Математическая красота

Пример «красоты в методе» — простое и элегантное визуальное описание теоремы Пифагора .

Математическая красота — это эстетическое удовольствие, получаемое от абстрактности, чистоты, простоты, глубины или упорядоченности математики . Математики могут выражать это удовольствие, описывая математику (или, по крайней мере, какой-то аспект математики) как прекрасную или описывая математику как форму искусства (позиция, занятая Г.Х. Харди) . ) или, как минимум, как творческая деятельность .

Проводятся сравнения с музыкой и поэзией .

В методе

Математики обычно называют особенно приятный доказательства элегантным метод . В зависимости от контекста это может означать:

• Доказательство, использующее минимум дополнительных предположений или предыдущих результатов.
• Доказательство необычайно краткое.
• Доказательство, которое выводит результат неожиданным образом (например, из явно несвязанной теоремы или набора теорем).
• Доказательство, основанное на новых и оригинальных открытиях.
• Метод доказательства, который можно легко обобщить для решения семейства подобных задач.

В поисках элегантного доказательства математики могут искать несколько независимых способов доказать результат, поскольку первое найденное доказательство часто можно улучшить. Теорема, для которой было обнаружено наибольшее количество различных доказательств, возможно, является теоремой Пифагора , сотни доказательств которой опубликованы на сегодняшний день. Другая теорема, доказанная разными способами, — это теорема квадратичной взаимности . Фактически только у Карла Фридриха Гаусса было восемь различных доказательств этой теоремы, шесть из которых он опубликовал.

И наоборот, результаты, которые логически правильны, но включают трудоемкие вычисления, чрезмерно сложные методы, весьма традиционные подходы или большое количество мощных аксиом или предыдущих результатов, обычно не считаются элегантными и могут даже называться уродливыми или неуклюжими .

В результатах

Начиная с е ⁰ = 1, двигаясь со скоростью i относительно своего положения в течение времени π и добавляя 1, человек приходит к 0. (Диаграмма представляет собой диаграмму Аргана .)

Некоторые математики видят красоту в математических результатах, которые устанавливают связи между двумя областями математики, которые на первый взгляд кажутся несвязанными. Эти результаты часто называют глубокими . Хотя трудно прийти к единому мнению относительно того, является ли результат глубоким, некоторые примеры цитируются чаще, чем другие. Одним из таких примеров является тождество Эйлера :

$$\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,.$$

Это элегантное выражение связывает, возможно, пять наиболее важных математических констант ( e , i , π, 1 и 0) с двумя наиболее распространенными математическими символами (+, =). Тождество Эйлера — это частный случай формулы Эйлера , которую физик Ричард Фейнман назвал «нашей драгоценностью» и «самой замечательной формулой в математике». Современные примеры включают в себя теорему о модулярности , устанавливающую важную связь между эллиптическими кривыми и модульными формами (работа над которой привела к присуждению премии Вольфа Эндрю Уайлсу и Роберту Ленглендсу ), и « чудовищный самогон », связывающий группу «Монстр » с модулярные функции с помощью теории струн (за что Ричард Борчердс был награжден медалью Филдса ).

Другие примеры глубоких результатов включают неожиданное понимание математических структур. Например, Теорема Гаусса Egregium связывает локальное явление ( кривизну ) с глобальным явлением ( площадью — это глубокая теорема, которая удивительным образом ). В частности, площадь треугольника на искривленной поверхности пропорциональна эксцессу треугольника, а пропорциональность — кривизне. Другим примером является фундаментальная теорема исчисления. (и ее векторные версии, включая теорему Грина и теорему Стокса ).

Противоположность deep тривиальна ​ . Тривиальная теорема может быть результатом, который можно вывести очевидным и простым способом из других известных результатов или который применим только к определенному набору конкретных объектов, например к пустому множеству . В некоторых случаях формулировка теоремы может быть достаточно оригинальной, чтобы считаться глубокой, хотя ее доказательство достаточно очевидно.

В своем эссе 1940 года «Апология математика » Г.Х. Харди предположил, что красивое доказательство или результат обладают «неизбежностью», «неожиданностью» и «экономностью».

В 1997 году Джан-Карло Рота не согласился с неожиданностью как достаточным условием красоты и предложил контрпример:

Многие математические теоремы, впервые опубликованные, кажутся удивительными; так, например, лет двадцать назад [с 1977 г.] доказательство существования неэквивалентных дифференцируемых структур на сферах большой размерности считалось удивительным, но никому не пришло в голову назвать такой факт красивым ни тогда, ни сейчас. .

Напротив, Монастырский писал в 2001 году:

Очень трудно найти в прошлом изобретение, аналогичное прекрасному построению Милнором различных дифференциальных структур на семимерной сфере... Первоначальное доказательство Милнора было не очень конструктивным, но позже Э. Брискорн показал, что эти дифференциальные структуры можно описать в чрезвычайно явной и красивой форме.

