Неэластичность

Неупругость — это свойство материалов , которое описывает их поведение при деформации . Его формальное определение не включает в себя физические или атомистические механизмы, но все же интерпретирует неупругое поведение как проявление процессов внутренней релаксации . Это поведение отличается (обычно очень незначительно) от упругого поведения .

Определение и эластичность

Рассматривая сначала идеальный упругий материал, закон Гука определяет связь между напряжением $\sigma$ и напряжение $\epsilon$ как:

$\sigma =M\epsilon$

$\epsilon =J\sigma$

$M={\frac {1}{J}}$

Константа $M$ называется модулем упругости (или просто модулем), а его обратная величина $J$ называется модулем податливости (или просто податливости).

Есть три постулата , которые определяют идеальное упругое поведение:

• (1) реакция деформации на каждый уровень приложенного напряжения (или наоборот) имеет уникальное равновесное значение;
• (2) равновесный ответ достигается мгновенно;
• (3) реакция линейна .

Эти условия могут быть отменены в различных комбинациях для описания различных типов поведения, которые обобщены в следующей таблице:

	Уникальные равновесные отношения (полная восстановимость)	Мгновенный	Линейный
Идеальная эластичность	Да	Да	Да
Нелинейная эластичность	Да	Да	Нет
Мгновенная пластичность	Нет	Да	Нет
Неэластичность	Да	Нет	Да
Линейная вязкоупругость	Нет	Нет	Да

Таким образом, неупругость обусловлена ​​наличием в рассматриваемом материале части реакции, зависящей от времени , помимо упругой. Кроме того, обычно это очень малая доля общего отклика, и поэтому в этом смысле обычное значение слова «неэластичность» как «без эластичности» является неправильным в физическом смысле.

Формальное определение линейности таково: «Если заданная история напряжений $\sigma _{1}(t)$ производит напряжение $\epsilon _{1}(t)$, а если стресс $\sigma _{2}(t)$ дает начало $\epsilon _{2}(t)$, то стресс $\sigma _{1}(t)+\sigma _{2}(t)$ вызовет напряжение $\epsilon _{1}(t)+\epsilon _{2}(t)$.» Постулат линейности используется из-за его практической полезности. В противном случае теория стала бы намного сложнее, но в случаях материалов, находящихся под низким напряжением, этот постулат можно считать верным.

В общем, изменение внешней переменной термодинамической системы вызывает реакцию системы, называемую тепловой релаксацией, которая приводит ее к новому равновесному состоянию. В случае механических изменений реакция известна как неупругая релаксация и таким же формальным способом может быть описана, например, диэлектрическая или магнитная релаксация. Внутренние значения связаны с напряжением и деформацией посредством кинетических процессов, таких как диффузия . Таким образом, внешним проявлением поведения внутренней релаксации является зависимость напряжения-деформации, которая в данном случае зависит от времени.

Статические функции ответа

Можно проводить эксперименты , в которых напряжение или деформация остаются постоянными в течение определенного времени. Их называют квазистатическими , и в этом случае неупругие материалы демонстрируют ползучесть, упругое последействие и релаксацию напряжений.

В этих экспериментах напряжение прикладывалось и поддерживалось постоянным, в то время как деформация наблюдалась как функция времени. Эта функция отклика называется ползучестью, определяемой формулой $J(t)\equiv \epsilon (t)/\sigma _{0}$ и характеризует свойства твердого тела. Начальное значение $J(t)$ называется неослабленной податливостью, равновесное значение называется расслабленной податливостью. $J_{R}$ и их разница $\delta J$ называется релаксацией податливости.

После того, как эксперимент по ползучести был проведен в течение некоторого времени, когда напряжение снимается, упругое пружинение обычно сопровождается зависящим от времени затуханием деформации. Этот эффект называется упругим последействием или «восстановлением ползучести». Идеальное упругое твердое тело возвращается к нулевой деформации немедленно, без каких-либо последствий, тогда как в случае неэластичности полное восстановление требует времени, и это последействие. Линейное вязкоупругое твердое тело восстанавливается лишь частично, поскольку вязкий вклад в деформацию не может быть восстановлен.

