Теорема

Не путать с Теоремой , Теоремой или Теорией .

Теорема Пифагора имеет как минимум 370 известных доказательств.

В математике теорема утверждение – это , которое уже доказано или может быть доказано. Доказательство , теоремы — это логический аргумент , который использует правила вывода дедуктивной системы что теорема является логическим следствием аксиом чтобы установить , и ранее доказанных теорем.

В основной математике аксиомы и правила вывода обычно остаются неявными, и в этом случае они почти всегда являются аксиомами теории множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора (ZFC) или менее мощной теории, такой как Арифметика Пеано . Обычно утверждение, которое явно называется теоремой, представляет собой доказанный результат, который не является непосредственным следствием других известных теорем. Более того, многие авторы квалифицируют как теоремы используют термины «лемма» , «предложение» и «следствие» только наиболее важные результаты, а для менее важных теорем .

В математической логике понятия теорем и доказательств были формализованы , чтобы обеспечить возможность математических рассуждений о них. В этом контексте утверждения становятся правильно сформированными формулами некоторого формального языка . Теория аксиомами состоит из некоторых базовых утверждений, называемых , и некоторых правил вывода (иногда включенных в аксиомы). Теоремы теории — это утверждения, которые можно вывести из аксиом с помощью правил вывода. Эта формализация привела к теории доказательств , которая позволяет доказывать общие теоремы о теоремах и доказательствах. В частности, теоремы Гёделя о неполноте показывают, что каждая непротиворечивая теория, содержащая натуральные числа, имеет истинные утверждения о натуральных числах, которые не являются теоремами теории (то есть они не могут быть доказаны внутри теории).

Поскольку аксиомы часто являются абстракциями свойств физического мира , теоремы можно рассматривать как выражающие некоторую истину, но в отличие от понятия научного закона , который является экспериментальным , обоснование истинности теоремы является чисто дедуктивным .

Теорема и истина

До конца XIX века и фундаментального кризиса математики все математические теории строились на основе нескольких основных свойств, которые считались самоочевидными; например, тот факт, что каждое натуральное число имеет последователя и что существует ровно одна прямая , проходящая через две заданные различные точки. Эти основные свойства, считавшиеся абсолютно очевидными, назывались постулатами или аксиомами ; например постулаты Евклида . Все теоремы были доказаны с использованием неявно или явно этих основных свойств, и из-за очевидности этих основных свойств доказанная теорема считалась окончательной истиной, если в доказательстве не было ошибки. Например, сумма внутренних углов треугольника равна 180 ° , и это считалось несомненным фактом.

Одним из аспектов фундаментального кризиса математики было открытие неевклидовых геометрий , не приводящих ни к какому противоречию, хотя в таких геометриях сумма углов треугольника отлична от 180°. Итак, свойство «сумма углов треугольника равна 180°» является либо истинным, либо ложным в зависимости от того, принимается или отрицается пятый постулат Евклида. Аналогично, использование «очевидных» основных свойств множеств приводит к противоречию парадокса Рассела . Эта проблема была решена путем разработки правил, разрешенных для манипулирования множествами.

Этот кризис был разрешен путем пересмотра основ математики, чтобы сделать их более строгими . В этих новых основах теорема представляет собой четко сформулированную формулу математической теории , которую можно доказать с помощью аксиом и правил вывода теории. Итак, приведенная выше теорема о сумме углов треугольника принимает вид: Согласно аксиомам и правилам вывода евклидовой геометрии , сумма внутренних углов треугольника равна 180° . Точно так же парадокс Рассела исчезает, потому что в аксиоматизированной теории множеств множество всех множеств не может быть выражено с помощью корректной формулы. Точнее, если совокупность всех множеств может быть выражена корректной формулой, это означает, что теория противоречива , и каждое корректно сформулированное утверждение, как и его отрицание, является теоремой.