Это разногласие иллюстрирует как субъективную природу математической красоты, так и ее связь с математическими результатами: в данном случае не только существование экзотических сфер, но и особая их реализация.

По опыту

приписывают «холодную и строгую красоту». Соединению пяти кубов

Интерес к чистой математике , отделенной от эмпирических исследований, был частью опыта различных цивилизаций , в том числе древних греков , которые «занимались математикой ради ее красоты». Эстетическое удовольствие, которое физики-математики склонны испытывать от общей теории относительности Эйнштейна, было приписано ( среди прочих Полем Дираком ) ее «великой математической красоте». Красота математики ощущается, когда физическая реальность объектов представлена ​​математическими моделями . Теория групп , разработанная в начале 1800-х годов с единственной целью решения полиномиальных уравнений, стала плодотворным способом классификации элементарных частиц — строительных блоков материи. Точно так же изучение узлов дает важное понимание теории струн и петлевой квантовой гравитации .

Некоторый считают, что для того, чтобы оценить математику, нужно заниматься математикой.

Например, математические кружки — это программы послешкольного развития, в которых учащиеся занимаются математикой посредством лекций и мероприятий; Есть также некоторые учителя, которые поощряют участие учащихся , обучая математике в рамках кинестетического обучения . На общем уроке математического кружка учащиеся используют поиск закономерностей, наблюдение и исследование, чтобы сделать свои собственные математические открытия. Например, математическая красота возникает в задании математического кружка по симметрии , предназначенном для второклассников и учеников 3-го класса, где учащиеся создают свои собственные снежинки, складывая квадратный лист бумаги и вырезая узоры по своему выбору по краям сложенной бумаги. Когда бумага развернута, обнаруживается симметричный рисунок. На повседневном уроке математики в начальной школе симметрия может быть представлена ​​как таковая в художественной манере, когда учащиеся видят эстетически привлекательные результаты по математике.

Некоторый Учителя предпочитают использовать математические манипуляции , чтобы представить математику эстетически приятным способом. Примеры манипуляций включают алгебраические плитки , стержни Кюизенера и блоки узоров . Например, можно научить заполнять квадрат с помощью алгебраических плиток. Палочки Кюизенера можно использовать для обучения дробям, а блоки с узорами — для изучения геометрии. Использование математических манипуляций помогает учащимся получить концептуальное понимание, которое может быть не сразу видно в письменных математических формулах.

Другой пример красоты на практике связан с использованием оригами . Оригами, искусство складывания бумаги, имеет эстетические качества и множество математических связей. можно изучить Математику складывания бумаги , наблюдая за рисунком складок на развернутых деталях оригами.

Комбинаторика , наука о счете, имеет художественные представления, которые некоторые найти математически красивое. Существует множество наглядных примеров, иллюстрирующих комбинаторные концепции. Некоторые из тем и объектов, рассматриваемых на курсах комбинаторики с визуальными представлениями, включают, среди прочего , теорему о четырех цветах , таблицу Юнга , пермутоэдр , теорию графов , разделение множества .

Эксперименты по визуализации мозга, проведенные Семиром Зеки и его коллегами показывают, что восприятие математической красоты в качестве нейронного коррелята имеет активность в поле А1 медиальной орбитофронтальной коры (mOFC) мозга и что эта активность параметрически связана с заявленной интенсивностью красоты. Место действия аналогично месту действия, которое коррелирует с ощущением красоты из других источников, таких как музыка, радость или печаль. Более того, математики, похоже, сопротивляются пересмотру своих суждений о красоте математической формулы в свете противоречивых мнений своих коллег.

В философии

Некоторый математики придерживаются мнения, что занятие математикой ближе к открытию, чем к изобретению, например:

Нет научного первооткрывателя, ни поэта, ни художника, ни музыканта, который не скажет вам, что он нашел свое открытие, стихотворение или картину готовым, что оно пришло к нему извне и что он сознательно не создал его изнутри. .

— Уильям Кингдон Клиффорд , из лекции в Королевском институте «Некоторые условия психического развития»

Эти математики полагают, что подробные и точные результаты математики можно разумно считать истинными независимо от Вселенной, в которой мы живем. Например, они утверждают, что теория натуральных чисел фундаментально верна и не требует какого-либо конкретного контекста. Некоторые математики расширили точку зрения о том, что математическая красота является истиной, в некоторых случаях перейдя в мистицизм .

В философии Платона существовало два мира: физический, в котором мы живем, и другой абстрактный мир, содержащий неизменные истины, включая математику. Он считал, что физический мир является простым отражением более совершенного абстрактного мира.

