Квантовая эргодичность

Собственная мода классически интегрируемой системы (например, круглая полость слева) может быть очень ограниченной даже при большом числе мод. Напротив, собственные моды классической хаотической системы (например, полость в форме стадиона справа) имеют тенденцию постепенно становиться более однородными с увеличением номера моды.

В квантовом хаосе , разделе математической физики , квантовая эргодичность — это свойство квантования классических механических систем , хаотичных в смысле экспоненциальной чувствительности к начальным условиям. Грубо говоря, квантовая эргодичность утверждает, что в пределе высоких энергий распределения вероятностей, связанные с собственными состояниями энергии квантованного эргодического гамильтониана, стремятся к равномерному распределению в классическом фазовом пространстве . Это согласуется с интуицией о том, что потоки эргодических систем равномерно распределены в фазовом пространстве. Напротив, классические полностью интегрируемые системы обычно имеют периодические орбиты в фазовом пространстве, и это проявляется по-разному в высокоэнергетическом пределе собственных состояний: обычно некоторая форма концентрации возникает в квазиклассическом пределе. $\hbar \rightarrow 0$ .

Модельным случаем гамильтониана является гамильтониан на кокасательном расслоении компактного . риманова многообразия геодезический Квантование геодезического потока задается фундаментальным решением уравнения Шредингера

U_{t}=\exp(it{\sqrt {\Delta }})

где ${\sqrt {\Delta }}$ — квадратный корень из оператора Лапласа–Бельтрами . Квантовая теорема эргодичности Шнирельмана 1974, Зельдича и Ива Колена де Вердьера утверждает, что компактное риманово многообразие, единичное касательное расслоение которого эргодично относительно геодезического потока, также эргодично в том смысле, что плотность вероятности, связанная с n -й собственной функцией лапласиана слабо стремится к равномерному распределению на единичном кокасательном расслоении при n → ∞ в подмножестве натуральных чисел естественная плотность равна единице. Квантовую эргодичность можно сформулировать как некоммутативный аналог классической эргодичности ( Т. Сунада ).

Поскольку классически хаотическая система также является эргодической, почти все ее траектории в конечном итоге равномерно исследуют все доступное фазовое пространство. Таким образом, при переносе понятия эргодичности в квантовую область естественно предположить, что собственные состояния квантовой хаотической системы будут равномерно (с точностью до случайных флуктуаций) заполнять квантовое фазовое пространство в квазиклассическом пределе $\hbar \rightarrow 0$ . Квантовые теоремы эргодичности Шнирельмана, Зельдича и Ива Колена де Вердьера доказывают, что математическое ожидание оператора сходится в квазиклассическом пределе к соответствующему микроканоническому классическому среднему. Однако квантовая теорема эргодичности оставляет открытой возможность того, что собственные функции станут разреженными с серьезными дырами, поскольку $\hbar \rightarrow 0$ , оставляя большие, но не макроскопические пробелы на энергетических многообразиях в фазовом пространстве. В частности, теорема допускает существование подмножества макроскопически неэргодических состояний, которые, с другой стороны, должны приближаться к нулевой мере, т. е. вклад этого набора стремится к нулю процентов всех собственных состояний, когда $\hbar \rightarrow 0$ . ^{[ 5 ]}

Например, теорема не исключает квантового рубцевания, поскольку в этом пределе фазовый объем рубцов также постепенно исчезает. ^{[ 1 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 2 ]} Собственное квантовое состояние страдает от периодической орбиты, если его плотность вероятности находится на классических инвариантных многообразиях вблизи и на всем протяжении этой периодической орбиты, систематически увеличивается по сравнению с классической, статистически ожидаемой плотностью вдоль этой орбиты. ^{[ 5 ]} Упрощенно, квантовый шрам относится к собственному состоянию, плотность вероятности которого увеличивается вблизи классической периодической орбиты, когда соответствующая классическая система хаотична. При обычном рубцевании реагирующая периодическая орбита нестабильна. ^{[ 1 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 2 ]} Нестабильность является решающим моментом, который отделяет квантовые шрамы от более тривиального открытия о том, что плотность вероятности увеличивается вблизи стабильных периодических орбит из-за принципа соответствия Бора. Последнее можно рассматривать как чисто классическое явление, тогда как в первом важна квантовая интерференция. С другой стороны, в квантовом рубцевании, индуцированном возмущением, ^{[ 3 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}^{[ 4 ]} некоторые из высокоэнергетических собственных состояний локально возмущенной квантовой точки содержат шрамы коротких периодических орбит соответствующей невозмущенной системы. Несмотря на внешнее сходство с обычными квантовыми шрамами, эти шрамы имеют принципиально иное происхождение. ^{[ 3 ]}^{[ 7 ]}^{[ 4 ]} При этом типе рубцевания в нарушенном классическом аналоге отсутствуют периодические орбиты или они слишком нестабильны, чтобы вызвать рубец в общепринятом смысле. Обычные шрамы и шрамы, вызванные возмущениями, являются одновременно ярким наглядным примером классического квантового соответствия и квантового подавления хаоса (см. Рисунок). В частности, шрамы являются существенной поправкой к предположению, что соответствующие собственные состояния классического хаотического гамильтониана являются лишь безликими и случайными. В каком-то смысле шрамы можно рассматривать как аналог квантовой эргодичности теоремы о том, как короткие периодические орбиты вносят поправки в статистику собственных значений универсальной теории случайных матриц.