В этом контексте справедливость теоремы зависит только от правильности ее доказательства. Оно не зависит от истинности или даже значения аксиом. Это не значит, что значение аксиом неинтересно, а лишь то, что справедливость теоремы не зависит от значения аксиом. Эта независимость может быть полезна, позволяя использовать результаты некоторых областей математики в явно несвязанных областях.

Важным следствием такого подхода к математике является то, что он позволяет определять математические теории и теоремы как математические объекты и доказывать теоремы о них. Примерами являются теоремы Гёделя о неполноте . В частности, существуют правильно сформулированные утверждения, которые, как можно доказать, не являются теоремами объемлющей теории, хотя их можно доказать в более широкой теории. Примером является теорема Гудстейна , которая может быть сформулирована в арифметике Пеано , но оказывается недоказуемой в арифметике Пеано. Однако это доказуемо в некоторых более общих теориях, таких как теория множеств Цермело – Френкеля .

соображения

Многие математические теоремы представляют собой условные утверждения, доказательства которых выводят выводы из условий, известных как гипотезы или предпосылки . В свете интерпретации доказательства как обоснования истины вывод часто рассматривается как необходимое следствие гипотез. А именно, что вывод верен в том случае, если гипотезы верны – без каких-либо дополнительных предположений. условное также могло интерпретироваться по-разному Однако в некоторых дедуктивных системах , в зависимости от значений, приписываемых правилам вывода и условному символу (например, в неклассической логике ).

Хотя теоремы могут быть записаны в полностью символической форме (например, как предложения в исчислении высказываний ), они часто выражаются неформально на естественном языке, таком как английский, для лучшей читаемости. То же самое относится и к доказательствам, которые часто выражаются в виде логически организованных и четко сформулированных неформальных аргументов, призванных убедить читателей в истинности утверждения теоремы вне всякого сомнения и на основе которых в принципе можно построить формальное символическое доказательство.

Помимо лучшей читабельности, неформальные аргументы обычно легче проверить, чем чисто символические — действительно, многие математики отдали бы предпочтение доказательству, которое не только демонстрирует справедливость теоремы, но и каким-то образом объясняет, почему она очевидна. истинный. В некоторых случаях можно даже обосновать теорему, используя картинку в качестве доказательства.

Поскольку теоремы лежат в основе математики, они также играют центральную роль в ее эстетике . Теоремы часто описываются как «тривиальные», «сложные», «глубокие» или даже «красивые». Эти субъективные суждения меняются не только от человека к человеку, но также со временем и культурой: например, по мере того, как доказательство получено, упрощено или лучше понято, теорема, которая когда-то была сложной, может стать тривиальной. С другой стороны, глубокая теорема может быть сформулирована просто, но ее доказательство может включать в себя удивительные и тонкие связи между разрозненными областями математики. Великая теорема Ферма является особенно известным примером такой теоремы.

теорем

Логически многие теоремы имеют форму изъявительного условного предложения : Если А, то В. Такая теорема не утверждает B , а только то, что является необходимым следствием A. B В этом случае А называется гипотезой теоремы («гипотеза» здесь означает нечто совершенно отличное от гипотезы ), а Б теоремы — заключением . Оба вместе (без доказательства) называются предложением или утверждением теоремы (например, « Если А, то В » является предложением ). Альтернативно, A и B также можно назвать антецедентом и консеквентом соответственно. Теорема «Если n — четное натуральное число , то n /2 — натуральное число» — типичный пример, в котором гипотеза гласит: « n — четное натуральное число», а вывод — « n /2 также является натуральным числом» . число".

Для того чтобы теорема могла быть доказана, она должна быть в принципе выражена в виде точного формального утверждения. Однако теоремы обычно выражаются на естественном языке, а не в полностью символической форме — с презумпцией, что формальное утверждение может быть получено из неформального.

В математике принято выбирать несколько гипотез в рамках данного языка и заявлять, что теория состоит из всех утверждений, доказуемых на основе этих гипотез. Эти гипотезы составляют фундаментальную основу теории и называются аксиомами или постулатами. Область математики, известная как теория доказательств, изучает формальные языки, аксиомы и структуру доказательств.

