точка Хегнера

В математике точка Хегнера — это точка на модулярной кривой , которая является образом квадратичной мнимой точки верхней полуплоскости . Они были определены Брайаном Берчем и названы в честь Курта Хигнера , который использовал аналогичные идеи для доказательства гипотезы Гаусса о мнимых квадратичных полях класса номер один.

Теорема Гросса – Загера

Теорема Гросса-Загера ( Gross & Zagier 1986 ) описывает высоту точек Хегнера в терминах производной L-функции эллиптической кривой в точке s = 1. В частности, если эллиптическая кривая имеет (аналитический) ранг 1 , то точки Хигнера можно использовать для построения рациональной точки на кривой бесконечного порядка (поэтому группа Морделла – Вейля имеет ранг не ниже 1). В более общем плане Гросс, Конен и Загер (1987) показали, что точки Хегнера можно использовать для построения рациональных точек на кривой для каждого положительного целого числа n , а высоты этих точек были коэффициентами модульной формы с весом 3/2. Шоу-Ву Чжан обобщил теорему Гросса-Загира для эллиптических кривых на случай модулярных абелевых многообразий (Чжан 2001 , 2004 , Юань , Чжан и Чжан 2009 ).

Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера

Позже Колывагин использовал точки Хигнера для построения систем Эйлера и использовал это для доказательства большей части гипотезы Берча-Суиннертона-Дайера для эллиптических кривых ранга 1. Браун доказал гипотезу Бёрча-Суиннертона-Дайера для большинства эллиптических кривых ранга 1 над глобальными полями положительной характеристики ( Brown 1994 ).

Вычисление

Точки Хегнера можно использовать для вычисления очень больших рациональных точек на эллиптических кривых ранга 1 (см. обзор ( Watkins 2006 )), которые невозможно найти наивными методами. Реализации алгоритма доступны в Magma , PARI/GP и Sage .

Ссылки

Берч, Б. (2004), «Точки Хигнера: начало», в Дармоне, Анри ; Чжан, Шоу-Ву (ред.), Heegner Points и Rankin L-Series (PDF) , Публикации Научно-исследовательского института математических наук, том. 49, Издательство Кембриджского университета, стр. 1–10, номер документа : 10.1017/CBO9780511756375.002 , ISBN. 0-521-83659-Х , МР 2083207 .
Браун, М.Л. (2004), Модули Хегнера и эллиптические кривые , Конспект лекций по математике, том. 1849, Springer-Verlag, doi : 10.1007/b98488 , ISBN 3-540-22290-1 , МР 2082815 .
Дармон, Анри; Чжан, Шоу-Ву, ред. (2004), Точки Хегнера и L-серия Рэнкина , Публикации Научно-исследовательского института математических наук, том. 49, Издательство Кембриджского университета , номер документа : 10.1017/CBO9780511756375 , ISBN. 978-0-521-83659-3 , МР 2083206
Гросс, Бенедикт Х .; Дон Б. 1986), «Точки Хигнера и производные L-ряда Mathematicae 84 ( ) Загер : ( , , Inventiones 2 » , 225–320 , 1999. S2CID 125716869 .
Гросс, Бенедикт Х .; Конен, Винфрид; Загер, Дон (1987), «Точки Хегнера и производные L-серии. II», Mathematical Annals , 278 (1–4): 497–562, doi : 10.1007/BF01458081 , MR 0909238 , S2CID 121652706 .
Хегнер, Курт (1952), «Диофантовый анализ и модульные функции», Mathematical Journal , 56 (3): 227–253, doi : 10.1007/BF01174749 , MR 0053135 , S2CID 120109035 .
Уоткинс, Марк (2006), Некоторые замечания по точечным вычислениям Хигнера , arXiv : math.NT/0506325v2 .
Браун, Марк (1994), «О гипотезе Тейта для эллиптических поверхностей над конечными полями», Proc. Лондонская математика. Соц. , 69 (3): 489–514, doi : 10.1112/plms/s3-69.3.489 .
Юань, Синьи ; Чжан, Шоу-Ву; Чжан, Вэй (2009), «Теорема Гросса – Конена – Загира для полностью вещественных полей», Compositio Mathematica , 145 (5): 1147–1162, doi : 10.1112/S0010437X08003734 , S2CID 17981061 .
Чжан, Шоу-Ву (2001), «Формула Гросса-Загира для GL2», Asian Journal of Mathematics , 5 (2): 183–290, doi : 10.4310/AJM.2001.v5.n2.a1 .
Чжан, Шоу-Ву (2004), «Формула Гросса – Загира для GL (2) II» , в Дармоне, Анри ; Чжан, Шоу-Ву (ред.), Точки Хегнера и L-серия Рэнкина , Публикации Научно-исследовательского института математических наук , том. 49, Cambridge University Press , стр. 191–214, doi : 10.1017/CBO9780511756375 , ISBN. 978-0-521-83659-3 , МР 2083206 .