Преобразование Лапласа

В математике , преобразование Лапласа названное в честь Пьера-Симона Лапласа / l ə ˈ p l ː s / ) , является интегральным преобразованием , которое преобразует функцию переменной реальной ( (обычно $t$, во временной области ) в функцию сложной переменной $s$ (в сложной частотной домене , также известной как s -domain , или S -плана ).

Преобразование полезно для преобразования дифференцировки и интеграции в домену во времени в гораздо более легкое умножение и деление в домене Лапласа (аналогично тому, как логарифмы полезны для упрощения умножения и деления на добавление и вычитание). Это дает преобразованию много применений в области науки и техники , в основном как инструмент для решения линейных дифференциальных уравнений и динамические системы путем упрощения обычных дифференциальных уравнений и интегральных уравнений в алгебраические полиномиальные уравнения и путем упрощения свертки в умножение . После решения обратного преобразования Лапласа возвращается к исходному домену.

Преобразование Лапласа определено (для подходящих функций $f$) с помощью интегрального $${\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt,$$ где S - сложное число . Это связано со многими другими преобразованием, особенно с преобразованием Фурье и преобразованием Меллина . Формально , преобразование Лапласа преобразуется в преобразование Фурье в результате замены $s=i\omega$ где $\omega$ настоящий. Однако, в отличие от преобразования Фурье, который дает разложение функции в его компоненты на каждой частоте, преобразование Лапласа функции с подходящим распадом является аналитической функцией , и, таким образом, имеет сходящуюся серию мощности , коэффициенты, которые дают разложение функции в его моменты . Также в отличие от преобразования Фурье, когда это рассматривается таким образом как аналитическая функция, методы сложного анализа и особенно контурных интегралов могут использоваться для расчетов.

История

Пьер-Симон, Маркиз де Лаплас

Преобразование Лапласа названо в честь математика и астроном Пьера-Симона, Маркиза де Лапласа , который использовал аналогичное преобразование в своей работе по теории вероятности . Лаплас много писал об использовании генерирующих функций (1814), и в результате интегральная форма преобразования Лапласа развивалась естественным образом.

Использование Лапласа генерирующих функций было похоже на то, что теперь известно как z-преобразование , и он уделял мало внимания непрерывной переменной случаи, который обсуждался Нильс Хенрик Абель .

С 1744 года Леонхард Эйлер исследовал интегралы формы $$z=\int X(x)e^{ax}\,dx\quad {\text{ and }}\quad z=\int X(x)x^{A}\,dx$$ в качестве решений дифференциальных уравнений, введение в частности гамма -функции . Джозеф-Луи Лагранж был поклонником Эйлера и, в своей работе по интеграции функций плотности вероятности , исследовали выражения формы $$\int X(x)e^{-ax}a^{x}\,dx,$$ который напоминает преобразование Лапласа.

Похоже, что эти типы интегралов привлекли внимание Лапласа в 1782 году, где он следил за духом Эйлера, используя сами интегралы в качестве решений уравнений. Однако в 1785 году Лаплас сделал критический шаг вперед, когда, вместо того, чтобы просто искать решение в виде интеграла, он начал применять преобразования в том смысле, что позже стало популярным. Он использовал интеграл формы $$\int x^{s}\varphi (x)\,dx,$$ Сродни преобразованию Меллина , чтобы преобразовать все разничное уравнение , чтобы искать решения преобразованного уравнения. Затем он продолжил применять преобразование Лапласа таким же образом и начал получать некоторые из своих свойств, начиная ценить ее потенциальную силу.

Лаплас также признал, что Джозефа Фурье метод серии Фурье для решения диффузионного уравнения может применяться только к ограниченной области пространства, потому что эти решения были периодическими . В 1809 году Лаплас применил свое преобразование, чтобы найти решения, которые диффундировали на неопределенный срок в космосе. В 1821 году Cauchy разработал оперативный исчисление для преобразования Лапласа, которое можно было бы использовать для изучения линейных дифференциальных уравнений почти так же, как преобразование теперь используется в базовой инженерии. Этот метод был популяризирован и, возможно, заново открыт Оливером Хависидом на рубеже веков.

Бернхард Риманн использовал преобразование Лапласа в своей статье 1859 года о количестве простых чисел, меньше, чем данная величина , в которой он также разработал теорему инверсии. Riemann использовал преобразование Лапласа, чтобы разработать функциональное уравнение функции Zeta Riemann , и этот метод все еще используется для описания закона модульного преобразования функции Jacobi Theta , который прост для доказывания посредством суммирования Пуассона , с функциональным уравнением.

Хьялмар Меллин был одним из первых, кто изучал преобразование Лапласа, строго в школе анализа Карла Вейерштраса , и применил его к изучению дифференциальных уравнений и специальных функций на рубеже 20 -го века. Примерно в то же время Хависайд был занят своим оперативным исчислением. Томас Джоаннес Стильтджес считал обобщение преобразования Лапласа, связанного с его работой в моменты . Другими участниками этого периода включали Матиас Лерч , Оливер Хайвисид и Томас Бромвич .

В 1934 году Рэймонд Пейли и Норберт Винер опубликовали важную работу преобразования Фурье в сложной области , о том, что сейчас называется преобразованием Лапласа (см. Ниже). Также в течение 30 -х годов преобразование Лапласа сыграло важную роль в по Г.Х. Харди и Джону Эденсору Литтлвуду исследовании теоремах тауберов , и это приложение было позже изложено Уаддером (1941), которые разработали другие аспекты теории, такие как новый метод инверсия. Эдвард Чарльз Титчмарш написал влиятельное введение в теорию интеграла Фурье (1937).

Нынешнее широкое использование трансформации (в основном в инженерии) произошло во время и вскоре после Второй мировой войны , Замена более раннего операционного исчисления тяжелосида . Преимущества преобразования Лапласа были подчеркнуты Густавом Доцшем , кому, по -видимому, должно быть, по -видимому, название преобразование Лапласа.

Формальное определение

$\Re (e^{-st})$ Для различных сложных частот в s -домен $(s=\sigma +i\omega ),$ который может быть выражен как $e^{-\sigma t}\cos(\omega t).$ А $\sigma =0$ Ось содержит чистые косинусы. Положительный $\sigma$ содержит затухающие косинусы . Отрицательный $\sigma$ Содержит экспоненциально растущие косинусы.

Преобразование Лапласа функции f ( t ) , определенная для всех реальных чисел t ≥ 0 , представляет собой функцию F ( s ) , которая является односторонним преобразованием, определяемое

$F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt,$ ( Уравнение 1 )

где S является сложным параметром частотной домены $$s=\sigma +i\omega$$ с реальными числами σ и ω .

Альтернативная нотация для преобразования Лапласа - это ${\mathcal {L}}\{f\}$ вместо f .