Плоская карта с пятью цветами , на которой не встречаются две области одного цвета. На самом деле его можно раскрасить таким образом всего четырьмя цветами. Теорема о четырех цветах утверждает, что такие раскраски возможны для любой плоской карты, но каждое известное доказательство включает в себя вычислительный поиск, который слишком длинен, чтобы его можно было проверить вручную.

Некоторые теоремы « тривиальны » в том смысле, что они очевидным образом следуют из определений, аксиом и других теорем и не содержат каких-либо удивительных открытий. Некоторые, с другой стороны, можно назвать «глубокими», потому что их доказательства могут быть длинными и трудными, затрагивать области математики, внешне отличающиеся от формулировки самой теоремы, или показывать удивительные связи между разрозненными областями математики. Теорема может быть простой в формулировке, но при этом быть глубокой. Отличным примером является Великая теорема Ферма . и есть много других примеров простых, но глубоких теорем в теории чисел и комбинаторике , среди других областей.

Другие теоремы имеют известное доказательство, которое нелегко записать. Наиболее яркими примерами являются теорема о четырех цветах и ​​гипотеза Кеплера . Обе эти теоремы становятся истинными только в том случае, если свести их к вычислительному поиску, который затем проверяется компьютерной программой. Первоначально многие математики не принимали эту форму доказательства, но она получила более широкое признание. Математик Дорон Зейлбергер даже зашел так далеко, что заявил, что это, возможно, единственные нетривиальные результаты, которые когда-либо доказали математики. Многие математические теоремы можно свести к более простым вычислениям, включая полиномиальные тождества, тригонометрические тождества. и гипергеометрические тождества.

с

Теоремы в математике и теории в науке принципиально различны по своей эпистемологии . Научная теория не может быть доказана; его ключевым атрибутом является то, что он фальсифицируем , то есть он делает предсказания о мире природы, которые можно проверить экспериментально . Любое расхождение между предсказанием и экспериментом демонстрирует некорректность научной теории или, по крайней мере, ограничивает ее точность или область действия. С другой стороны, математические теоремы представляют собой чисто абстрактные формальные утверждения: доказательство теоремы не может включать эксперименты или другие эмпирические данные точно так же, как такие доказательства используются для поддержки научных теорий.

: Гипотеза Коллатца один из способов проиллюстрировать ее сложность — расширить итерацию от натуральных чисел до комплексных чисел. В результате получается фрактал , который (по универсальности ) напоминает множество Мандельброта .

Тем не менее, существует некоторая степень эмпиризма и сбора данных, связанных с открытием математических теорем. Устанавливая закономерность, иногда с использованием мощного компьютера, математики могут иметь представление о том, что доказывать, а в некоторых случаях даже план того, как приступить к доказательству. Также возможно найти единственный контрпример и таким образом установить невозможность доказательства сформулированного предложения и, возможно, предложить ограниченные формы исходного предложения, которые могли бы иметь допустимые доказательства.

Например, и гипотеза Коллатца , и гипотеза Римана являются хорошо известными нерешенными проблемами; они были тщательно изучены посредством эмпирических проверок, но остались недоказанными. Гипотеза Коллатца была проверена для начальных значений примерно до 2,88 × 10. ¹⁸ . Гипотеза Римана была проверена для первых 10 триллионов нетривиальных нулей дзета-функции . Хотя большинство математиков могут смириться с предположением, что догадка и гипотеза верны, ни одно из этих утверждений не считается доказанным.

