Жесткое аналитическое пространство

Тейт со своей стороны написал мне о своих рассказах об эллиптических кривых и спросил, есть ли у меня какие-либо идеи относительно глобального определения аналитических многообразий полных тел. Должен признаться, что я совершенно не понимал, почему его результаты позволяют предположить существование такого определения, и до сих пор отношусь к этому скептически.

Александр Гротендик в письме Жан-Пьеру Серру от 18 августа 1959 года , в котором выражается скептицизм по поводу существования теории Джона Тейта о глобальных аналитических многообразиях над полными полями.

В математике жесткое аналитическое пространство — это аналог комплексного аналитического пространства над неархимедовым полем . Такие пространства были введены Джоном Тейтом в 1962 году как результат его работы по униформизации p -адических эллиптических кривых с плохой редукцией с использованием мультипликативной группы . В отличие от классической теории p -адических аналитических многообразий , жесткие аналитические пространства допускают содержательные понятия аналитического продолжения и связности .

Определения

Базовым жестким аналитическим объектом является n -мерный единичный поликруг , кольцом функций которого является алгебра Тейта. $T_{n}$ , составленный из степенных рядов от n переменных, коэффициенты которых приближаются к нулю в некотором полном неархимедовом поле k . Алгебра Тейта представляет собой пополнение кольца многочленов от n переменных по норме Гаусса (с учетом супремума коэффициентов), а полидиск играет роль, аналогичную роли аффинного n - пространства в алгебраической геометрии . Точки на поликруге определяются как максимальные идеалы в алгебре Тейта, и если k , алгебраически замкнуто они соответствуют точкам в $k^{n}$ чьи координаты имеют норму не более единицы.

Аффиноидная алгебра — это k - банахова алгебра , изоморфная фактору алгебры Тейта по идеалу . Тогда аффиноидом называется подмножество единичного полидиска, на котором элементы этого идеала обращаются в нуль, т. е. это множество максимальных идеалов, содержащее рассматриваемый идеал. Топология допустимых аффиноидов является тонкой, в ней используются понятия аффиноидных подобластей (которые удовлетворяют свойству универсальности по отношению к отображениям аффиноидных алгебр) и открытых множеств (которые удовлетворяют условию конечности покрытий аффиноидными подобластями). Фактически допустимые отверстия в аффиноиде, вообще говоря, не наделяют его структурой топологического пространства , но образуют топологию Гротендика (называемую G -топологией), и это позволяет определить хорошие понятия пучков и склейки. пространств.

Жесткое аналитическое пространство над k — это пара $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ описывающее локально окольцованное G -топологизированное пространство с пучком k -алгебр, такое, что существует накрытие открытыми подпространствами, изоморфными аффиноидам. Это аналогично представлению о том, что многообразия покрываются открытыми подмножествами, изоморфными евклидову пространству, или что схемы покрываются аффинами. Схемы над k можно анализировать функториально, так же, как многообразия над комплексными числами можно рассматривать как комплексные аналитические пространства, и существует аналогичная формальная GAGA теорема . Функтор анализа учитывает конечные пределы.

Другие составы

Примерно в 1970 году Мишель Рейно дал интерпретацию некоторых жестких аналитических пространств как формальных моделей, т. е. как типичных слоев формальных схем над кольцом нормирования R поля k . В частности, он показал, что категория квазикомпактных квазиотдельных жестких пространств над k эквивалентна локализации категории квазикомпактных допустимых формальных схем над R относительно допустимых формальных раздутий. При этом формальная схема допустима, если она покрывается формальными спектрами топологически конечно определенных R -алгебр, локальные кольца которых R -плоские.

Формальные модели страдают от проблемы уникальности, поскольку раздутия позволяют более чем одной формальной схеме описывать одно и то же жесткое пространство. Чтобы решить эту проблему, Хубер разработал теорию адических пространств , приняв предел для всех раздутий. Эти пространства квазикомпактны, квазиразделены и функториальны в жестком пространстве, но лишены многих хороших топологических свойств.

Владимир Беркович переформулировал большую часть теории жестких аналитических пространств в конце 1980-х годов, используя обобщение понятия спектра Гельфанда для коммутативных единичных C* -алгебр . Спектр Берковича банаховой k -алгебры A представляет собой множество мультипликативных полунорм на A ограниченных относительно заданной нормы на k , и он имеет топологию, индуцированную вычислением этих полунорм на элементах A. , Поскольку топология отодвинута от реальной линии, спектры Берковича обладают множеством хороших свойств, таких как компактность, линейность и метризуемость. Многие теоретико-кольцевые свойства отражаются в топологии спектров, например, если A — дедекинд , то его спектр сжимаем. Однако даже самые простые пространства имеют тенденцию быть громоздкими: проективная линия над C _p представляет собой компактификацию индуктивного предела аффинных зданий Брюа–Титса для PGL ₂ ( F ), поскольку F меняется на конечных расширениях Q _p , когда здания имеют достаточно грубую топологию .

См. также

Жесткие когомологии

Ссылки

Неархимедов анализ С. Боша, У. Гюнцера, Р. Реммерта ISBN 3-540-12546-9
Брайан Конрад Несколько подходов к конспектам лекций по неархимедовой геометрии из Зимней школы в Аризоне
Жесткая аналитическая геометрия и ее приложения (прогресс в математике), Жан Френель, Мариус ван дер Пут ISBN 0-8176-4206-4
Хаузель, Кристиан (1995) [1966], Жесткие аналитические пространства (по Р. Килю) , Семинар Бурбаки, Exp. № 327, том. 10, Париж: Математическое общество Франции , стр. 215–235, МР 1610409
Тейт, Джон (1971) [1962], «Жесткие аналитические пространства», Inventiones Mathematicae , 12 (4): 257–289, doi : 10.1007/BF01403307 , ISSN 0020-9910 , MR 0306196 , S2CID 121364708
Элементы жесткой геометрии. Том I. Построение и геометрическое исследование твердых пространств (Прогресс в математике 286) Ахмеда Аббеса, ISBN 978-3-0348-0011-2
Мишель Рейно , Жесткая аналитическая геометрия по Тейту, Килю. . . Круглый стол по неархимидовому анализу, Бюлл. Соц. Математика. О. Мем. 39/40 (1974), 319–327.

Внешние ссылки

«Rigid_analytic_space» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]