Уравнения динамической пленки жидкости

Пример динамических пленок жидкости.

Жидкие пленки, такие как мыльные пленки , часто встречаются в повседневной жизни. Мыльную пленку можно образовать, окунув проволоку замкнутого контура в мыльный раствор, как показано на рисунке справа. Альтернативно, катеноид можно сформировать, погрузив два кольца в мыльный раствор и затем разделив их, сохраняя при этом коаксиальную конфигурацию.

Неподвижные пленки жидкости образуют поверхности с минимальной площадью поверхности , что приводит к проблеме Плато .

С другой стороны, жидкие пленки обладают богатыми динамическими свойствами. Они могут подвергаться огромным деформациям вдали от равновесной конфигурации. Более того, их толщина варьируется на несколько порядков от нанометров до миллиметров. Таким образом, жидкая пленка может одновременно отображать нано- и макромасштабные явления.

При изучении динамики пленок свободной жидкости, таких как мыльные пленки , принято моделировать пленку как двумерные многообразия . Тогда переменная толщина пленки улавливается двумерной плотностью $\rho$.

Динамику пленок жидкости можно описать следующей системой точных нелинейных гамильтоновых уравнений , которые в этом отношении являются полным аналогом Эйлера жидкости невязких уравнений динамики . Фактически эти уравнения сводятся к динамическим уравнениям Эйлера для течений в стационарных евклидовых пространствах .

Вышеизложенное опирается на формализм тензоров , включая соглашение о суммировании и повышении и понижении тензорных индексов .

Полная динамическая система

Рассмотрим тонкую пленку жидкости $S$ который охватывает стационарную границу замкнутого контура. Позволять $C$ — нормальная составляющая поля скорости и $V^{\alpha }$ – контравариантные компоненты проекции тангенциальной скорости. Позволять $\nabla _{\alpha }$ быть ковариантной поверхностной производной , $B_{\alpha \beta }$ — ковариантный тензор кривизны , $B_{\beta }^{\alpha }$ — тензор смешанной кривизны и $B_{\alpha }^{\alpha }$ быть его следом , то есть средней кривизной . Далее, пусть плотность внутренней энергии на единицу массы будет равна $e\left(\rho \right)$ так что полная потенциальная энергия $E$ дается

$E=\int _{S}\rho e\left(\rho \right)\,dS.$

Этот выбор $e\left(\rho \right)$ :

$e\left(\rho \right)={\frac {\sigma }{\rho }}$

где $\sigma$ - плотность поверхностной энергии, получаемая в Лапласа классической модели поверхностного натяжения :

$E=\sigma A\,$

где А – общая площадь мыльной пленки.

Система управления гласит

${\begin{aligned}{\frac {\delta \rho }{\delta t}}+\nabla _{\alpha }\left(\rho V^{\alpha }\right)&=\rho CB_{\alpha }^{\alpha }\\\\\rho \left({\frac {\delta C}{\delta t}}+2V^{\alpha }\nabla _{\alpha }C+B_{\alpha \beta }V^{\alpha }V^{\beta }\right)&=-\rho ^{2}e_{\rho }B_{\alpha }^{\alpha }\\\\\rho \left({\frac {\delta V^{\alpha }}{\delta t}}+V^{\beta }\nabla _{\beta }V^{\alpha }-C\nabla ^{\alpha }C-2CV^{\beta }B_{\beta }^{\alpha }\right)&=-\nabla ^{\alpha }\left(\rho ^{2}e_{\rho }\right)\end{aligned}}$

где ${\delta }/{\delta }t$-derivative — это центральный оператор, изначальноблагодаря Жаку Адамару в «Исчислении движущихся поверхностей» . Обратите внимание, что в сжимаемых моделях комбинация $\rho ^{2}e_{\rho }$ обычно идентифицируется с давлением $p$. Вышеупомянутая система управления была первоначально сформулирована в ссылке 1.

По Лапласу выбор поверхностного натяжения $\left(e\left(\rho \right)=\sigma /\rho \right)$ система становится:

${\begin{aligned}{\frac {\delta \rho }{\delta t}}+\nabla _{\alpha }\left(\rho V^{\alpha }\right)&=\rho CB_{\alpha }^{\alpha }\\\\\rho \left({\frac {\delta C}{\delta t}}+2V^{\alpha }\nabla _{\alpha }C+B_{\alpha \beta }V^{\alpha }V^{\beta }\right)&=\sigma B_{\alpha }^{\alpha }\\\\{\frac {\delta V^{\alpha }}{\delta t}}+V^{\beta }\nabla _{\beta }V^{\alpha }-C\nabla ^{\alpha }C-2V^{\beta }B_{\beta }^{\alpha }&=0\end{aligned}}$

Обратите внимание, что на флэте ( $B_{\alpha \beta }=0$) стационарный ( $C=0$) многообразия,система становится

${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla _{\alpha }\left(\rho V^{\alpha }\right)&=0\\&\\\rho \left({\frac {\partial V^{\alpha }}{\partial t}}+V^{\beta }\nabla _{\beta }V^{\alpha }\right)&=-\nabla ^{\alpha }\left(\rho ^{2}e_{\rho }\right)\end{aligned}}$

что в точности соответствует классическим уравнениям динамики жидкости Эйлера.

Упрощенная система

Если пренебречь тангенциальными компонентами поля скорости, как это часто делается при изучении тонких пленок жидкости, то можно прийти к следующей упрощенной системе всего с двумя неизвестными: двумерной плотностью $\rho$ и нормальная скорость $C$:

${\begin{aligned}{\frac {\delta \rho }{\delta t}}&=\rho CB_{\alpha }^{\alpha }\\&\\\rho {\frac {\delta C}{\delta t}}&=\sigma B_{\alpha }^{\alpha }\\\end{aligned}}$

Ссылки

1. Точные нелинейные уравнения для жидких пленок и правильные адаптации теорем сохранения классической гидродинамики П. Гринфельд, J. Geom. Сим. Физ. 16, 2009 г.