Декартовский овал

В геометрии овал декартов — это плоская кривая, состоящая из точек, имеющих одинаковую линейную комбинацию расстояний от двух фиксированных точек ( фокусов ). Эти кривые названы в честь французского математика Рене Декарта , который использовал их в оптике .

Определение

Пусть $P$ и $Q$ — неподвижные точки на плоскости, и пусть $d(P, S)$ и $d(Q, S)$ обозначают евклидовы расстояния от этих точек до третьей переменной точки $S$ . Пусть $m$ и $a$ — произвольные действительные числа . Тогда декартов овал — это геометрическое место точек S, удовлетворяющих условиям $d(P, S) + m d(Q, S) = a$ . Два овала, образованные четырьмя уравнениями $d(P, S) + m d(Q, S) = \pm a$ и $d(P, S) - m d(Q, S) = \pm a,$ тесно связаны между собой; вместе они образуют плоскую кривую четвертого порядка, называемую овалами Декарта . ^[1]

Особые случаи

В уравнении $d(P, S) + m d(Q, S) = a$ , когда $m = 1$ и $a > d(P, Q),$ результирующая форма представляет собой эллипс . В предельном случае , когда P и Q совпадают, эллипс становится кругом . Когда $m=a/\!\operatorname {d} (P,Q)$ это версия Паскаля. Если $m=-1$ и $0<a<\operatorname {d} (P,Q)$ уравнение дает ветвь гиперболы и , следовательно, не является замкнутым овалом.

Полиномиальное уравнение

Набор удовлетворяющих точек $(x, y),$ полиномиальному уравнению четвертой степени ^[1]^[2]

\left[(1-m^{2})(x^{2}+y^{2})+2m^{2}cx+a^{2}-m^{2}c^{2}\right]^{2}=4a^{2}(x^{2}+y^{2})

где $c$ - расстояние ${\text{d}}(P,Q)$ между двумя фиксированными фокусами $P = (0, 0)$ и $Q = (c, 0)$ образует два овала, наборы точек удовлетворяют двум из следующих четырех уравнений

\operatorname {d} (P,S)\pm m\operatorname {d} (Q,S)=a\,

\operatorname {d} (P,S)\pm m\operatorname {d} (Q,S)=-a\,

^[2]

которые имеют реальные решения. Два овала обычно не пересекаются , за исключением случая, когда $P$ или $Q.$ им принадлежит По крайней мере, один из двух перпендикуляров к $PQ,$ проходящих через точки $P$ и $Q,$ разрезает эту кривую четвертой степени в четырех вещественных точках; из этого следует, что они обязательно вложены, причем по крайней мере одна из двух точек $P$ и $Q$ содержится во внутренностях обеих из них. ^[2] О другой параметризации и результирующей квартике см. Лоуренс. ^[3]

Приложения в оптике

Как обнаружил Декарт, декартовы овалы можно использовать в конструкции линз . Выбрав соотношение расстояний от $P$ и $Q$ так, чтобы оно соответствовало отношению синусов в законе Снеллиуса , и используя поверхности вращения одного из этих овалов, можно сконструировать так называемую апланатическую линзу , не имеющую сферической аберрации . ^[4]

Кроме того, если сферический волновой фронт преломляется через сферическую линзу или отражается от вогнутой сферической поверхности, преломленный или отраженный волновой фронт принимает форму декартова овала. Поэтому каустику , образованную сферической аберрацией, в этом случае можно описать как эволюцию декартова овала. ^[5]

История

Овалы Декарта были впервые изучены Рене Декартом в 1637 году в связи с их применением в оптике.

Эти кривые также изучались Ньютоном, начиная с 1664 года. Один из методов изображения некоторых конкретных декартовых овалов, уже использованный Декартом, аналогичен стандартному построению эллипса с помощью закрепленной нити. Если протянуть нить от булавки в одном фокусе, чтобы обернуть ее вокруг булавки во втором фокусе, и привязать свободный конец нити к ручке, то путь, пройденный ручкой, когда нить сильно натянута, образует декартову овал с соотношением расстояний от двух фокусов 2:1. ^[6] Однако Ньютон отверг такие конструкции как недостаточно строгие . ^[7] Он определил овал как решение дифференциального уравнения , построил его субнормали и снова исследовал его оптические свойства. ^[8]

Французский математик Мишель Шасль в XIX веке обнаружил, что если декартов овал определяется двумя точками $P$ и $Q$ , то, вообще говоря, существует третья точка $R$ на той же прямой, такая что тот же овал также определяется любой парой точек P и Q. эти три пункта. ^[2]