Венгерский математик Пауль Эрдеш говорил о воображаемой книге, в которой Бог записал все самые красивые математические доказательства. Когда Эрдёш хотел выразить особую признательность за доказательство, он восклицал: «Это из Книги!»

Французский философ двадцатого века Ален Бадью утверждал, что онтология — это математика. Бадью также верит в глубокую связь между математикой, поэзией и философией.

Во многих случаях натурфилософы и другие ученые, широко использовавшие математику, делали скачки между красотой и физической истиной способами, которые оказывались ошибочными. Например, на каком-то этапе своей жизни Иоганн Кеплер считал, что пропорции орбит известных тогда планет Солнечной системы были расположены Богом так, чтобы соответствовать концентрическому расположению пяти Платоновых тел , причем каждая орбита лежит на одного описанная сфера многогранника и внутренняя сфера другого. Поскольку существует ровно пять платоновых тел, гипотеза Кеплера могла вместить только шесть планетарных орбит и была опровергнута последующим открытием Урана .

В теории информации

В 1970-х годах Абрахам Моулс и Фридер Наке проанализировали связи между красотой, обработкой информации и теорией информации . В 1990-х годах Юрген Шмидхубер сформулировал математическую теорию субъективной красоты, зависящей от наблюдателя, основанную на алгоритмической теории информации : самые красивые объекты среди субъективно сопоставимых объектов имеют короткие алгоритмические описания (т. е. колмогоровскую сложность ) относительно того, что наблюдатель уже знает. Шмидхубер четко различает красивое и интересное. Последнее соответствует первой производной субъективно воспринимаемой красоты: наблюдатель постоянно пытается улучшить предсказуемость и сжимаемость наблюдений, обнаруживая такие закономерности, как повторения, симметрии и фрактальное самоподобие . Всякий раз, когда процесс обучения наблюдателя (возможно, прогнозирующая искусственная нейронная сеть ) приводит к улучшенному сжатию данных, так что последовательность наблюдений может быть описана меньшим количеством битов , чем раньше, временная интересность данных соответствует прогрессу сжатия и пропорциональна награда внутреннего любопытства наблюдателя.

В искусстве

Основные статьи: Математика и искусство , Математика и музыка и Математика и архитектура.

Музыка

Примеры использования математики в музыке включают стохастическую музыку Янниса Ксенакиса , последовательность Фибоначчи в Тула » «Латералюсе , контрапункт Иоганна Себастьяна Баха , полиритмические структуры (как в Игоря Стравинского » «Весне священной ), модуляцию метрическую Эллиот Картер , перестановок теория в сериализме, начиная с Арнольда Шенберга , и применение тонов Шепарда в « Карлхайнца Штокхаузена » Гимнах . Они также включают применение теории групп к трансформациям в музыке в теоретических трудах Дэвида Левина .

Изобразительное искусство

Схема из Леона Баттисты Альберти 1435 года « Делла Питтура» с колоннами в перспективе на сетке.

Примеры использования математики в изобразительном искусстве включают приложения теории хаоса и фрактальной геометрии к компьютерному искусству , исследования симметрии Леонардо да Винчи , проективную геометрию в развитии теории искусства перспективы эпохи Возрождения , сетки в оп-арте , оптическую геометрию. в камере-обскуре Джамбаттисты делла Порта и множественной перспективе в аналитическом кубизме и футуризме .

Сакральная геометрия представляет собой отдельную область, дающую начало бесчисленным формам искусства, включая некоторые из наиболее известных мистических символов и религиозных мотивов, и имеет особенно богатую историю в исламской архитектуре . Он также предоставляет средства медитации и созерцания, например, изучение Каббалы Сфирот ( Древа Жизни) и Куба Метатрона ; а также сам процесс рисования.

Голландский графический дизайнер М. К. Эшер создал математически вдохновленные гравюры на дереве , литографии и меццо-тинты . В них представлены невозможные конструкции, исследования бесконечности , архитектура, визуальные парадоксы и мозаика .

Некоторые художники и скульпторы создают работы, искаженные математическими принципами анаморфозы , в том числе южноафриканский скульптор Джонти Гурвиц .

Британский художник-конструктор Джон Эрнест создавал рельефы и картины, вдохновленные теорией групп. Ряд других британских художников конструктивистской и системной школ также используют математические модели и структуры как источник вдохновения, в том числе Энтони Хилл и Питер Лоу . Компьютерное искусство основано на математических алгоритмах .

Цитаты математиков

Бертран Рассел выразил свое чувство математической красоты в следующих словах:

Математика, если ее правильно рассматривать, обладает не только истиной, но и высшей красотой — красотой холодной и строгой, как красота скульптуры, не обращающейся ни к какой части нашей более слабой натуры, без великолепных атрибутов живописи или музыки, но все же возвышенно чистой и способной. сурового совершенства, которое может показать только величайшее искусство. Истинный дух восторга, экзальтации, ощущения себя больше, чем человек, который является пробным камнем высшего совершенства, можно найти в математике так же несомненно, как и в поэзии.

