Проблема с числовым знаком

В прикладной математике проблема числового знака — это проблема численного вычисления интеграла сильно колебательной функции большого числа переменных. Численные методы терпят неудачу из-за почти полного устранения положительных и отрицательных вкладов в интеграл. Каждый из них необходимо интегрировать с очень высокой точностью , чтобы их разницу можно было получить с полезной точностью .

Проблема знаков — одна из важнейших нерешенных проблем физики многочастичных систем . Это часто возникает при расчетах свойств квантово-механической системы с большим количеством сильно взаимодействующих фермионов или в теориях поля, предполагающих ненулевую плотность сильно взаимодействующих фермионов.

Обзор

В физике проблема знаков обычно (но не исключительно) встречается при расчетах свойств квантово-механической системы с большим количеством сильно взаимодействующих фермионов или в теориях поля, включающих ненулевую плотность сильно взаимодействующих фермионов. Поскольку частицы сильно взаимодействуют, теория возмущений неприменима, и приходится использовать грубые численные методы. Поскольку частицы являются фермионами, их волновая функция меняет знак, когда любые два фермиона меняются местами (из-за антисимметрии волновой функции, см. Принцип Паули ). Таким образом, если нет никаких сокращений, возникающих из-за некоторой симметрии системы, квантово-механическая сумма по всем многочастичным состояниям включает в себя интеграл по функции, которая является сильно осциллирующей, поэтому ее трудно оценить численно, особенно в больших размерностях. Поскольку размерность интеграла определяется количеством частиц, проблема знаков становится серьезной в термодинамическом пределе . Теоретико-полевое проявление проблемы знаков обсуждается ниже.

Проблема знаков — одна из основных нерешенных проблем физики многочастичных систем, препятствующая прогрессу во многих областях:

• Физика конденсированного состояния — предотвращает численное решение систем с высокой плотностью сильно коррелированных электронов, таких как модель Хаббарда .
• Ядерная физика . Она препятствует первоначальному расчету свойств ядерной материи и, следовательно, ограничивает наше понимание ядер и нейтронных звезд .
• Квантовая теория поля - предотвращает использование решеточной КХД. предсказывать фазы и свойства кварковой материи . (В теории решетчатого поля эта проблема также известна как проблема комплексного действия .)

Проблема знаков в теории поля

В теоретико-полевом подходе к многочастичным системам плотность фермионов контролируется значением химического потенциала фермионов. $\mu$. Оценивается функция раздела $Z$ путем суммирования по всем классическим конфигурациям поля, взвешенным по $\exp(-S)$, где $S$ это действие конфигурации. Суммирование по фермионным полям можно выполнить аналитически, и остается сумма по бозонным полям. $\sigma$ (которые, возможно, изначально были частью теории или были созданы в результате преобразования Хаббарда – Стратоновича, чтобы сделать действие фермионов квадратичным)

$Z=\int D\sigma \,\rho [\sigma ],$

где $D\sigma$ представляет собой меру суммы по всем конфигурациям $\sigma (x)$ бозонных полей, взвешенных

$\rho [\sigma ]=\det(M(\mu ,\sigma ))\exp(-S[\sigma ]),$

где $S$ теперь это действие бозонных полей, а $M(\mu ,\sigma )$ представляет собой матрицу, которая кодирует то, как фермионы были связаны с бозонами. Ожидаемое значение наблюдаемой $A[\sigma ]$ поэтому является средним по всем конфигурациям, взвешенным по $\rho [\sigma ]$:

$\langle A\rangle _{\rho }={\frac {\int D\sigma \,A[\sigma ]\,\rho [\sigma ]}{\int D\sigma \,\rho [\sigma ]}}.$

Если $\rho [\sigma ]$ положительно, то его можно интерпретировать как вероятностную меру, а $\langle A\rangle _{\rho }$ могут быть рассчитаны путем численного суммирования конфигураций полей с использованием стандартных методов, таких как выборка важности Монте-Карло .

Проблема со знаком возникает, когда $\rho [\sigma ]$ является неположительным. Обычно это происходит в теориях фермионов, когда химический потенциал фермионов $\mu$ не равно нулю, т.е. когда имеется ненулевая фоновая плотность фермионов. Если $\mu \neq 0$, симметрия частица-античастица отсутствует, и $\det(M(\mu ,\sigma ))$, и, следовательно, вес $\rho (\sigma )$, обычно является комплексным числом , поэтому выборку важности Монте-Карло нельзя использовать для вычисления интеграла.