См. также

Внешние ссылки

Теорема Шнирельмана, статья в Scholarpedia

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с Хеллер, Эрик Дж. (15 октября 1984 г.). «Собственные функции связанных состояний классически хаотических гамильтоновых систем: шрамы периодических орбит» . Письма о физических отзывах . 53 (16): 1515–1518. Бибкод : 1984PhRvL..53.1515H . doi : 10.1103/PhysRevLett.53.1515 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Каплан, Л.; Хеллер, Э.Дж. (10 апреля 1998 г.). «Линейная и нелинейная теория шрамов собственных функций» . Анналы физики . 264 (2): 171–206. arXiv : чао-дин/9809011 . Бибкод : 1998АнФиз.264..171К . дои : 10.1006/aphy.1997.5773 . ISSN 0003-4916 . S2CID 120635994 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Кески-Рахконен, Дж.; Руханен, А.; Хеллер, Э.Дж.; Рясянен, Э. (21 ноября 2019 г.). «Квантовые шрамы Лиссажу» . Письма о физических отзывах . 123 (21): 214101. arXiv : 1911.09729 . Бибкод : 2019PhRvL.123u4101K . doi : 10.1103/PhysRevLett.123.214101 . ПМИД 31809168 . S2CID 208248295 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Кески-Рахконен, Йоонас (2020). Квантовый хаос в неупорядоченных двумерных наноструктурах . Университет Тампере. ISBN 978-952-03-1699-0 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Хеллер, Эрик Джонсон (2018). Полуклассический путь к динамике и спектроскопии . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-1-4008-9029-3 . OCLC 1034625177 .
^ Jump up to: ^а ^б Каплан, Л. (1 января 1999 г.). «Шрамы в квантовых хаотических волновых функциях» . Нелинейность . 12 (2): Р1–Р40. дои : 10.1088/0951-7715/2/12/009 . ISSN 0951-7715 . S2CID 250793219 .
^ Jump up to: ^а ^б Луукко, Пертту Дж. Дж.; Друри, Байрон; Клалес, Анна; Каплан, Лев; Хеллер, Эрик Дж.; Рясянен, Эса (28 ноября 2016 г.). «Сильное квантовое рубцевание местными примесями» . Научные отчеты . 6 (1): 37656. arXiv : 1511.04198 . Бибкод : 2016НатСР...637656Л . дои : 10.1038/srep37656 . ISSN 2045-2322 . ПМК 5124902 . ПМИД 27892510 .
^ Кески-Рахконен, Дж.; Луукко, PJJ; Каплан, Л.; Хеллер, Э.Дж.; Рясянен, Э. (20 сентября 2017 г.). «Управляемые квантовые шрамы в полупроводниковых квантовых точках» . Физический обзор B . 96 (9): 094204. arXiv : 1710.00585 . Бибкод : 2017PhRvB..96i4204K . дои : 10.1103/PhysRevB.96.094204 . S2CID 119083672 .
^ Кески-Рахконен, Дж; Луукко, PJJ; Оберг, С; Рясянен, Э (21 января 2019 г.). «Влияние рубцевания на квантовый хаос в неупорядоченных квантовых ямах» . Физический журнал: конденсированное вещество . 31 (10): 105301. arXiv : 1806.02598 . Бибкод : 2019JPCM...31j5301K . дои : 10.1088/1361-648x/aaf9fb . ISSN 0953-8984 . ПМИД 30566927 . S2CID 51693305 .