Значение интеграла зависит от типов интересующих функций. Необходимым условием для существования интеграла является то, что F должен быть локально интегрируемым на [0, ∞) . Для локально интегрируемых функций, которые распадаются в бесконечности или имеют экспоненциальный тип ( $|f(t)|\leq Ae^{B|t|}$), интеграл может быть понят как (правильный) интеграл Lebesgue . Однако для многих приложений необходимо рассматривать его как условно сходящуюся неправильную интеграцию при ∞ . Тем не менее, интеграл может быть понят в слабом смысле , и это рассматривается ниже.

Можно определить преобразование Лапласа конечной меры бореля μ с помощью интеграла Lebesgue $${\mathcal {L}}\{\mu \}(s)=\int _{[0,\infty )}e^{-st}\,d\mu (t).$$

Важным особым случаем является то, где μ является мерой вероятности , например, функции Dirac Delta . В оперативном исчислении преобразование Лапласа меры часто рассматривается так, как если бы мера была получена из функции плотности вероятности f . В этом случае, чтобы избежать потенциальной путаницы, один часто пишет $${\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt,$$ где нижний предел 0 ⁻ Является ли сокращенная нотация для $$\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\varepsilon }^{\infty }.$$

Этот предел подчеркивает, что любая точка масса, расположенная в 0, полностью отражена преобразованием Лапласа. Хотя с интегралом Lebesgue, нет необходимости принимать такой предел, он появляется более естественно в связи с преобразованием Лапласа - Стильтджи .

Двусторонняя преобразование Лапласа

Основная статья: двухстороннее преобразование Лапласа

Когда человек говорит «преобразование Лапласа» без квалификации, обычно предназначено одностороннее или одностороннее преобразование. Преобразование Лапласа может быть альтернативно определено как двустороннее преобразование Лапласа , или двухстороннее преобразование Лапласа , путем расширения пределов интеграции-всей реальной оси. Если это сделано, общее одностороннее преобразование просто становится особым случаем двустороннего преобразования, когда определение трансформированной функции умножается на функцию Stepside .

Двустороннее преобразование Лапласа F ( S ) определяется следующим образом:

$F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$ ( Уравнение 2 )

Альтернативная нотация для двустороннего преобразования Лапласа ${\mathcal {B}}\{f\}$, вместо f .

Обратное преобразование Лапласа

Основная статья: обратное преобразование Лапласа

Две интегрируемые функции имеют одинаковое преобразование Лапласа, только если они различаются на наборе измерения Lebesgue . Это означает, что в диапазоне преобразования существует обратное преобразование. Фактически, помимо интегрируемых функций, преобразование Лапласа представляет собой отображение один к одному из одного функционального пространства в другое во многих других функциональных пространствах, хотя обычно нет простой характеристики диапазона.

Типичные функциональные пространства, в которых это верно, включают пространства ограниченных непрерывных функций, пространство L ^∞ (0, ∞) , или, в более общем смысле, закаленные распределения на (0, ∞) . Преобразование Лапласа также определяется и инъецирует для подходящих пространств от закаленных распределений.

В этих случаях изображение преобразования Лапласа живет в пространстве аналитических функций в области конвергенции . Обратное преобразование Лапласа определяется следующим комплексным интегралом, который известен различными именами ( Интеграл Бромвича , интеграл Фурье -Меллина и обратная формула Меллина ):

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(t)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,ds,$ ( Уравнение 3 )

где γ является реальным числом, так что путь контура интеграции находится в области сходимости F ( S ) . В большинстве приложений контур может быть закрыт, что позволяет использовать теорему остатка . Альтернативная формула для обратного преобразования Лапласа определяется по формуле инверсии Post . Предел здесь интерпретируется в слабой-* топологии .

На практике, как правило, удобнее разложить преобразование Лапласа в известные преобразования функций, полученных из таблицы, и построить обратную проверку.

Теория вероятности

В чистой и применяемой вероятности преобразование Лапласа определяется как ожидаемое значение . Если x является случайной переменной с функцией плотности вероятности F , то преобразование Laplace of F определяется ожиданием $${\mathcal {L}}\{f\}(s)=\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right],$$ где $\operatorname {E} [r]$ Ожидается ​ случайной величины $r$.

По соглашению , это называется преобразованием Лапласа самой случайной величины x . Здесь замена s на - T дает момент генерирующей x функции . Преобразование Лапласа имеет приложения в теории вероятности, включая время первого прохождения стохастических процессов, таких как цепочки Марков и теория обновления .

Особое использование - это возможность восстановить функцию кумулятивного распределения непрерывной случайной величины x с помощью преобразования Лапласа следующим образом: $$F_{X}(x)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{s}}\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right]\right\}(x)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\{f\}(s)\right\}(x).$$

Алгебраическое строительство

Преобразование Лапласа может быть альтернативно определено чисто алгебраичным образом, применяя поле фракций, строительство на кольцо функций свертки на положительной полу-строке. Полученное пространство абстрактных операторов точно эквивалентно пространству Лапласа, но в этой конструкции прямые и обратные преобразования никогда не должны быть четко определены (избегая связанных с этим трудностей с доказыванием сходимости).

Область конвергенции

См. Также: Сюжет по шесту-нулю § Непрерывное время системы

Если F является локально интегрируемой функцией (или, в целом, локально измерением бореля с ограниченным изменением), то преобразование LAPLACE сходится при условии , что F (S) F предел $$\lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}f(t)e^{-st}\,dt$$ существует.

Преобразование Лапласа сходится абсолютно, если интеграл $$\int _{0}^{\infty }\left|f(t)e^{-st}\right|\,dt$$ существует как правильный интеграл Лебегга. Преобразование Лапласа обычно понимается как условно сходящиеся , что означает, что оно сходится в первом, но не в последнем смысле.

Набор значений, для которых F ( s ) сходится абсолютно, является либо формы RE ( s )> a или re ( s ) ≥ a , где A - расширенная реальная постоянная с −∞ ≤ st ≤ ∞ (следствие доминирующая теорема о конвергенции ). Постоянная A известна как абсцисса абсолютной сходимости и зависит от роста поведения F ( t ) . Аналогично, двухстороннее преобразование сходится абсолютно в полосе формы a <re ( s ) < b , и, возможно, включает линии re ( s ) = a или re ( s ) = b . Подмножество значений S, для которых преобразование Лапласа сходится абсолютно, называется области абсолютной конвергенции или доменом абсолютной сходимости. В двухстороннем случае его иногда называют полосой абсолютной сходимости. Преобразование Лапласа является аналитическим в области абсолютной конвергенции: это является следствием теоремы Фубини и теоремы Мореры .

Аналогичным образом, набор значений, для которых F ( S ) сходится (условно или абсолютно), известен как область условной сходимости или просто область сходимости (ROC). Если преобразование Лапласа сходится (условно) при s = s ₀ , то он автоматически сходится для всех s с повторением ( s )> re ( s ₀ ) . Следовательно, область конвергенции представляет собой полплость формы re ( s )> , возможно, включая некоторые точки граничной линии re ( s ) = a .