В эксперименте по релаксации напряжений напряжение σ наблюдается как функция времени при сохранении постоянной деформации. $\epsilon _{0}$ и определение функции релаксации напряжения $M(t)\equiv \sigma (t)/\epsilon _{0}$ аналогично функции ползучести, с нерелаксированным и релаксированным модулем M _U и M _R .

В равновесии, $M_{\text{R}}=1/J_{\text{R}}$, и в короткие сроки, когда материал ведет себя как идеально упругий, $M_{\text{U}}=1/J_{\text{U}}$ тоже держит.

Функции динамического отклика и угол потерь

Чтобы получить информацию о поведении материала за короткие промежутки времени, необходимы динамические эксперименты. В экспериментах такого рода к системе прикладывается периодическое напряжение (или деформация) и определяется фазовая задержка деформации (или напряжения).

Напряжение можно записать в виде комплексного числа. $\sigma =\sigma _{0}a^{i\omega t}$ где $\sigma _{0}$ это амплитуда и $\omega$ частота ​ вибрации ​ . Тогда деформация является периодической с той же частотой $\epsilon =\epsilon _{0}a^{i(\omega t-\phi )}$ где $\epsilon _{0}$ – амплитуда деформации и $\varphi$ - это угол, на который запаздывает деформация, называемый углом потерь. Для идеальной эластичности $\varphi =0$. Для неэластичного случая $\varphi$ вообще говоря, не равно нулю, поэтому отношение $\epsilon /\sigma$ является сложным. Эта величина называется комплексным соответствием $J^{\star }(\omega )$. Таким образом,

$J^{*}(\omega )={\frac {\epsilon }{\sigma }}=|J|(\omega )e^{-i\phi (\omega )}$

где $|J|(\omega )$, абсолютное значение $J^{\star }$, называется абсолютной динамической податливостью, определяемой формулой $\epsilon _{0}/\sigma _{0}$.

Таким образом определяются две реальные функции динамического отклика: $|J|(\omega )$ и $\varphi (\omega )$. Две другие функции реального отклика также можно ввести, записав предыдущее уравнение в других обозначениях:

$J^{*}(\omega )=J_{1}(\omega )-iJ_{2}(\omega )$

где действительная часть называется «соблюдением требований к хранению», а мнимая часть называется «соблюдением требований к потерям».

J ₁ и J ₂ называются «соответствием накопления» и «соблюдением потерь» соответственно, поскольку расчет запасенной энергии и энергии, рассеиваемой в цикле вибрации, дает следующие уравнения:

$\Delta W=\oint \sigma d\epsilon =\pi J_{2}\sigma _{0}^{2}$

где $\Delta W$ - это энергия, рассеиваемая за полный цикл на единицу объема, при этом максимальная запасенная энергия $W$ на единицу объема определяется по формуле:

$W=\int _{\omega t=0}^{\pi /2}\sigma d\epsilon ={\frac {1}{2}}J_{1}\sigma _{0}^{2}$

Отношение рассеиваемой энергии к максимальной запасенной энергии называется «удельной демпфирующей способностью». Это соотношение можно записать как функцию угла потерь по формуле $\Delta W/W=2\pi \tan \phi$.

Это показывает, что угол потерь $\varphi$ дает меру доли энергии, теряемой за цикл из-за неупругого поведения, и поэтому это известно как внутреннее трение материала.

Резонансные и волновые методы распространения

Функции динамического отклика можно измерить только в эксперименте на частотах ниже любого резонанса используемой системы. Хотя теоретически это легко сделать, на практике угол $\varphi (\omega )$ трудно измерить, когда он очень мал, например, в кристаллических материалах. Поэтому субрезонансные методы обычно не используются. Вместо этого используются методы, в которых учитывается инерция системы. Их можно разделить на две категории:

• методы, использующие резонансные системы с собственной частотой (вынужденная вибрация или свободное затухание)
• распространения волн методы

