Догадки Капланского
Математик Ирвинг Каплански известен тем, что выдвинул многочисленные гипотезы в нескольких разделах математики, включая список из десяти гипотез об алгебрах Хопфа . Их обычно называют гипотезами Капланского .
Групповые кольца
[ редактировать ]Пусть K — поле, а G — группа без кручения . Гипотеза Капланского о делителе нуля гласит:
- Групповое кольцо K [ G ] не содержит нетривиальных делителей нуля , т. е. является областью определения .
Капланского Две связанные гипотезы известны как идемпотентная гипотеза :
- K [ G ] не содержит нетривиальных идемпотентов , т. е. если a 2 = a , тогда a = 1 или a = 0 .
Капланского и гипотеза единицы (которая первоначально была выдвинута Грэмом Хигманом и популяризирована Каплански):
- K [ G ] не содержит нетривиальных единиц , т.е. если ab = 1 в K [ G ] , то = кг для некоторых k из K и g в G. a
Гипотеза о делителе нуля влечет за собой гипотезу об идемпотенте и вытекает из гипотезы о единице. По состоянию на 2021 год гипотезы о делителе нуля и идемпотентах открыты. Гипотеза о единице, однако, была опровергнута в характеристике 2 Джайлсом Гардамом путем демонстрации явного контрпримера в кристаллографической группе , а именно в фундаментальной группе многообразия Ханцше-Вендта ; см. также группу Фибоначчи . [1] [2] [3] В более позднем препринте Гардама утверждается, что, по сути, тот же элемент также дает противоположный пример в характеристике 0 (в этой настройке поиск обратного значения требует гораздо больше вычислительных усилий, отсюда и задержка между первым результатом и вторым). [4]
Существуют доказательства как гипотезы об идемпотенте, так и гипотезы о делителях нуля для больших классов групп. Например, гипотеза о делителе нуля известна для всех элементарных аменабельных групп без кручения (класса, включающего все практически разрешимые группы), поскольку их групповые алгебры, как известно, являются областями Оре . [5] Отсюда следует, что в более общем плане гипотеза справедлива для всех элементарных аменабельных групп без аппроксимируемого кручения. Обратите внимание, что когда является полем нулевой характеристики, то гипотеза о делителях нуля вытекает из гипотезы Атьи , которая также была установлена для больших классов групп.
Идемпотентная гипотеза имеет обобщение — идемпотентную гипотезу Кадисона , также известную как гипотеза Кадисона-Капланского, для элементов в приведенной групповой C*-алгебре . В этой ситуации известно, что если гипотеза Фаррелла-Джонса верна для K [ G ] , то и гипотеза идемпотента верна. Последнее было положительно решено для чрезвычайно большого класса групп, включая, например, все гиперболические группы .
Гипотеза о единице, как известно, также верна во многих группах, но ее частичные решения гораздо менее устойчивы, чем две другие (о чем свидетельствует ранее упомянутый контрпример). Известно, что эта гипотеза не следует из какого-либо аналитического утверждения, подобного двум другим, и поэтому все случаи, когда известно, что она верна, были установлены с помощью прямого комбинаторного подхода, включающего так называемое свойство уникальных произведений. Благодаря упомянутой выше работе Гардама теперь известно, что это в целом неверно.
Банаховы алгебры
[ редактировать ]Эта гипотеза утверждает, что любой гомоморфизм алгебр из банаховой алгебры C ( X ) (непрерывных комплекснозначных функций на X , где X — компактное хаусдорфово пространство ) в любую другую банахову алгебру обязательно непрерывен . Гипотеза эквивалентна утверждению, что каждая норма алгебры на C ( X ) эквивалентна обычной равномерной норме . (Сам Капланский ранее показал, что каждая полная алгебраическая норма на C ( X ) эквивалентна равномерной норме.)