Процедура перевзвешивания

Теорию поля с неположительным весом можно преобразовать в теорию с положительным весом, включив неположительную часть (знак или комплексную фазу) веса в наблюдаемую. Например, можно разложить весовую функцию на ее модуль и фазу:

$\rho [\sigma ]=p[\sigma ]\,\exp(i\theta [\sigma ]),$

где $p[\sigma ]$ является реальным и позитивным, поэтому

$\langle A\rangle _{\rho }={\frac {\int D\sigma A[\sigma ]\exp(i\theta [\sigma ])\,p[\sigma ]}{\int D\sigma \exp(i\theta [\sigma ])\,p[\sigma ]}}={\frac {\langle A[\sigma ]\exp(i\theta [\sigma ])\rangle _{p}}{\langle \exp(i\theta [\sigma ])\rangle _{p}}}.$

Обратите внимание, что желаемое математическое ожидание теперь представляет собой соотношение, в котором числитель и знаменатель являются ожидаемыми значениями, которые оба используют положительную весовую функцию. $p[\sigma ]$. Однако фаза $\exp(i\theta [\sigma ])$ является сильно колебательной функцией в конфигурационном пространстве, поэтому, если использовать методы Монте-Карло для оценки числителя и знаменателя, каждый из них будет оцениваться как очень маленькое число, точное значение которого заглушается шумом, присущим процессу выборки Монте-Карло. . «Плохость» проблемы знаков измеряется малостью знаменателя. $\langle \exp(i\theta [\sigma ])\rangle _{p}$: если оно намного меньше 1, то проблема со знаком серьезная. Это можно показать что

$\langle \exp(i\theta [\sigma ])\rangle _{p}\propto \exp(-fV/T),$

где $V$ - объем системы, $T$ это температура, и $f$ это плотность энергии. Таким образом, количество точек отбора проб Монте-Карло, необходимое для получения точного результата, возрастает экспоненциально по мере увеличения объема системы и по мере того, как температура стремится к нулю.

Разложение весовой функции на модуль и фазу является лишь одним из примеров (хотя оно считается оптимальным выбором, поскольку оно минимизирует дисперсию знаменателя). ). В общем, можно было бы написать

$\rho [\sigma ]=p[\sigma ]{\frac {\rho [\sigma ]}{p[\sigma ]}},$

где $p[\sigma ]$ может быть любой положительной весовой функцией (например, весовой функцией $\mu =0$ теория). Тогда сложность проблемы со знаками измеряется формулой

$\left\langle {\frac {\rho [\sigma ]}{p[\sigma ]}}\right\rangle _{p}\propto \exp(-fV/T),$

который снова стремится к нулю экспоненциально в пределе большого объема.

Методы решения проблемы знаков

Проблема знаков является NP-сложной , что означает, что полное и общее решение проблемы знаков также решит все проблемы класса сложности NP за полиномиальное время. Если (как обычно полагают) не существует решений NP-задач за полиномиальное время (см. P и NP-проблема ), то не существует общего решения проблемы знаков. Это оставляет открытой возможность существования решений, которые работают в конкретных случаях, когда колебания подынтегрального выражения имеют структуру, которую можно использовать для уменьшения числовых ошибок.

В системах с умеренной проблемой знаков, таких как теории поля при достаточно высокой температуре или в достаточно малом объеме, проблема знаков не слишком серьезна, и полезные результаты могут быть получены различными методами, такими как более тщательно настроенное повторное взвешивание, аналитическое продолжение из воображаемого $\mu$ к реальному $\mu$, или разложение Тейлора по степеням $\mu$.

Существуют различные предложения по решению систем с серьезной проблемой знаков:

• Контурная деформация. Пространство полей комплексируется, а контур интеграла по траекториям деформируется из $R^{N}$ другому $N$-мерное многообразие, вложенное в комплекс $C^{N}$ космос.

• Мерон -кластерные алгоритмы. Они достигают экспоненциального ускорения за счет разложения мировых линий фермионов на кластеры, которые вносят независимый вклад. Кластерные алгоритмы были разработаны для некоторых теорий, но не для модели электронов Хаббарда и не для КХД , теории кварков.
• Стохастическое квантование . Сумма по конфигурациям получается как равновесное распределение состояний, исследуемое сложным уравнением Ланжевена . На данный момент обнаружено, что алгоритм позволяет избежать проблемы знаков в тестовых моделях, которые имеют проблему знаков, но не включают фермионы.
• Метод фиксированного узла. Фиксируется расположение узлов (нулей) многочастичной волновой функции и используются методы Монте-Карло для получения оценки энергии основного состояния с учетом этого ограничения.
• Алгоритмы Майораны. Использование фермионного представления Майораны для выполнения преобразований Хаббарда-Стратоновича может помочь решить проблему знака фермионов в классе фермионных моделей многих тел.
• Диаграмматический Монте-Карло - основан на диаграммах Фейнмана со стохастической и стратегической выборкой.

См. также

• Метод стационарной фазы
• Осциллирующий интеграл