Принцип постоянства

В истории математики принцип постоянства , или закон постоянства эквивалентных форм , представлял собой идею о том, что алгебраические операции, такие как сложение и умножение, должны вести себя последовательно в каждой системе счисления , особенно при разработке расширений к установленным системам счисления .

До появления современной математики и ее акцента на аксиоматическом методе принцип постоянства считался важным инструментом математических аргументов. Вместо этого в современной математике аргументы были заменены строгими доказательствами, основанными на аксиомах, а этот принцип вместо этого используется в качестве эвристики для открытия новых алгебраических структур . Кроме того, этот принцип был формализован в класс теорем, называемых принципами переноса . которые утверждают, что все утверждения некоторого языка, которые верны для одной структуры, верны и для другой структуры.

История

Этот принцип был описан Джорджем Пикоком в его книге «Трактат по алгебре» (курсив в оригинале):

132. Давайте снова вернемся к этому принципу или закону постоянства эквивалентных форм и рассмотрим его, когда он сформулирован в форме прямой и обратной пропорции.

« Какая бы форма ни была алгебраически эквивалентна другой, выраженная в общих символах, она должна быть истинной, что бы ни обозначали эти символы » .

И наоборот, если мы обнаруживаем эквивалентную форму в арифметической алгебре или любой другой подчиненной науке, когда символы являются общими по форме, хотя и специфичными по своей природе, то это должна быть эквивалентная форма, когда символы являются общими по своей природе так же, как и по своей природе. их форма.

Позже этот принцип был пересмотрен Германом Ханкелем. и принят Джузеппе Пеано , Эрнстом Махом , Германом Шубертом , Альфредом Прингсхаймом и другими.

Примерно в то же время, что и «Трактат по алгебре» , Огюстен-Луи Коши опубликовал «Курс анализа» , в котором использовался термин « общность алгебры ». описать (и критиковать) метод аргументации, используемый математиками 18-го века, такими как Эйлер и Лагранж, который был похож на принцип постоянства.

Приложения

Одно из основных применений принципа постоянства — показать, что функциональное уравнение, справедливое для действительных чисел, также справедливо и для комплексных чисел.

Например, уравнение $e^{s+t}-e^{s}e^{t}=0$ справедливо для всех действительных чисел s , t . Согласно принципу постоянства функций двух переменных это означает, что он справедлив и для всех комплексных чисел.

В качестве противоположного примера рассмотрим следующие свойства

• коммутативность сложения: $x+y=y+x$ для всех $x,y$,
• левосократяющееся свойство сложения: если $x+y=x+z$, затем $y=z$, для всех $x,y,z$.

Оба свойства справедливы для всех натуральных , целых , рациональных , действительных и комплексных чисел.Однако, если следовать предложенным Георгом Кантором расширениям натуральных чисел за пределы бесконечности, , ни одно из них не удовлетворяет обоим свойствам одновременно.

• В порядковой арифметике сложение является сокращающимся слева, но уже не коммутативным. Например, $3+\omega =\omega \neq \omega +3$.
• В кардинальной арифметике сложение является коммутативным, но уже не левосократительным, поскольку $x+y=max\{x,y\}$ в любое время $x$ или $y$ бесконечен. Например, $\aleph _{0}+1=\aleph _{0}=\aleph _{0}+2$, но $1\neq 2$.

Следовательно, обе эти ранние строгие системы бесконечных чисел нарушают принцип постоянства.