В середине 1970-х годов Х. Гарт Дейлс и Дж. Эстерл независимо друг от друга доказали, что, если, кроме того, предположить справедливость гипотезы континуума , существуют компакты Хаусдорфа X и разрывные гомоморфизмы из C ( X ) в некоторую банахову алгебру, дав контрпримеры к предположению.
В 1976 году Р. М. Соловей (основываясь на работе Х. Вудина) представил модель ZFC ( теория множеств Цермело – Френкеля + аксиома выбора ), в которой гипотеза Капланского верна. Таким образом, гипотеза Капланского является примером утверждения, неразрешимого в ZFC .
Квадратичные формы
[ редактировать ]В 1953 году Капланский выдвинул гипотезу о том, что конечные значения u -инвариантов могут быть только степенями 2 . [6] [7]
В 1989 году гипотезу опроверг Александр Меркурьев , продемонстрировавший поля с u -инвариантами любого четного m . [6] В 1999 году Олег Ижболдин построил поле с u -инвариантом m = 9, которое стало первым примером нечетного u -инварианта. [8] В 2006 году Александр Вишик продемонстрировал поля с u -инвариантом. для любого целого числа k, начиная с 3. [9]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Гардам, Джайлз (23 февраля 2021 г.). «Контрпример к гипотезе единицы для групповых колец». Анналы математики . 194 (3): 967–979. arXiv : 2102.11818 . дои : 10.4007/анналы.2021.194.3.9 . S2CID 232013430 .
- ^ «Интервью с Джайлсом Гардамом» . Математика Мюнстер, Мюнстерский университет . Проверено 10 марта 2021 г.
- ^ Эрика Кларрайх (12 апреля 2021 г.). «Математик опровергает алгебраическую гипотезу 80-летней давности» . Журнал Кванта . Проверено 13 апреля 2021 г.
- ^ Гардам, Джайлз (11 декабря 2023 г.). «Нетривиальные единицы комплексных групповых колец». arXiv : 2312.05240 [ math.GR ].
- ^ Крофоллер, PH; Линнелл, Пенсильвания; Муди, Дж. А. (1988). «Применение новой $K$-теоретической теоремы к разрешимым групповым кольцам» . Труды Американского математического общества . 104 (3): 675–684. дои : 10.2307/2046771 . ISSN 0002-9939 .
- ^ Перейти обратно: а б Меркурьев А.С. (1991). «Гипотеза Капланского в теории квадратичных форм». J Math Sci . 57 (6): 3489. doi : 10.1007/BF01100118 . S2CID 122865942 .
- ^ Капланский И. (1951). «Квадратичные формы» . Дж. Математика. Соц. Япония . 5 (2): 200–207. дои : 10.2969/jmsj/00520200 .
- ^ Ижболдин, Олег Т. (2001). «Поля u-инварианта 9». Анналы математики . Вторая серия. 154 (3): 529–587. дои : 10.2307/3062141 . JSTOR 3062141 . Збл 0998.11015 .
- ^ Вишик, Александр (2009). «Поля u-инварианта 2^r + 1». Алгебра, арифметика и геометрия. Прогресс в математике . 270 : 661. дои : 10.1007/978-0-8176-4747-6_22 . ISBN 978-0-8176-4746-9 .
- Х. Г. Дейлс, Автоматическая непрерывность: обзор . Бык. Лондонская математика. Соц. 10 (1978), вып. 2, 129–183.
- В. Люк, Л. 2 -Инварианты: теория и приложения к геометрии и K-теории . Берлин: Весна 2002 г. ISBN 3-540-43566-2
- Д.С. Пассман, Алгебраическая структура групповых колец , Чистая и прикладная математика, Wiley-Interscience, Нью-Йорк, 1977. ISBN 0-471-02272-1
- М. Пушниг, Гипотеза Кадисона–Капланского для словесно-гиперболических групп . Изобретать. Математика. 149 (2002), вып. 1, 153–194.
- Х. Д. Дейлс и В. Х. Вудин, Введение в независимость для аналитиков , Кембридж, 1987 г.