В области конвергенции re ( s )> re ( s ₀ ) преобразование Лапласа может быть выражена путем интеграции по частям в качестве интегрального $$F(s)=(s-s_{0})\int _{0}^{\infty }e^{-(s-s_{0})t}\beta (t)\,dt,\quad \beta (u)=\int _{0}^{u}e^{-s_{0}t}f(t)\,dt.$$

То есть F ( S ) может быть эффективно выражен в области конвергенции, как абсолютно сходящее преобразование Лапласа некоторой другой функции. В частности, это аналитическое.

Существует несколько теорем о Пейли -винере, касающихся взаимосвязи между свойствами распада F , и свойствами преобразования Лапласа в области конвергенции.

В инженерных приложениях функция, соответствующая линейной системе Invariant (LTI), является стабильной , если каждый ограниченный вход дает ограниченный выход. Это эквивалентно абсолютной конвергенции преобразования Лапласа функции импульсного отклика в области re ( s ) ≥ 0 . В результате системы LTI стабильны, при условии, что полюсы преобразования Лапласа функции импульсного отклика имеют отрицательную реальную часть.

Этот ROC используется в знании причинности и стабильности системы.

Свойства и теоремы

Ключевое свойство преобразования Лапласа заключается в том, что оно преобразует дифференциацию и интеграцию во временной области в умножение и деление на S в домене Лапласа. Таким образом, переменная Laplace S также известна как переменная оператора в домене Лапласа: либо производный оператор , либо (для s ⁻¹ ) оператор интеграции .

Учитывая функции f ( t ) и g ( t ) и их соответствующие преобразования Лапласа F ( S ) и G ( S ) , $${\begin{aligned}f(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(s),\\g(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{G\}(s),\end{aligned}}$$

Следующая таблица представляет собой список свойств одностороннего преобразования Лапласа:

Свойства одностороннего преобразования Лапласа

Свойство	Временная область	S домен	Комментарий
Линейность	$af(t)+bg(t)\$	$aF(s)+bG(s)\$	Может быть доказано с использованием основных правил интеграции.
Производная частота-домен	$tf(t)\$	$-F'(s)\$	F ′ является первой производной F по отношению к s .
Частотная доменная производная	$t^{n}f(t)\$	$(-1)^{n}F^{(n)}(s)\$	Более общая форма, и производная F ( S ) .
Производное	$f'(t)\$	$sF(s)-f(0^{-})\$	F Предполагается, что является дифференцируемой функцией , и его производная предполагается, что он имеет экспоненциальный тип. Это может быть получено путем интеграции по частям
Вторая производная	$f''(t)\$	${\textstyle s^{2}F(s)-sf(0^{-})-f'(0^{-})\ }$	F предполагается в два раза дифференцируемой, а вторая производная для экспоненциального типа. Следует, применяя свойство дифференциации к f ′ ( t ) .
Общая производная	$f^{(n)}(t)\$	$s^{n}F(s)-\sum _{k=1}^{n}s^{n-k}f^{(k-1)}(0^{-})\$	F Предполагается, что является дифференцируемым , с n -th -производным экспоненциального типа. Следует по математической индукции .
Частотная доменная интеграция	${\frac {1}{t}}f(t)\$	$\int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma \$	Это выводится с использованием характера дифференцировки частоты и условной сходимости.
Интеграция временной области	$\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =(u*f)(t)$	${1 \over s}F(s)$	u ( t ) - это функция шага первой части, а u ∗ f ) ( t ) - свертка u ( ) t ) и f ( t . (
Частота смещение	$e^{at}f(t)$	$F(s-a)\$
Смену времени	$f(t-a)u(t-a)$ $f(t)u(t-a)\$	$e^{-as}F(s)\$ $e^{-as}{\mathcal {L}}\{f(t+a)\}$	a > 0 , u ( t ) - функция шага на первом месте
Масштабирование времени	$f(at)$	${\frac {1}{a}}F\left({s \over a}\right)$	a > 0
Умножение	$f(t)g(t)$	${\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}F(\sigma )G(s-\sigma )\,d\sigma \$	Интеграция выполняется вдоль вертикальной линии re ( σ ) = c которая полностью находится в области сближения F. ,
Сверток	$(f*g)(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau$	$F(s)\cdot G(s)\$
Круглая свертка	$(f*g)(t)=\int _{0}^{T}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau$	$F(s)\cdot G(s)\$	Для периодических функций с периодом t .
Сложное сопряжение	$f^{*}(t)$	$F^{*}(s^{*})$
Периодическая функция	$f(t)$	${1 \over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt$	f ( t ) является периодической функцией периода t , так что f ( t ) = f ( t + t ) для всех t ≥ 0 . Это результат сдвигаемого имущества и геометрического сериала .
Периодическое суммирование	$f_{P}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }f(t-Tn)$ $f_{P}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}f(t-Tn)$	$F_{P}(s)={\frac {1}{1-e^{-Ts}}}F(s)$ $F_{P}(s)={\frac {1}{1+e^{-Ts}}}F(s)$

Начальное значение теоремы

$f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}.$

Теорема окончательного значения

$f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}$, если полюсы все $sF(s)$ находятся в левой половине плоскости.

Теорема окончательного значения полезна, потому что она дает долгосрочное поведение без необходимости выполнять частичные разложения фракции (или другую сложную алгебру). Если F ( S ) имеет полюс в правой плоскости или полюсах на воображаемой оси (например, если $f(t)=e^{t}$ или $f(t)=\sin(t)$), тогда поведение этой формулы не определен.

Отношение к серии Power

Преобразование Лапласа можно рассматривать как непрерывный аналог серии мощности . Если A ( n ) является дискретной функцией положительного целого числа n , то серия мощности, связанная с ( n ) , является серией $$\sum _{n=0}^{\infty }a(n)x^{n}$$ где x является реальной переменной (см. z-преобразование ). Замена суммирования по N с интеграцией по T , непрерывная версия серии Power становится $$\int _{0}^{\infty }f(t)x^{t}\,dt$$ где дискретная функция a ( n ) заменяется непрерывным одним f ( t ) .

Изменение основания мощности с x на E дает $$\int _{0}^{\infty }f(t)\left(e^{\ln {x}}\right)^{t}\,dt$$

Для этого, чтобы сходиться, скажем, все ограниченные функции F , необходимо требовать, чтобы LN X <0 . Создание замены - s = ln x дает только преобразование Лапласа: $$\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt$$

Другими словами, преобразование Лапласа является непрерывным аналогом серии мощности, в которой дискретный параметр n заменяется непрерывным параметром T , а x заменяется E ^{- с} .