Пауль Эрдеш выразил свои взгляды на невыразимость математики, когда сказал: «Почему числа прекрасны? Это все равно что спрашивать, почему Девятая симфония Бетховена прекрасна. Если вы не понимаете, почему, кто-то не сможет вам сказать. Я знаю, что числа прекрасны. . Если они не красивы, то ничего нет».

См. также

• Аргумент от красоты
• Клеточный автомат
• Описательная наука
• Эвристика беглости
• Золотое сечение
• Математика и архитектура
• Нейроэстетика
• Нормативная наука
• Философия математики
• Теория беглости обработки эстетического удовольствия
• Пифагореизм
• Теория всего

Ссылки

• Айгнер, Мартин , и Циглер, Гюнтер М. (2003), Доказательства из КНИГИ , 3-е издание, Springer-Verlag.
• Чандрасекхар, Субраманян (1987), Истина и красота: эстетика и мотивация в науке, University of Chicago Press, Чикаго, Иллинойс.
• Адамар, Жак (1949), Психология изобретений в математической области, 1-е издание, Princeton University Press, Принстон, Нью-Джерси. 2-е издание, 1949 г. Перепечатано, Dover Publications, Нью-Йорк, 1954 г.
• Харди, GH (1940), «Апология математика» , первая публикация, 1940 г. Перепечатано, К. П. Сноу (предисловие), 1967 г. Перепечатано, Cambridge University Press, Кембридж, Великобритания, 1992 г.
• Хоффман, Пол (1992), Человек, который любил только цифры , Гиперион.
• Хантли, HE (1970), Божественная пропорция: исследование математической красоты , Dover Publications, Нью-Йорк, Нью-Йорк.
• Ланг, Серж (1985). Красота занятий математикой: три публичных диалога . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN   0-387-96149-6 .
• Лумис, Элиша Скотт (1968), Предложение Пифагора , Национальный совет учителей математики. Содержит 365 доказательств теоремы Пифагора.
• Монастырский, Михаил (2001). «Некоторые тенденции в современной математике и медаль Филдса» (PDF) . Может. Математика. Соц. Примечания . 33 (2 и 3).
• Панди, СК . Гудение математики: Мелодия математики . Независимое издание, 2019. ISBN   1710134437 .
• Пейтген Х.-О. и Рихтер П.Х. (1986), Красота фракталов , Springer-Verlag.
• Ребер, Р .; Брун, М.; Миттерндорфер, К. (2008). «Использование эвристики в интуитивном математическом суждении». Психономический бюллетень и обзор . 15 (6): 1174–1178. дои : 10.3758/PBR.15.6.1174 . HDL : 1956/2734 . ПМИД   19001586 . S2CID   5297500 .
• Рота, Джан-Карло (1997). «Феноменология математической красоты». Синтезируйте . 111 (2): 171–182. дои : 10.1023/А:1004930722234 . JSTOR   20117626 . S2CID   44064821 .
• Стромайер, Джон, и Уэстбрук, Питер (1999), Божественная гармония, Жизнь и учение Пифагора , Berkeley Hills Books, Беркли, Калифорния.

Дальнейшее чтение

• Селлуччи, Карло (2015), «Математическая красота, понимание и открытие», Foundations of Science , 20 (4): 339–355, doi : 10.1007/s10699-014-9378-7 , S2CID   120068870
• Мартин Гарднер (1 апреля 2007 г.). «Является ли красота истиной, а истина — красотой?» . Научный американец .
• Стюарт, Ян (2007). Почему красота – это истина: история симметрии . Нью-Йорк: Basic Books, член Perseus Books Group. ISBN  978-0-465-08236-0 . OCLC   76481488 .
• Зеки, С. ; Ромайя, Япония; Бенинкаса, ДМТ; Атья, М.Ф. (2014), «Опыт математической красоты и ее нейронных коррелятов», Frontiers in Human Neuroscience , 8:68 , doi : 10.3389/fnhum.2014.00068 , PMC   3923150 , PMID   24592230

Внешние ссылки

• Математика, поэзия и красота
• Математика прекрасна? Cut-the-knot.org
• Джастин Маллинз.com
• Эдна Сент-Винсент Миллей (поэт): Только Евклид видел красоту обнаженной.
• Теренс Тао , Что такое хорошая математика?
• Блог Mathbeauty
• Коллекция Aesthetic Appeal в Интернет-архиве
• Математический роман Джим Холт, выпуск The New York Review of Books, 5 декабря 2013 г. , обзор книги Любовь и математика: сердце скрытой реальности» « Эдварда Френкеля