Вынужденные вибрации

Реакция системы в эксперименте с вынужденной вибрацией с периодической силой имеет максимум смещения $x_{0}$ при определенной частоте силы. Это известно как резонанс, и $\omega _{\text{r}}$ резонансная частота. Уравнение резонанса упрощается в случае $\phi \ll 1$. В этом случае зависимость $x_{0}^{2}$ от частоты отображается в виде кривой Лоренца. Если два значения $\omega _{1}$и $\omega _{2}$ это те, на которых $x_{0}^{2}$ падает до половины максимального значения, тогда:

${\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{\omega _{\text{r}}}}=Q^{-1}=\phi$

Угол потерь, который измеряет внутреннее трение, можно получить непосредственно из графика, поскольку он представляет собой ширину резонансного пика на половине высоты. Используя это значение и резонансную частоту, можно получить первичные функции отклика. Изменяя инерцию образца, изменяется резонансная частота, и таким образом можно получить функции отклика на разных частотах.

Бесплатные вибрации

Более распространенный способ получения неупругого отклика — измерение затухания свободных колебаний образца. Решение уравнения движения для этого случая включает константу $\delta$ называется логарифмическим декрементом. Его значение постоянно и составляет $\delta \simeq \pi \phi$. Он представляет собой натуральный логарифм отношения амплитуд последовательных колебаний:

$\delta =\ln \left({\frac {A_{n}}{A_{n+1}}}\right)$

Это удобный и прямой способ измерения демпфирования, поскольку оно напрямую связано с внутренним трением.

Распространение волн

Методы распространения волн используют волну, движущуюся вниз по образцу в одном направлении, чтобы избежать каких-либо интерференционных эффектов. Если образец достаточно длинный и затухание достаточно велико, это можно сделать путем непрерывного распространения волны. Чаще всего для кристаллических материалов с низким затуханием используют метод распространения импульсов. В этом методе используется волновой пакет , длина которого мала по сравнению с образцом. Импульс создается преобразователем на одном конце образца, а скорость импульса определяется либо временем, необходимым для достижения конца образца, либо временем, необходимым для возвращения после отражения в конце. . Затухание . импульса определяется уменьшением амплитуды после последовательных отражений

Принцип суперпозиции Больцмана

Каждая функция отклика представляет собой полное представление неупругих свойств твердого тела. Следовательно, любую из функций отклика можно использовать для полного описания неупругого поведения твердого тела, а любую другую функцию отклика можно вывести из выбранной.

Принцип Больцмана суперпозиции гласит, что каждое напряжение, приложенное в разное время, деформирует материал, как если бы оно было единственным. В общем случае это можно записать для ряда напряжений $\sigma _{i}(i=1,2,...,m)$ которые применяются последовательно $t_{1}',t_{2}',...,t_{m}'$. В этом случае общая деформация составит:

$\epsilon (t)=\sum _{i=1}^{m}\sigma _{i}J(t-t_{i}')$

или в интегральной форме – напряжение изменяется непрерывно:

$\epsilon (t)=\int _{-\infty }^{t}J(t-t'){\frac {d\sigma (t')}{dt'}}dt'$

Контролируемую переменную всегда можно изменить, выразив напряжение как функцию времени аналогичным образом:

$\sigma (t)=\int _{-\infty }^{t}M(t-t'){\frac {d\epsilon (t')}{dt'}}dt'$

Эти интегральные выражения являются обобщением закона Гука в случае неупругости и показывают, что материал действует почти так, как будто он помнит свою историю напряжений и деформаций. Эти два уравнения подразумевают, что существует связь между J(t) и M(t). Для его получения можно использовать метод преобразований Лапласа или неявно связать их следующим образом:

$1=M_{U}J(t)+\int _{0}^{t}J(t-t'){d\sigma (t') \over dt'}dt'$

Таким образом, хотя они взаимосвязаны сложным образом, и нелегко оценить одну из этих функций, зная другую. При наведении в принципе все еще возможно вывести функцию релаксации напряжений из функции ползучести и наоборот благодаря принципу Больцмана.

Механические модели

Описать неупругое поведение можно, учитывая набор параметров материала. Поскольку определение неупругости включает линейность и зависимость напряжения от деформации, зависящую от времени, ее можно описать с помощью дифференциального уравнения с такими терминами, как напряжение, деформация и их производные.