Отношение к моментам

Основная статья: Функция генерирования момента

Количество $$\mu _{n}=\int _{0}^{\infty }t^{n}f(t)\,dt$$

Моменты ​ функции f . Если первые n моменты F сходится абсолютно, то повторная дифференциация под интегралом , $$(-1)^{n}({\mathcal {L}}f)^{(n)}(0)=\mu _{n}.$$ Это имеет особое значение в теории вероятности, где моменты случайной величины x определяются значениями ожидания $\mu _{n}=\operatorname {E} [X^{n}]$Полем Затем отношение удерживается $$\mu _{n}=(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right](0).$$

Преобразование производной функции

Часто удобно использовать свойство дифференциации преобразования Лапласа, чтобы найти преобразование производной функции. Это может быть получено из основного выражения для преобразования Лапласа следующим образом: $${\begin{aligned}{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}&=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt\\[6pt]&=\left[{\frac {f(t)e^{-st}}{-s}}\right]_{0^{-}}^{\infty }-\int _{0^{-}}^{\infty }{\frac {e^{-st}}{-s}}f'(t)\,dt\quad {\text{(by parts)}}\\[6pt]&=\left[-{\frac {f(0^{-})}{-s}}\right]+{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\},\end{aligned}}$$ уход $${\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}-f(0^{-}),$$ и в двустороннем случае, $${\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}.$$

Общий результат $${\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}(t)\right\}=s^{n}\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-}),$$ где $f^{(n)}$ Обозначает производную F , затем может быть установлен с индуктивным аргументом.

Оценка интегралов по положительной реальной оси

Полезное свойство преобразования Лапласа - следующее: $$\int _{0}^{\infty }f(x)g(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }({\mathcal {L}}f)(s)\cdot ({\mathcal {L}}^{-1}g)(s)\,ds$$ под подходящими предположениями о поведении $f,g$ в правом районе $0$ и на скорости распада $f,g$ в левом районе $\infty$Полем Вышеуказанная формула представляет собой изменение интеграции по частям, с операторами ${\frac {d}{dx}}$ и $\int \,dx$ заменен на ${\mathcal {L}}$ и ${\mathcal {L}}^{-1}$Полем Давайте докажем эквивалентную формулировку: $$\int _{0}^{\infty }({\mathcal {L}}f)(x)g(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }f(s)({\mathcal {L}}g)(s)\,ds.$$

Подключив $({\mathcal {L}}f)(x)=\int _{0}^{\infty }f(s)e^{-sx}\,ds$ Левая сторона превращается в: $$\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }f(s)g(x)e^{-sx}\,ds\,dx,$$ Но предполагая, что теорема Фубини содержится, отменив порядок интеграции, мы получаем разыскивающую правую сторону.

Этот метод может быть использован для вычисления интегралов, которые в противном случае было бы трудно вычислять с использованием элементарных методов реального исчисления. Например, $$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}dx=\int _{0}^{\infty }{\mathcal {L}}(1)(x)\sin xdx=\int _{0}^{\infty }1\cdot {\mathcal {L}}(\sin )(x)dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}+1}}={\frac {\pi }{2}}.$$

Отношение с другими преобразованием

Лаплас -Стильтджис преобразует

(Односторонний) преобразование Лаплас -Стильтджес функции g : ℝ → ℝ определяется интегралом Lebesgue -Stieltjes

$$\{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,d\,g(t)~.$$

функция G Предполагается, что имеет ограниченную вариацию . Если g является антидовативой F ​ :

$$g(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,d\,t$$

Затем преобразование Laplace -stieltjes of G Лапласа и преобразование совпадают. В целом, преобразование Лапласа -Стильтджес - это преобразование Лапласа измерения Stieltjes, с G. связанного Таким образом, на практике единственное различие между двумя преобразованием заключается в том, что преобразование Лапласа считается действующим на функции плотности меры, тогда как преобразование Лапласа -Стильтджес считается действующим на ее кумулятивной функции распределения .

Фурье преобразование

Дополнительная информация: преобразование Фурье § преобразование Лапласа

Позволять $f$ быть комплексной интегрируемой функцией Lebesgue, поддерживаемой на $[0,\infty )$и пусть $F(s)={\mathcal {L}}f(s)$ быть его преобразованием Лапласа. Затем, в области конвергенции, мы

$F(\sigma +i\tau )=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-\sigma t}e^{-i\tau t}\,dt,$

что является преобразованием Фурье функции $f(t)e^{-\sigma t}$.

Действительно, преобразование Фурье является особым случаем (при определенных условиях) двустороннего преобразования Лапласа. Основное различие заключается в том, что преобразование Фурье функции является сложной функцией реальной переменной (частота), преобразование Лапласа функции является сложной функцией сложной переменной . Преобразование Лапласа обычно ограничивается трансформацией функций t с t ≥ 0 . Следствием этого ограничения является то, что преобразование Лапласа функции является голоморфной функцией переменной s . В отличие от преобразования Фурье, преобразование распределения Лапласа, как правило, является хорошей функцией. Методы сложных переменных также могут быть использованы для непосредственного изучения преобразований Лапласа. Как голоморфная функция, преобразование Лапласа имеет представление серии мощности . Эта серия мощности выражает функцию как линейную суперпозицию моментов функции. Эта перспектива имеет приложения в теории вероятности.

Формально преобразование Фурье эквивалентно оценке двустороннего преобразования Лапласа с помощью воображаемого аргумента s = iω Когда условие, объясненное ниже, выполняется,

$${\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&={\mathcal {F}}\{f(t)\}\\[4pt]&={\mathcal {L}}\{f(t)\}|_{s=i\omega }=F(s)|_{s=i\omega }\\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega t}f(t)\,dt~.\end{aligned}}$$

Это соглашение о преобразовании Фурье ( ${\hat {f}}_{3}(\omega )$ в преобразовании Фурье § Другие конвенции ) требует фактора ⁠ 1/2 ⁠ . π на обратном преобразовании Фурье Эта связь между преобразованием Лапласа и Фурье часто используется для определения спектра сигнала частотного или динамической системы.

Приведенное выше соотношение действительнее, как указано в и только тогда, когда область конвергенции (ROC) F ( S ) содержит воображаемую ось, σ = 0 .

Например, функция f ( t ) = cos ( ω ₀ t ) имеет преобразование Лапласа f ( s ) = s /( s ² + ω ₀ ² ) чей ROC - это re ( s )> 0 . Поскольку s = iω ₀ - полюс F ( s ) , замена s = iω в f ( s ) не дает преобразования Фурье f ( t ) u ( t ) , который содержит термины, пропорциональные функциям Dirac delta Δ ( ω ± ω ₀ ) .

Однако отношение формы $$\lim _{\sigma \to 0^{+}}F(\sigma +i\omega )={\hat {f}}(\omega )$$ держит в гораздо более слабых условиях. Например, это содержится для приведенного выше примера при условии, что предел понимается как слабый предел мер (см. Смутную топологию ). Общие условия, относящиеся к пределу преобразования Лапласа функции на границе с преобразованием Фурье, принимают форму теорема Пейли -Вийер .

Меллин преобразует

Основная статья: Mellin Transform

Преобразование Меллина и его обратное связаны с двусторонним преобразованием Лапласа путем простого изменения переменных.