Такие доказательства не являются доказательством. Например, гипотеза Мертенса — это утверждение о натуральных числах, которое теперь известно как ложное, но явный контрпример (т. е. натуральное число n, для которого функция Мертенса M ( n ) равна квадратному корню из n или превышает его ) не существует. известно: все числа меньше 10 ¹⁴ обладают свойством Мертенса, и известно, что наименьшее число, не обладающее этим свойством, меньше экспоненты 1,59 × 10. ⁴⁰ , что примерно равно 10 в степени 4,3 × 10 ³⁹ . Поскольку число частиц во Вселенной обычно считается меньшим 10 в 100-й степени ( гугол ), нет никакой надежды найти явный контрпример путем перебора .

Слово «теория» существует и в математике для обозначения совокупности математических аксиом, определений и теорем, как, например, в теории групп (см. Математическая теория ). Существуют также «теоремы» в науке, особенно в физике, и в технике, но они часто содержат утверждения и доказательства, в которых важную роль играют физические предположения и интуиция; физические аксиомы, на которых основаны такие «теоремы», сами по себе фальсифицируемы.

Терминология

Существует ряд различных терминов для математических утверждений; эти термины указывают на роль утверждений в конкретном предмете. Различие между различными терминами иногда довольно произвольно, и использование некоторых терминов со временем изменилось.

• Аксиома — это или постулат фундаментальное предположение относительно объекта исследования, принимаемое без доказательства. Родственным понятием является определение , которое дает значение слова или фразы с точки зрения известных понятий. Классическая геометрия различает аксиомы, которые являются общими утверждениями; и постулаты, которые представляют собой утверждения о геометрических объектах. Исторически аксиомы считались « самоочевидными »; сегодня они просто считаются правдой.
• Гипотеза – это недоказанное утверждение , которое считается истинным. Гипотезы обычно высказываются публично и называются в честь их создателя (например, гипотеза Гольдбаха и гипотеза Коллатца ). В этом смысле также используется термин «гипотеза» (например, гипотеза Римана ), которую не следует путать с «гипотезой» как предпосылкой доказательства. Иногда используются и другие термины, например, проблема , когда люди не уверены, следует ли считать утверждение правдивым. Великую теорему Ферма исторически называли теоремой, хотя на протяжении веков она оставалась всего лишь гипотезой.
• Теорема — это утверждение, истинность которого доказана на основе аксиом и других теорем.
• Предложение — это теорема меньшей важности или теорема, которая считается настолько элементарной или очевидной, что ее можно сформулировать без доказательства. Его не следует путать с «предложением», используемым в логике высказываний . В классической геометрии термин «предложение» использовался по-другому: в Евклида » «Началах ( ок. 300 г. до н.э. ) все теоремы и геометрические конструкции назывались «предложениями» независимо от их важности.
• Лемма — это «вспомогательное предложение» — предложение, мало применимое за пределами его использования в конкретном доказательстве. Со временем лемма может приобрести большее значение и считаться теоремой , хотя термин «лемма» обычно сохраняется как часть ее названия (например, лемма Гаусса , лемма Цорна и фундаментальная лемма ).
• Следствие — это утверждение, которое непосредственно следует из другой теоремы или аксиомы, требующее небольшого доказательства или вообще не требующее его. Следствие может также быть переформулировкой теоремы в более простой форме или для частного случая : например, из теоремы «все внутренние углы в прямоугольнике прямые углы » есть следствие, что «все внутренние углы в квадрате прямые ». углы » — квадрат является частным случаем прямоугольника.
• Обобщением частный теоремы называется теорема с аналогичным утверждением, но более широкой области применения, из которой исходная теорема может быть выведена как случай ( следствие ).

Другие термины также могут использоваться по историческим или обычным причинам, например:

• Тождество области — это теорема, устанавливающая равенство между двумя выражениями, которая справедлива для любого значения в пределах своей ( например, тождество Безу и тождество Вандермонда ).
• Правило — это теорема, которая устанавливает полезную формулу (например, правило Байеса и правило Крамера ).
• Закон принцип или принцип — это теорема с широкой применимостью (например , закон больших чисел , закон косинусов , закон нуля–единицы Колмогорова , Гарнака , принцип наименьшей верхней границы и принцип ячейки ).