Чтобы лучше визуализировать неупругое поведение, можно использовать соответствующие механические модели. Самый простой из них содержит три элемента (две пружины и приборную панель ), поскольку это наименьшее количество параметров, необходимое для уравнения напряжения-деформации, описывающего простое неупругое твердое тело. Это специфическое основное поведение настолько важно, что материал, который его демонстрирует, называется стандартным неупругим твердым телом.

Дифференциальные уравнения напряжения-деформации

Поскольку из определения неупругости требуется линейность, все дифференциальные уравнения неупругости должны быть первой степени. Эти уравнения могут содержать множество различных констант, описывающих конкретное твердое тело. Самый общий вариант можно записать так:

$a_{0}\sigma +a_{1}{\dot {\sigma }}+a_{2}{\ddot {\sigma }}+\cdot \cdot \cdot =b_{0}\epsilon +b_{1}{\dot {\epsilon }}+b_{2}{\ddot {\epsilon }}+\cdot \cdot \cdot$

Для частного случая неупругости, требующего существования соотношения равновесия, на это уравнение необходимо наложить дополнительные ограничения.

Каждое уравнение напряжения-деформации может сопровождаться механической моделью, помогающей визуализировать поведение материалов.

Механические модели

В случае, когда только константы $a_{0}$ и $b_{0}$ не равны нулю, тело идеально упруго и моделируется пружиной Гука.

Для добавления внутреннего трения в модель используется ньютоновский прибор, представляющий собой поршень, движущийся в идеально вязкой жидкости. Его скорость пропорциональна приложенной силе, поэтому работа полностью рассеивается в виде тепла.

Эти два механических элемента могут быть объединены последовательно или параллельно. При последовательном соединении напряжения равны, а деформации суммируются. Аналогично, при параллельном сочетании одних и тех же элементов деформации равны, а напряжения суммируются. При этом две простейшие модели, сочетающие в себе более одного элемента, следующие:

1. параллельные пружина и приборная панель, называемая моделью Фойгта (или Кельвина)
2. последовательно соединенная пружина и приборная панель, называемая моделью Максвелла

Модель Фойгта, описываемая уравнением $J\sigma =\epsilon +\tau {\dot {\epsilon }}$, не допускает мгновенной деформации, поэтому не является реалистичным представлением кристаллического твердого тела.

Обобщенное уравнение напряжения-деформации для модели Максвелла имеет вид $\tau {\dot {\sigma }}+\sigma =\tau M{\dot {\epsilon }}$и поскольку он демонстрирует устойчивую вязкую ползучесть, а не восстанавливаемую ползучесть, он снова не подходит для описания неэластичного материала.

Стандартное неэластичное твердое вещество

Если рассматривать модель Фойгта, то ей не хватает мгновенного упругого отклика, характерного для кристаллов. Чтобы получить эту недостающую функцию, к модели Фойгта последовательно прикрепляется пружина. Это называется единицей Фойгта. Пружина, установленная последовательно с блоком Voigt, несмотря на свою простоту, демонстрирует все характеристики неэластичного материала. Поэтому это дифференциальное уравнение напряжения-деформации интересно, и его можно рассчитать следующим образом:

$J_{\text{R}}\sigma +\tau _{\sigma }J_{\text{U}}{\dot {\sigma }}=\epsilon +\tau _{\sigma }{\dot {\epsilon }}$

Твердое тело, свойства которого определяются этим уравнением, называется стандартным неупругим телом. Решение этого уравнения для функции ползучести имеет вид:

$J(t)={\frac {\epsilon (t)}{\sigma _{0}}}=J_{\text{R}}-(J_{\text{R}}-J_{\text{U}})e^{-{\frac {t}{\tau _{\sigma }}}}=J_{\text{U}}+\delta (1-e^{-{\frac {t}{\tau _{\sigma }}}}),$

где $\tau _{\sigma }$ называется временем релаксации при постоянном напряжении.

Для описания поведения релаксации напряжений можно также рассмотреть другую трехпараметрическую модель, более подходящую для эксперимента по релаксации напряжений, состоящую из блока Максвелла, установленного параллельно пружине. Его дифференциальное уравнение напряжения-деформации такое же, как и в другой рассматриваемой модели, поэтому обе модели эквивалентны. Тип Фойгта более удобен при анализе ползучести, а тип Максвелла — для релаксации напряжений.