Если в преобразовании Меллина $$G(s)={\mathcal {M}}\{g(\theta )\}=\int _{0}^{\infty }\theta ^{s}g(\theta )\,{\frac {d\theta }{\theta }}$$ Мы устанавливаем θ = e ^{- т} Мы получаем двухстороннее преобразование Лапласа.

Z-преобразование

Дополнительная информация: z-преобразование § Связь с преобразованием Лапласа

Односторонний или односторонний z-преобразователь-это просто преобразование Лапласа идеально отобранного сигнала с заменой $$z{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}e^{sT},$$ где t = 1/ f _s - интервал выборки (в единицах времени, например, секунд), а F _s - скорость отбора проб (в образцах в секунду или герц ).

Позволять $$\Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)$$ быть импульсивным поездом для отбора проб (также называемый расчесом Дирака ) и $${\begin{aligned}x_{q}(t)&{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}x(t)\Delta _{T}(t)=x(t)\sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)\end{aligned}}$$ быть отобранным представлением непрерывного времени x ( t ) $$x[n]{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}x(nT)~.$$

Лапласа отобранного сигнала x _Q ( t ) Преобразование $${\begin{aligned}X_{q}(s)&=\int _{0^{-}}^{\infty }x_{q}(t)e^{-st}\,dt\\&=\int _{0^{-}}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\int _{0^{-}}^{\infty }\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]e^{-nsT}~.\end{aligned}}$$

Это точное определение односторонней z-преобразования дискретной функции x [ n ]

$$X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}$$ с заменой Z → E ^ул .

Сравнивая последние два уравнения, мы находим взаимосвязь между односторонним z-преобразованием и преобразованием Лапласа отбранного сигнала, $$X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{z=e^{sT}}.$$

Сходство между преобразованием Z- и Laplace расширяется в исчислении теории шкалы времени .

Преобразование бореля

Интегральная форма преобразования бореля $$F(s)=\int _{0}^{\infty }f(z)e^{-sz}\,dz$$ является особым случаем преобразования Лапласа для F всей функции экспоненциального типа, что означает, что $$|f(z)|\leq Ae^{B|z|}$$ Для некоторых констант a и b . Обобщенное преобразование бореля позволяет использовать различную функцию взвешивания, а не экспоненциальную функцию, чтобы преобразовать функции, а не экспоненциального типа. Теорема Нахбина дает необходимые и достаточные условия, чтобы преобразование бореля было хорошо определена.

Фундаментальные отношения

Поскольку обычное преобразование Лапласа может быть написано как особый случай двухстороннего преобразования, и, поскольку двухстороннее преобразование может быть написано как сумма двух односторонних преобразований, теория Лаплайн-Фурье, Меллин -и z-преобразователи в нижней части того же предмета. Тем не менее, другая точка зрения и различные характерные проблемы связаны с каждым из этих четырех основных интегральных преобразований.

Таблица выбранных преобразований Лапласа

Основная статья: Список преобразований Лапласа

В следующей таблице представлены преобразования Лапласа для многих общих функций одной переменной. Для определений и объяснений см. Пояснительные примечания в конце таблицы.

Потому что преобразование Лапласа является линейным оператором,

• Преобразование Лапласа суммы представляет собой сумму преобразования Лапласа каждого члена. $${\mathcal {L}}\{f(t)+g(t)\}={\mathcal {L}}\{f(t)\}+{\mathcal {L}}\{g(t)\}$$
• Преобразование Лапласа кратной функции состоит в том, что в несколько раз преобразование Лапласа этой функции. $${\mathcal {L}}\{af(t)\}=a{\mathcal {L}}\{f(t)\}$$

Используя эту линейность, а также различные тригонометрические , гиперболические и сложные числа (и т. Д.) И/или идентичности, некоторые преобразования Лапласа могут быть получены из других быстрее, чем с использованием определения непосредственно.

Одностороннее преобразование Лапласа принимает входную функцию, временную область которого является неотрицательными реальными, поэтому все функции домены временной области в таблице ниже являются множеством функции шага на первом месте, U ( t ) .

Записи таблицы, которые включают в себя задержку времени τ, должны быть причиной (что означает, что τ > 0 ). Причинная система - это система, в которой импульсный отклик h ( t ) равен нулю за все время t до t = 0 . В целом, область конвергенции для причинно -следственных систем не совпадает с областью противокауза .

Выбранные преобразования Лапласа

Функция	Временная область $f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}$	LAPLACE S -domain $F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}$	Область конвергенции	Ссылка
Импульс единицы	$\delta (t)\$	$1$	все с	осмотр
Задержанный импульс	$\delta (t-\tau )\$	$e^{-\tau s}\$	все с	Временная смена Импульс единицы
Устройство шага	$u(t)\$	${1 \over s}$	$\operatorname {Re} (s)>0$	Интегрировать импульс единицы
Задержка шага	$u(t-\tau )\$	${\frac {1}{s}}e^{-\tau s}$	$\operatorname {Re} (s)>0$	Временная смена Устройство шага
Продукт задержки и задержки	$f(t-\tau )u(t-\tau )$	$e^{-s\tau }{\mathcal {L}}\{f(t)\}$		U-Substitution, $u=t-\tau$
прямоугольный импульс	$u(t)-u(t-\tau )$	${\frac {1}{s}}(1-e^{-\tau s})$	$\operatorname {Re} (s)>0$
рамп	$t\cdot u(t)\$	${\frac {1}{s^{2}}}$	$\operatorname {Re} (s)>0$	интегрировать единицу импульс дважды
сила и (для целого числа n )	$t^{n}\cdot u(t)$	${n! \over s^{n+1}}$	$\operatorname {Re} (s)>0$ ( n > −1 )	интегрировать единицу Шаг n раз
Q ​ (для комплекса Q )	$t^{q}\cdot u(t)$	${\operatorname {\Gamma } (q+1) \over s^{q+1}}$	$\operatorname {Re} (s)>0$ $\operatorname {Re} (q)>-1$
и корень	${\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)$	${1 \over s^{{\frac {1}{n}}+1}}\operatorname {\Gamma } \left({\frac {1}{n}}+1\right)$	$\operatorname {Re} (s)>0$	Установите Q = 1/ N выше.
и мощность при сдвиге частоты	$t^{n}e^{-\alpha t}\cdot u(t)$	${\frac {n!}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	$\operatorname {Re} (s)>-\alpha$	Интегрировать шаг единицы, применить сдвиг частоты
Задержка и мощности с частотным сдвигом	$(t-\tau )^{n}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )$	${\frac {n!\cdot e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	$\operatorname {Re} (s)>-\alpha$	интегрировать шаг единицы, применить сдвиг частоты, Применить смену времени
экспоненциальный распад	$e^{-\alpha t}\cdot u(t)$	${1 \over s+\alpha }$	$\operatorname {Re} (s)>-\alpha$	Сдвиг частоты Устройство шага
Двусторонний экспоненциальный распад (Только для двустороннего преобразования)	$e^{-\alpha |t|}\$	${2\alpha \over \alpha ^{2}-s^{2}}$	$-\alpha <\operatorname {Re} (s)<\alpha$	Сдвиг частоты Устройство шага
экспоненциальный подход	$(1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\$	${\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}$	$\operatorname {Re} (s)>0$	Устройство шага минус экспоненциальный распад
их	$\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}$	$\operatorname {Re} (s)>0$
косинус	$\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s \over s^{2}+\omega ^{2}}$	$\operatorname {Re} (s)>0$
гиперболический синус	$\sinh(\alpha t)\cdot u(t)\$	${\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	$\operatorname {Re} (s)>\left|\alpha \right|$
гиперболический косинус	$\cosh(\alpha t)\cdot u(t)\$	${s \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	$\operatorname {Re} (s)>\left|\alpha \right|$
экспоненциально распадается синусная волна	$e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	$\operatorname {Re} (s)>-\alpha$
экспоненциально распадается косинусная волна	$e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	$\operatorname {Re} (s)>-\alpha$
естественный логарифм	$\ln(t)\cdot u(t)$	$-{1 \over s}\left[\ln(s)+\gamma \right]$	$\operatorname {Re} (s)>0$
Функция Бесселя первого вида, порядка n	$J_{n}(\omega t)\cdot u(t)$	${\frac {\left({\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}-s\right)^{\!n}}{\omega ^{n}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}}$	$\operatorname {Re} (s)>0$ ( n > −1 )
Функция ошибки	$\operatorname {erf} (t)\cdot u(t)$	${\frac {1}{s}}e^{(1/4)s^{2}}\!\left(1-\operatorname {erf} {\frac {s}{2}}\right)$	$\operatorname {Re} (s)>0$
Пояснительные примечания: U ( T ) представляет функцию шага Heaviside . Δ представляет функцию Dirac Delta . Γ ( z ) представляет гамма -функцию . γ - константа Эйлера - Машерони . T , реальное число, обычно представляет время , хотя он может представлять любое независимое измерение. S является сложным параметром частотной области, а RE ( S ) - его реальная часть . A , B , T и O - это реальные цифры . n - целое число .