Шнирельман А.И. (1974), Эргодические свойства собственных функций , вып. 29(6(180)), Успехи мат. Наук, Москва, стр. 181–182.
Зельдич, С. (2006), «Квантовая эргодичность и смешивание собственных функций», у Франсуазы, Жан-Пьера; Набер, Грегори Л.; Цун, Цоу Шеунг (ред.), Энциклопедия математической физики. Том. 1, 2, 3, 4, 5 , Academic Press/Elsevier Science, Оксфорд, ISBN 9780125126601 , МР 2238867
Сунада, Т. (1997), «Квантовая эргодичность», Тенденции в математике , Birkhauser Verlag, Базель, стр. 175–196.

[:0-1] Jump up to: ^а ^б ^с Хеллер, Эрик Дж. (15 октября 1984 г.). «Собственные функции связанных состояний классически хаотических гамильтоновых систем: шрамы периодических орбит» . Письма о физических отзывах . 53 (16): 1515–1518. Бибкод : 1984PhRvL..53.1515H . doi : 10.1103/PhysRevLett.53.1515 .

[:3-2] Jump up to: ^а ^б ^с Каплан, Л.; Хеллер, Э.Дж. (10 апреля 1998 г.). «Линейная и нелинейная теория шрамов собственных функций» . Анналы физики . 264 (2): 171–206. arXiv : чао-дин/9809011 . Бибкод : 1998АнФиз.264..171К . дои : 10.1006/aphy.1997.5773 . ISSN 0003-4916 . S2CID 120635994 .

[:4-3] Jump up to: ^а ^б ^с Кески-Рахконен, Дж.; Руханен, А.; Хеллер, Э.Дж.; Рясянен, Э. (21 ноября 2019 г.). «Квантовые шрамы Лиссажу» . Письма о физических отзывах . 123 (21): 214101. arXiv : 1911.09729 . Бибкод : 2019PhRvL.123u4101K . doi : 10.1103/PhysRevLett.123.214101 . ПМИД 31809168 . S2CID 208248295 .

[:6-4] Jump up to: ^а ^б ^с Кески-Рахконен, Йоонас (2020). Квантовый хаос в неупорядоченных двумерных наноструктурах . Университет Тампере. ISBN 978-952-03-1699-0 .

[:1-5] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Хеллер, Эрик Джонсон (2018). Полуклассический путь к динамике и спектроскопии . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-1-4008-9029-3 . OCLC 1034625177 .

[:2-6] Jump up to: ^а ^б Каплан, Л. (1 января 1999 г.). «Шрамы в квантовых хаотических волновых функциях» . Нелинейность . 12 (2): Р1–Р40. дои : 10.1088/0951-7715/2/12/009 . ISSN 0951-7715 . S2CID 250793219 .

[:5-7] Jump up to: ^а ^б Луукко, Пертту Дж. Дж.; Друри, Байрон; Клалес, Анна; Каплан, Лев; Хеллер, Эрик Дж.; Рясянен, Эса (28 ноября 2016 г.). «Сильное квантовое рубцевание местными примесями» . Научные отчеты . 6 (1): 37656. arXiv : 1511.04198 . Бибкод : 2016НатСР...637656Л . дои : 10.1038/srep37656 . ISSN 2045-2322 . ПМК 5124902 . ПМИД 27892510 .

[8] Кески-Рахконен, Дж.; Луукко, PJJ; Каплан, Л.; Хеллер, Э.Дж.; Рясянен, Э. (20 сентября 2017 г.). «Управляемые квантовые шрамы в полупроводниковых квантовых точках» . Физический обзор B . 96 (9): 094204. arXiv : 1710.00585 . Бибкод : 2017PhRvB..96i4204K . дои : 10.1103/PhysRevB.96.094204 . S2CID 119083672 .

[9] Кески-Рахконен, Дж; Луукко, PJJ; Оберг, С; Рясянен, Э (21 января 2019 г.). «Влияние рубцевания на квантовый хаос в неупорядоченных квантовых ямах» . Физический журнал: конденсированное вещество . 31 (10): 105301. arXiv : 1806.02598 . Бибкод : 2019JPCM...31j5301K . дои : 10.1088/1361-648x/aaf9fb . ISSN 0953-8984 . ПМИД 30566927 . S2CID 51693305 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]