Динамические свойства стандартного неупругого тела

Функции динамического реагирования $J_{1}$ и $J_{2}$, являются:

$J_{1}(\omega )=J_{\text{U}}+{\frac {\delta J}{(1+\omega ^{2}\tau _{\sigma }^{2})}}$

$J_{2}(\omega )=\delta J{\frac {\omega \tau _{\sigma }}{(1+\omega ^{2}\tau _{\sigma }^{2})}}$

Их часто называют уравнениями Дебая, поскольку они были впервые выведены П. Дебаем для случая явлений диэлектрической релаксации. Ширина пика при половине максимального значения для $J_{2}$ дается $\Delta (\log _{10}\omega \tau )=1.144$

Уравнение внутреннего трения $\phi$ также может быть выражено как пик Дебая в случае, когда $\delta J\ll J_{\text{U}}$ как:

$\phi \cong \Delta {\frac {\omega \tau }{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}$

Сила релаксации $\Delta$ можно получить по высоте такого пика, а время релаксации $\tau$ от частоты, на которой возникает пик.

Динамические свойства как функции времени

Динамические свойства, построенные как функция $\omega \tau$ считаются сохранением $\tau$ постоянный при изменении $\omega$. Однако отбор пробы через пик Дебая путем непрерывного изменения частоты невозможен с помощью более распространенных резонансных методов. Однако можно построить пик, варьируя $\tau$ сохраняя при этом $\omega$ постоянный.

Причина, по которой это возможно, заключается в том, что во многих случаях скорость релаксации $\tau ^{-1}$ выражается уравнением Аррениуса :

$\tau ^{-1}=v_{0}e^{-Q/kT}$

где $T$ абсолютная температура , $v_{o}$ – частотный коэффициент, $Q$ – энергия активации , $k$ — постоянная Больцмана .

Следовательно, там, где применяется это уравнение, величина $\tau$ можно изменять в широких пределах, просто изменяя температуру. Тогда становится возможным рассматривать функции динамического отклика как функции температуры.

Дискретные спектры

Следующий уровень сложности описания неупругого твердого тела — это модель, содержащая n элементов Фойгта, последовательно соединенных друг с другом и с пружиной. Это соответствует дифференциальному уравнению напряжения-деформации, которое содержит все члены до порядка n как по напряжению, так и по деформации. Аналогично, модель, содержащая n модулей Максвелла, все параллельно друг другу и с пружиной, также эквивалентна дифференциальному уравнению напряжения-деформации той же формы.

Чтобы иметь как упругое, так и неупругое поведение, дифференциальное уравнение напряжения-деформации должно иметь один и тот же порядок по напряжению и деформации и начинаться с членов нулевого порядка.

Твердое тело, описываемое такой функцией, демонстрирует «дискретный спектр» релаксационных процессов или просто «дискретный спектр релаксации». Каждая «линия» спектра характеризуется временем релаксации $\tau _{\sigma }^{(i)}$, и величина $\delta J_{\sigma }^{(i)}$. Рассмотренное выше стандартное неупругое твердое тело представляет собой лишь частный случай однолинейчатого спектра, который можно также назвать имеющим «единое время релаксации».

Приложения механической спектроскопии

Метод, позволяющий измерить внутреннее трение и модуль упругости, называется механической спектроскопией . Он чрезвычайно чувствителен и может дать информацию, недостижимую с помощью других экспериментальных методологий.

Несмотря на свою историческую редкость, он имеет большую полезность при решении практических задач промышленного производства, где знание и контроль микроскопической структуры материалов становятся все более важными. Некоторые из этих приложений следующие.

Измерение количества C, N, O и H в растворах металлов

В отличие от других химических методов анализа, механическая спектроскопия — единственный метод, позволяющий определить количество межузельных элементов в твердом растворе.