S -домен эквивалентные схемы и импедансы

Преобразование Лапласа часто используется в анализе схемы , и могут быть сделаны простые преобразования в S -домены элементов схемы. Элементы цепи могут быть преобразованы в импедансы , очень похожие на импедансы фазора .

Вот краткое изложение эквивалентов:

s-domain equivalent circuits

Обратите внимание, что резистор точно такой же во временной области и S -домен. Источники помещаются, если на элементах цепи есть начальные условия. Например, если у конденсатора есть начальное напряжение в нем, или если индуктор имеет начальный ток через него, источники, вставленные в учетную запись S -домен для этого.

Эквиваленты для источников тока и напряжения просто получены из преобразований в таблице выше.

Примеры и приложения

Преобразование Лапласа часто используется в инженерии и физике ; Выход линейной инвариантной системы может быть рассчитана путем конверта его единичного импульсного отклика с помощью входного сигнала. Выполнение этого расчета в пространстве Лапласа превращает свертку в умножение; Последнее легче решить из -за его алгебраической формы. Для получения дополнительной информации см. Теорию управления . Преобразование Лапласа инвертируется на большом классе функций. Учитывая простое математическое или функциональное описание ввода или вывода в систему , преобразование Лапласа предоставляет альтернативное функциональное описание, которое часто упрощает процесс анализа поведения системы или синтезировать новую систему на основе набора спецификаций.

Преобразование Лапласа также может использоваться для решения дифференциальных уравнений и широко используется в машиностроении и электротехнике . Преобразование Лапласа уменьшает линейное дифференциальное уравнение до алгебраического уравнения, которое затем может быть решено формальными правилами алгебры. Первоначальное дифференциальное уравнение может быть решено путем применения обратного преобразования Лапласа. Английский инженер -электрик Оливер Хайвисид сначала предложил аналогичную схему, хотя без использования преобразования Лапласа; и полученное оперативное исчисление зачисляется как исчисление негисида.

Оценка ненадлежащих интегралов

Позволять ${\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s)$Полем Затем (см. Таблицу выше)

$$\partial _{s}{\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\partial _{s}\int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}e^{-st}\,dt=-\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt=-F(s)$$

От которого получается:

$${\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{s}^{\infty }F(p)\,dp.$$

В пределе $s\rightarrow 0$, человек получает $$\int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}\,dt=\int _{0}^{\infty }F(p)\,dp,$$ при условии, что обмен пределами может быть оправдано. Это часто возможно в результате теоремы конечной стоимости . Даже когда обмен не может быть оправдан, расчет может быть наводящим на мысль. Например, с A ♠ 0 ≠ B , выполняя формально один $${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(at)-\cos(bt)}{t}}\,dt&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {p}{p^{2}+a^{2}}}-{\frac {p}{p^{2}+b^{2}}}\right)\,dp\\[6pt]&=\left[{\frac {1}{2}}\ln {\frac {p^{2}+a^{2}}{p^{2}+b^{2}}}\right]_{0}^{\infty }={\frac {1}{2}}\ln {\frac {b^{2}}{a^{2}}}=\ln \left|{\frac {b}{a}}\right|.\end{aligned}}$$

Достоверность этой идентичности может быть доказана другими способами. Это пример интеграла Фруллани .

Другим примером является интеграл Dirichlet .

Сложный импеданс конденсатора

В теории электрических цепей текущий поток в конденсаторе пропорционален емкости и скорости изменения в электрическом потенциале (с уравнениями, как для системы единиц Si ). Символически это выражается дифференциальным уравнением $$i=C{dv \over dt},$$ где C является емкостью конденсатора, i = i ( t ) является электрическим током через конденсатор в зависимости от времени, а v = v ( t ) - напряжение на терминалах конденсатора, также в зависимости от функции время.

Принимая преобразование Лапласа этого уравнения, мы получаем $$I(s)=C(sV(s)-V_{0}),$$ где $${\begin{aligned}I(s)&={\mathcal {L}}\{i(t)\},\\V(s)&={\mathcal {L}}\{v(t)\},\end{aligned}}$$ и $$V_{0}=v(0).$$

Решение для V ( S ) у нас $$V(s)={I(s) \over sC}+{V_{0} \over s}.$$

Определение сложного импеданса z (в Ом ) представляет собой отношение сложного напряжения V, деленное на сложный ток I, удерживая начальное состояние V ₀ при нуле: $$Z(s)=\left.{V(s) \over I(s)}\right|_{V_{0}=0}.$$

Используя это определение и предыдущее уравнение, мы находим: $$Z(s)={\frac {1}{sC}},$$ которое является правильным выражением для сложного импеданса конденсатора. Кроме того, преобразование Лапласа имеет большие приложения в теории управления.