Некоторые известные теоремы имеют еще более своеобразные названия, например, алгоритм деления , формула Эйлера и парадокс Банаха-Тарского .

Макет

Теорема и ее доказательство обычно оформляются следующим образом:

Теорема (имя человека, доказавшего ее, а также год открытия или публикации доказательства)

Формулировка теоремы (иногда называемая предложением )

Доказательство

Описание доказательства

Конец

Окончание доказательства может быть обозначено буквами QED ( quod Erat Demonстрандум ) или одним из надгробных знаков, таких как «□» или «∎», означающим «конец доказательства», введенных Полом Халмосом после их использования в журналы, чтобы отметить конец статьи.

Точный стиль зависит от автора или издания. Во многих публикациях приведены инструкции или макросы для верстки в фирменном стиле .

Обычно теореме предшествуют определения, описывающие точное значение терминов, используемых в теореме. Также часто теореме предшествует ряд предложений или лемм, которые затем используются в доказательстве. Однако иногда леммы включаются в доказательство теоремы либо вместе с вложенными доказательствами, либо с их доказательствами, представленными после доказательства теоремы.

Следствия из теоремы приводятся либо между теоремой и доказательством, либо непосредственно после доказательства. Иногда следствия имеют собственные доказательства, объясняющие, почему они следуют из теоремы.

Лор

Подсчитано, что ежегодно доказывается более четверти миллиона теорем.

Известный афоризм « Математик — это устройство для превращения кофе в теоремы» , вероятно, принадлежит Альфреду Реньи , хотя его часто приписывают коллеге Реньи Полу Эрдешу (а Реньи, возможно, имел в виду Эрдеша), который был знаменит за множество теорем, которые он выдвинул, количество его совместных работ и употребление кофе.

Некоторые считают классификацию конечных простых групп самым длинным доказательством теоремы. Он включает в себя десятки тысяч страниц 500 журнальных статей примерно 100 авторов. Считается, что эти статьи в совокупности дают полное доказательство, и несколько текущих проектов надеются сократить и упростить это доказательство. Другая теорема этого типа — это теорема о четырех цветах , доказательство которой, сгенерированное компьютером, слишком длинное, чтобы человек мог его прочитать. Это одно из самых длинных известных доказательств теоремы, формулировку которой легко понять непрофессионалу.

Теоремы в логике

В математической логике формальная теория представляет собой набор предложений на формальном языке . Предложение — это правильно составленная формула без свободных переменных. Предложение, являющееся членом теории, является одной из ее теорем, а теория — множеством ее теорем. Обычно под теорией понимают замкнутость в отношении логического следствия . Некоторые источники определяют теорию, которая должна быть замкнутой в соответствии с отношением семантического следствия ( $\models$), в то время как другие определяют его как замкнутый по синтаксическому последствию или отношению выводимости ( $\vdash$).

На этой диаграмме показаны синтаксические сущности , которые могут быть созданы на основе формальных языков . Символы и и строки символов можно условно разделить на бессмысленные правильно построенные формулы . Формальный язык можно рассматривать как тождественный набору его правильно построенных формул. Набор правильно построенных формул можно условно разделить на теоремы и не-теоремы.

Чтобы теория была замкнутой относительно отношения выводимости, она должна быть связана с дедуктивной системой , которая определяет, как выводятся теоремы. Дедуктивная система может быть сформулирована явно или может быть ясна из контекста. Замыкание пустого множества отношением логического следствия дает множество, содержащее только те предложения, которые являются теоремами дедуктивной системы.

В широком смысле, в котором этот термин используется в логике, теорема не обязательно должна быть истинной, поскольку содержащая ее теория может быть необоснованной по отношению к данной семантике или по отношению к стандартной интерпретации основного языка. теории В противоречивой все предложения являются теоремами.

Определение теорем как предложений формального языка полезно в теории доказательств , которая является разделом математики, изучающим структуру формальных доказательств и структуру доказуемых формул. Это также важно в теории моделей , которая занимается отношениями между формальными теориями и структурами, которые способны обеспечить их семантику посредством интерпретации .