В объемноцентрированных кубических структурах , таких как железо , межузельные атомы располагаются в октаэдрических позициях. В недеформированной решетке все октаэдрические позиции одинаковы и имеют одинаковую вероятность быть занятыми. Приложение определенного растягивающего напряжения в одном направлении, параллельном стороне куба, расширяет эту сторону и сжимает другие ортогональные стороны. Из-за этого октаэдрические позиции перестают быть эквивалентными, и вместо самых маленьких будут заняты более крупные, заставляя межузельный атом перепрыгивать с одной на другую. Изменение направления напряжения, очевидно, имеет противоположный эффект. Применяя переменное напряжение, межузельный атом будет продолжать обратимо перепрыгивать из одного места в другое, вызывая диссипацию энергии и образование так называемого пика Снука. Чем больше атомов участвует в этом процессе, тем более интенсивным будет пик Снука. Зная диссипацию энергии отдельного события и высоту пика Снука, можно определить концентрацию атомов, участвующих в процессе.

Структурная стабильность нанокристаллических материалов

Границы зерен в нанокристаллических материалах достаточно значительны, чтобы отвечать за некоторые специфические свойства этих типов материалов. Их размер и структура важны для определения оказываемого ими механического воздействия. Микроскопия высокого разрешения показывает, что материал, подвергшийся сильной пластической деформации, характеризуется значительными искажениями и дислокациями по границам зерен и вблизи них.

Используя методы механической спектроскопии, можно определить, изменяют ли нанокристаллические металлы при термической обработке свое механическое поведение за счет изменения структуры границ зерен. Одним из примеров является нанокристаллический алюминий.

Определение критических точек мартенситных превращений.

Механическая спектроскопия позволяет определить критические точки мартенситного начала. $M_{\text{s}}$ и мартенситное покрытие $M_{\text{f}}$ при мартенситных превращениях стали и других металлов и сплавов . Их можно идентифицировать по аномалиям в тренде модуля. На примере стали AISI 304 аномалия в распределении элементов в сплаве может вызвать локальное увеличение $M_{\text{s}}$, особенно в областях с меньшим содержанием никеля, и когда обычно образование мартенсита может быть вызвано только пластической деформацией, около 9% все равно могут образоваться во время охлаждения.

Магнитоупругие эффекты в ферромагнитных материалах.

Ферромагнитные материалы обладают специфическими неупругими эффектами, которые влияют на внутреннее трение и динамический модуль.

Ненамагниченный ферромагнитный материал образует домены Вейсса , каждый из которых обладает спонтанной и случайно направленной намагниченностью . Граничные зоны, называемые стенками Блоха, имеют длину около ста атомов, и здесь ориентация одного домена постепенно меняется на ориентацию соседнего. Приложение внешнего магнитного поля приводит к увеличению размеров доменов с одинаковой ориентацией до тех пор, пока все блоховские стенки не будут удалены и материал не намагничится.

Кристаллические дефекты имеют тенденцию закреплять домены, препятствуя их движению. Таким образом, материалы можно разделить на магнитно-мягкие и твердые в зависимости от того, насколько прочно закреплены стены.

В материалах такого типа магнитные и упругие явления коррелируют, как в случае магнитострикции , то есть свойства изменения размера под действием магнитного поля, или, наоборот, изменения магнитных свойств при приложении механического напряжения. Эти эффекты зависят от доменов Вейсса и их способности переориентироваться.

Когда магнитоупругий материал подвергается напряжению, деформация вызывается суммой упругих и магнитоупругих деформаций. Наличие последнего изменяет внутреннее трение, добавляя дополнительный механизм диссипации.

Ссылки

• А.С. Новик, Б.С. Берри, Неупругая релаксация в кристаллических твердых телах, Academic Press, Нью-Йорк и Лондон, 1972 г.
• Р. Монтанари, Э. Бонетти, Механическая спектроскопия, AIM (2010) ISBN 97-88-88529-87-81
• К. М. Зинер, Упругость и неэластичность металлов, Издательство Чикагского университета, Чикаго, Иллинойс, 1948 г.
• М. С. Блантер, Игорь С. Головин, Х. Нойхаузер, Ханс-Райнер Синнинг, Внутреннее трение в металлических стеклах, серия Springer по материаловедению, 2007 г.