Импульсный ответ

Рассмотрим линейную временную систему с трансферной функцией $$H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}.$$

Импульсная реакция - это просто обратное преобразование Лапласа этой передаточной функции: $$h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}.$$

Частичное расширение фракции

Чтобы оценить это обратное преобразование, мы начинаем с расширения H ( S ), используя метод расширения частичной фракции, $${\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}={P \over s+\alpha }+{R \over s+\beta }.$$

Неизвестные константы P и R являются остатками, расположенными на соответствующих полюсах трансферной функции. Каждый остаток представляет собой относительный вклад этой сингулярности в общую форму трансферной функции.

По теореме остатка , обратное преобразование Лапласа зависит только от полюсов и их остатков. Чтобы найти остаток P , мы умножаем обе стороны уравнения на S + α, чтобы получить $${\frac {1}{s+\beta }}=P+{R(s+\alpha ) \over s+\beta }.$$

Затем, позволяя S = - α , вклад от R исчезает и все, что осталось, $$P=\left.{1 \over s+\beta }\right|_{s=-\alpha }={1 \over \beta -\alpha }.$$

Точно так же остаток r дается $$R=\left.{1 \over s+\alpha }\right|_{s=-\beta }={1 \over \alpha -\beta }.$$

Обратите внимание, что $$R={-1 \over \beta -\alpha }=-P$$ и поэтому замена R и P на расширенное выражение для H ( S ) дает $$H(s)=\left({\frac {1}{\beta -\alpha }}\right)\cdot \left({1 \over s+\alpha }-{1 \over s+\beta }\right).$$

Наконец, используя свойство линейности и известное преобразование для экспоненциального распада (см. Пункт № 3 в таблице преобразований Лапласа , выше), мы можем принять обратное преобразование Лапласа H ( ы ), чтобы получить $$h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}={\frac {1}{\beta -\alpha }}\left(e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}\right),$$ который является импульсной реакцией системы.

Сверток

Тот же результат может быть достигнут с использованием свойства свертки , как если бы система представляет собой серию фильтров с трансферными функциями 1/( S + α ) и 1/( S + β ) . То есть обратный $$H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}={\frac {1}{s+\alpha }}\cdot {\frac {1}{s+\beta }}$$ является $${\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s+\alpha }}\right\}*{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s+\beta }}\right\}=e^{-\alpha t}*e^{-\beta t}=\int _{0}^{t}e^{-\alpha x}e^{-\beta (t-x)}\,dx={\frac {e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}}{\beta -\alpha }}.$$

Фаза задержка

Временная функция	Преобразование Лапласа
$\sin {(\omega t+\varphi )}$	${\frac {s\sin(\varphi )+\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}$
$\cos {(\omega t+\varphi )}$	${\frac {s\cos(\varphi )-\omega \sin(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}.$

Начиная с преобразования Лапласа, $$X(s)={\frac {s\sin(\varphi )+\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}$$ Мы находим обратную, первой перестановкой терминов во фракции: $${\begin{aligned}X(s)&={\frac {s\sin(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}+{\frac {\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}\\&=\sin(\varphi )\left({\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}\right)+\cos(\varphi )\left({\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right).\end{aligned}}$$

Теперь мы можем принять обратное преобразование Лапласа наших терминов: $${\begin{aligned}x(t)&=\sin(\varphi ){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}+\cos(\varphi ){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}\\&=\sin(\varphi )\cos(\omega t)+\cos(\varphi )\sin(\omega t).\end{aligned}}$$

Это только синус суммы аргументов, уступая: $$x(t)=\sin(\omega t+\varphi ).$$

Мы можем применить аналогичную логику, чтобы обнаружить, что $${\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s\cos \varphi -\omega \sin \varphi }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}=\cos {(\omega t+\varphi )}.$$

Статистическая механика

В статистической механике преобразование плотности состояний Лапласа $g(E)$ Определяет функцию разделения . То есть функция канонического разделения $Z(\beta )$ дано $$Z(\beta )=\int _{0}^{\infty }e^{-\beta E}g(E)\,dE$$ и обратное дается $$g(E)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\beta _{0}-i\infty }^{\beta _{0}+i\infty }e^{\beta E}Z(\beta )\,d\beta$$

Пространственная (не время) структура из астрономического спектра

Широкая и общая применимость преобразования Лапласа и его обратного иллюстрируется применением в астрономии, которое предоставляет некоторую информацию о пространственном распределении материи астрономического источника радиочастотного теплового излучения, слишком отдаленного, чтобы решить , как более чем точка, учитывая его поток плотности Спектр , вместо того, чтобы связывать домен времени со спектром (частотный домен).

Предполагая определенные свойства объекта, например, сферическая форма и постоянная температура, расчеты, основанные на выполнении обратного преобразования Лапласа на спектре объекта, могут создать единственную возможную модель распределения вещества в нем (плотность как функция расстояния от расстояния от расстояния от расстояния Центр) в соответствии со спектром. Когда доступна независимая информация о структуре объекта, было обнаружено, что метод обратного преобразования Лапласа находится в хорошем согласии.

Процессы рождения и смерти

Рассмотрим случайную прогулку , с шагами $\{+1,-1\}$ встречается с вероятностями $p,q=1-p$. Предположим также, что временный шаг - это процесс Пуассона , с параметрами $\lambda$Полем Затем вероятность прогулки в точке решетки $n$ в момент времени $t$ является

$P_{n}(t)=\int _{0}^{t}\lambda e^{-\lambda (t-s)}(pP_{n-1}(s)+qP_{n+1}(s))\,ds\quad (+e^{-\lambda t}\quad {\text{when}}\ n=0).$

Это приводит к системе интегральных уравнений (или эквивалентно системе дифференциальных уравнений). Однако, поскольку это система уравнений свертки, преобразование Лапласа преобразует его в систему линейных уравнений для

$\pi _{n}(s)={\mathcal {L}}(P_{n})(s),$

а именно:

$\pi _{n}(s)={\frac {\lambda }{\lambda +s}}(p\pi _{n-1}(s)+q\pi _{n+1}(s))\quad (+{\frac {1}{\lambda +s}}\quad {\text{when}}\ n=0)$

что теперь может быть решено стандартными методами.

Тауберовская теория

Преобразование Лапласа из меры $\mu$ на $[0,\infty )$ дано

${\mathcal {L}}\mu (s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}d\mu (t).$

Интуитивно ясно, что для маленьких $s>0$, экспоненциально распадающаяся интеграция станет более чувствительной к концентрации меры $\mu$ на более крупных подмножествах домена. Чтобы сделать это более точным, введите функцию распределения:

$M(t)=\mu ([0,t)).$

Формально, мы ожидаем предела следующего вида:

$\lim _{s\to 0^{+}}{\mathcal {L}}\mu (s)=\lim _{t\to \infty }M(t).$

Теоремы тауберов - теоремы, связанные с асимптотикой преобразования Лапласа, как $s\to 0^{+}$, к распределению $\mu$ как $t\to \infty$Полем Таким образом, они имеют важное значение в асимптотических формулах вероятности и статистики , где часто спектральная сторона имеет асимптотику, которая проще для вывода.

