных пространств над K конечен эталь тогда и только тогда, когда наклон X ^♭ → И ^♭ конечно распределен по K ^♭ .

Поскольку конечные этальные отображения в поле являются в точности конечными сепарабельными расширениями полей , из теоремы о почти чистоте следует, что для любого перфектоидного поля K абсолютные группы Галуа полей K и K ^♭ изоморфны.

См. также

• Идеальное поле

Внешние ссылки

• Бхатт, Бхаргав. «Что такое… Перфектоидное пространство?» (PDF) . Вестник АМС . Проверено 2 января 2020 г.
• «Что такое «перфектоидные пространства»?» . MathOverflow .
• Основы перфектоидных пространств Мэтью Морроу
• Бедные перфектоидные пространства . Определение перфектоидных пространств, формализованное в средстве доказательства теоремы Лина.