Джеймс Клерк Максвелл заново открыл эти кривые, обобщил их до кривых, определяемых сохранением постоянной взвешенной суммы расстояний от трех или более фокусов, и написал статью под названием « Наблюдения над описанными фигурами, имеющими множество фокусов и радиусы различных пропорций» . Отчет о его результатах под названием « Об описании овальных кривых и кривых, имеющих множество фокусов» , был написан Дж. Д. Форбсом и представлен Королевскому обществу Эдинбурга в 1846 году, когда Максвелл был в молодом возрасте 14 лет (почти 15 лет). ). ^[6]^[9]^[10]

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Декартовский овал» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Райс, Джон Майнот; Джонсон, Уильям Вулси (1888), Элементарный трактат по дифференциальному исчислению, основанному на методе скоростей или флюксий (4-е изд.), Дж. Уайли, стр. 295–299 .
^ Лоуренс, Дж. Деннис (1972), Каталог особых плоских кривых , Дувр, стр. 155–157 , ISBN 0-486-60288-5 .
^ Дейкстерхейс, Фокко Ян (2004), Линзы и волны: Христиан Гюйгенс и математическая наука об оптике в семнадцатом веке , Архимед, Новые исследования по истории и философии науки и техники, том. 9, Springer-Verlag, стр. 13–14, ISBN. 978-1-4020-2697-3 .
^ Персиваль, Арчибальд Стэнли (1899), «Глава XVI. Контур преломленного волнового фронта. Каустика», Оптика, пособие для студентов , Macmillan, стр. 312–327 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Гарднер, Мартин (2007), Последние развлечения: гидры, яйца и другие математические мистификации , Springer-Verlag, стр. 46–49, ISBN 978-0-387-25827-0 .
^ Гвиччардини, Никколо (2009), Исаак Ньютон о математической достоверности и методе , Преобразования: исследования по истории науки и техники, том. 4, MIT Press, стр. 49 и 104, ISBN. 978-0-262-01317-8 .
^ Уайтсайд, Дерек Томас (2008), Математические статьи Исаака Ньютона, Том. 3 , Издательство Кембриджского университета, стр. 139, 495 и 551, ISBN. 978-0-521-04581-0 .
^ Научные письма и статьи Джеймса Клерка Максвелла, под редакцией П. М. Хармана, том I, 1846–1862, Cambridge University Press, стр. 35
^ MacTutor История математики - Биографии - Максвелл

Внешние ссылки

[mactutor-1] Перейти обратно: ^а ^б О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Декартовский овал» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс

[rj1888-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Райс, Джон Майнот; Джонсон, Уильям Вулси (1888), Элементарный трактат по дифференциальному исчислению, основанному на методе скоростей или флюксий (4-е изд.), Дж. Уайли, стр. 295–299 .

[3] Лоуренс, Дж. Деннис (1972), Каталог особых плоских кривых , Дувр, стр. 155–157 , ISBN 0-486-60288-5 .

[4] Дейкстерхейс, Фокко Ян (2004), Линзы и волны: Христиан Гюйгенс и математическая наука об оптике в семнадцатом веке , Архимед, Новые исследования по истории и философии науки и техники, том. 9, Springer-Verlag, стр. 13–14, ISBN. 978-1-4020-2697-3 .

[5] Персиваль, Арчибальд Стэнли (1899), «Глава XVI. Контур преломленного волнового фронта. Каустика», Оптика, пособие для студентов , Macmillan, стр. 312–327 .

[gardner-6] Перейти обратно: ^а ^б Гарднер, Мартин (2007), Последние развлечения: гидры, яйца и другие математические мистификации , Springer-Verlag, стр. 46–49, ISBN 978-0-387-25827-0 .

[7] Гвиччардини, Никколо (2009), Исаак Ньютон о математической достоверности и методе , Преобразования: исследования по истории науки и техники, том. 4, MIT Press, стр. 49 и 104, ISBN. 978-0-262-01317-8 .

[8] Уайтсайд, Дерек Томас (2008), Математические статьи Исаака Ньютона, Том. 3 , Издательство Кембриджского университета, стр. 139, 495 и 551, ISBN. 978-0-521-04581-0 .

[9] Научные письма и статьи Джеймса Клерка Максвелла, под редакцией П. М. Хармана, том I, 1846–1862, Cambridge University Press, стр. 35

[10] MacTutor История математики - Биографии - Максвелл

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]