Две тауберовские теоремы - это теорема таубера Харди -Литтлвуд и теорема Винера Таубера . Теорема Винера обобщает теорему Ikehara Tauberian , которая является следующим утверждением:

Пусть a ( x ) является неотрицательной, монотонной нерекциональной функцией x , определенной для 0 ≤ x <∞. Предположим, это

$f(s)=\int _{0}^{\infty }A(x)e^{-xs}\,dx$

сходится для ℜ ( s )> 1 к функции ƒ ( s ) и для некоторого неотрицательного числа C ,

$f(s)-{\frac {c}{s-1}}$

имеет расширение в качестве непрерывной функции для ℜ ( s ) ≥ 1. Тогда предел как x переходит к бесконечности E ^{- x}  A ( x ) равен c.

Это утверждение может быть применено, в частности, к логарифмической производной функции Riemann Zeta , и, таким образом, обеспечивает чрезвычайно короткий способ доказать теорему основного числа .

Смотрите также

• Аналоговая обработка сигнала
• Теорема Бернштейна на монотонные функции
• Непрерывная ипотека
• Гамбургский момент проблема
• Харди -Литтлвуд Тауберовская теорема
• Лаплас - Карсон Преобразование
• Функция генерирования момента
• Нелокальный оператор
• Формула инверсии сообщения
• График сигнала
• Передача функции

Ссылки

Современный

• Bracewell, Ronald N. (1978), The Fourier Transform и его приложения (2-е изд.), McGraw-Hill Kogakusha, ISBN  978-0-07-007013-4
• Bracewell, RN (2000), The Fourier Transform и его приложения (3-е изд.), Бостон: McGraw-Hill, ISBN  978-0-07-116043-8
• Feller, William (1971), введение в теорию вероятностей и ее приложения. Тол. II , Второе издание, Нью -Йорк: Джон Вили и сыновья , MR   0270403
• Корн, Джорджия; Корн, Т.М. (1967), Математический справочник для ученых и инженеров (2-е изд.), McGraw-Hill Companies, ISBN  978-0-07-035370-1
• Widder, David Vernon (1941), The Laplace Transform , Matematic Series Принстона, т. 6, издательство Принстонского университета , MR   0005923
• Williams, J. (1973), преобразование Лапласа , Решающие проблемы, Джордж Аллен и Анвин, ISBN  978-0-04-512021-5
• Takacs, J. (1953), «Определение амплитуд Фурье с операторами», Венгерская Hiradastechnology (у венгерских), IV (7-8): 93-96

Исторический

• Euler, L. (1744), «Строительство уравнений» [строительство уравнений], Opera , 1-я серия (IN), 22 : 150-161
• Euler, L. (1753), «Метод дифференциальных уравнений» [метод решения дифференциальных уравнений], Opera , 1st Series (IN), 22 : 181-213
• Euler, L. (1992) [1769], «Учреждения Calculus, том 2» [Институты расчета], Opera , 1 -я серия (на латыни), 12 , Базель: Birkhäuser, ISBN  978-3764314743 , Главы 3–5
• Euler, Leonhard (1769), Calculus [ Институты интегрального расчета ] (в), вып. 2, Париж: Петрополи, гл. 3-5, с. 57-153
• Grattan-Guinness, I Интегральные решения Laplace в частичных дифференциальных уравнениях», в Gillispie, CC (ред (1997), « . )  978-0-691-01185-1
• LaGrange, JL (1773), память о полезности метода , Works of Lagrange, vol. 2, с. 171–234

Дальнейшее чтение

• Арендт, Вольфганг; Бэтти, Чарльз Дж.К.; Хибер, Матиас; Neubrander, Frank (2002), векторные преобразования Лапласа и проблемы с коши , Birkhäuser Basel, ISBN  978-3-7643-6549-3 .
• Дэвис, Брайан (2002), Интегральные преобразования и их приложения (третье изд.), Нью -Йорк: Springer, ISBN  978-0-387-95314-4
• Deakin, Mab (1981), «Развитие преобразования Лапласа», Архив для истории точных наук , 25 (4): 343–390, doi : 10.1007/bf01395660 , s2cid   117913073
• Deakin, Mab (1982), «Развитие преобразования Лапласа», Архив для истории точных наук , 26 (4): 351–381, doi : 10.1007/bf00418754 , s2cid   123071842
• Doetsch, Gustav (1974), Введение в теорию и применение преобразования Лапласа , Springer, ISBN  978-0-387-06407-9
• Мэтьюз, Джон; Уокер, Роберт Л. (1970), Математические методы физики (2 -е изд.), Нью -Йорк: WA Benjamin, ISBN   0-8053-7002-1
• Полианин, AD; Манжиров, AV (1998), Справочник по интегральным уравнениям , Бока -Ратон: CRC Press, ISBN  978-0-8493-2876-3
• Schwartz, Laurent (1952), «Трансформация Laplace des Distributions», Comm. Вены. Математика Univ. Lumbe [Medd. LUNDS UNIVE. Вместе с. SEM.] (По-французски), 1952 : 196-206 M0052555   ,
• Schwartz, Laurent (2008) [1966], Математика для физических наук , Dover Books on Mathematics, Нью -Йорк: Dover Publications, с. 215–241, ISBN  978-0-486-46662-0 - См. Главу VI. Преобразование Лапласа.
• Зиберт, Уильям МакК. (1986), Схемы, сигналы и системы , Кембридж, Массачусетс: MIT Press, ISBN  978-0-262-19229-3
• Widder, Дэвид Вернон (1945), «Что такое преобразование Лапласа?», Американский математический месяц , 52 (8): 419–425, doi : 10.2307/2305640 , ISSN   0002-9890 , JSTOR   2305640 , MR   0013447
• Jacweidman и Bengt Fornberg: «Полностью численные методы преобразования Лапласа», Численные алгоритмы, том 92 (2023), с. 985–1006. https://doi.org/10.1007/S11075-022-01368-x .

Внешние ссылки

• «Преобразование Лапласа» , Энциклопедия математики , Ems Press , 2001 [1994]
• Онлайн расчет преобразования или обратного преобразования, Wims.Unice.fr
• Таблицы интегральных преобразований в EQWorld: мир математических уравнений.
• Вейсштейн, Эрик У. "Лаплас Трансформация" . MathWorld .
• Хорошие объяснения первоначальных и окончательных теорем, архивированных 2009-01-08 на машине Wayback
• Преобразование Лапласа на математике
• Вычислительный двигатель знаний позволяет легко рассчитать преобразования Лапласа и его обратное преобразование.
• Калькулятор Laplace для легко расчета преобразования Лапласа в Интернете.
• Код для визуализации преобразований Лапласа и многих примеров видео.