Хотя теоремы могут представлять собой неинтерпретированные предложения, на практике математиков больше интересует значение предложений, т. е. высказываемые ими предложения. Что делает формальные теоремы полезными и интересными, так это то, что их можно интерпретировать как истинные предложения, а их выводы можно интерпретировать как доказательство их истинности. Теорема, интерпретация которой является истинным утверждением о формальной системе (а не внутри формальной системы), называется метатеоремой .

Некоторые важные теоремы математической логики:

• Компактность логики первого порядка
• Полнота логики первого порядка
• Теоремы Гёделя о неполноте арифметики первого порядка
• Согласованность арифметики первого порядка
• Теорема Тарского о неопределимости
• Теорема Чёрча-Тьюринга о неразрешимости
• Теорема Леба
• Теорема Левенхайма – Скулема
• Теорема Линдстрема
• Теорема Крейга
• Теорема об исключении разреза

Синтаксис и семантика

Основные статьи: Синтаксис (логика) и Формальная семантика (логика)

Понятие формальной теоремы по своей сути является синтаксическим, в отличие от понятия истинного предложения, которое вводит семантику . Различные дедуктивные системы могут давать другие интерпретации, в зависимости от презумпций правил вывода (т.е. убеждения , обоснования или других модальностей ). Надежность формальной системы зависит от того , являются ли все ее теоремы справедливыми . Валидность — это формула, которая верна при любой возможной интерпретации (например, в классической логике высказываний истинность — это тавтология ). Формальная система считается семантически полной , если все ее теоремы также являются тавтологиями.

Интерпретация формальной теоремы

Основная статья: Интерпретация (логика)

и

Основные статьи: Теория и Теория (математическая логика)

См. также

• Список теорем
• Список теорем, называемых фундаментальными
• Формула
• Вывод
• Теорема об игрушках

Ссылки

• Булос, Джордж; Берджесс, Джон; Джеффри, Ричард (2007). Вычислимость и логика (5-е изд.). Издательство Кембриджского университета.
• Чизуэлл, Ян; Ходжес, Уилфред (2007). Математическая логика . Издательство Оксфордского университета.
• Эндертон, Герберт (2001). Математическое введение в логику (2-е изд.). Харкорт Академик Пресс.
• Хит, сэр Томас Литтл (1897). Работы Архимеда . Дувр . Проверено 15 ноября 2009 г.
• Хедман, Шон (2004). Первый курс логики . Издательство Оксфордского университета.
• Хинман, Питер (2005). Основы математической логики . Уэлсли, Массачусетс: АК Питерс.
• Хоффман, П. (1998). Человек, который любил только цифры : история Пола Эрдеша и поиски математической истины . Гиперион, Нью-Йорк. ISBN  1-85702-829-5 .
• Ходжес, Уилфрид (1993). Теория моделей . Издательство Кембриджского университета.
• Хантер, Джеффри (1996) [1973]. Металогика: введение в метатеорию стандартной логики первого порядка . Издательство Калифорнийского университета. ISBN  0-520-02356-0 .
• Джонстон, ПТ (1987). Заметки по логике и теории множеств . Издательство Кембриджского университета.
• Мейтс, Бенсон (1972). Элементарная логика . Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-501491-Х .
• Монк, Дж. Дональд (1976). Математическая логика . Спрингер-Верлаг.
• Петковсек, Марко; Уилф, Герберт; Зейлбергер, Дорон (1996). А = Б. А. К. Питерс, Уэлсли, Массачусетс. ISBN  1-56881-063-6 .
• Раутенберг, Вольфганг (2010). Краткое введение в математическую логику (3-е изд.). Спрингер.
• ван Дален, Дирк (1994). Логика и структура (3-е изд.). Спрингер-Верлаг.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с теоремами, на Викискладе?
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема» . Математический мир .
• Теорема дня