Константа распространения

Константа распространения синусоидальной электромагнитной волны является мерой изменения, которому подвергаются амплитуда и фаза волны при ее распространении в заданном направлении. Измеряемой величиной может быть напряжение , ток в цепи или вектор поля, например, напряженность электрического поля или плотность потока . Сама константа распространения измеряет безразмерное изменение величины или фазы на единицу длины . В контексте двухпортовых сетей и их каскадов константа распространения измеряет изменение, которому подвергается исходная величина при ее распространении от одного порта к другому.

Значение константы распространения выражается логарифмически , почти повсеместно по основанию e , а не по основанию 10, которое используется в телекоммуникациях в других ситуациях. Измеряемая величина, например напряжение, выражается в виде синусоидального вектора . Фаза синусоиды меняется с расстоянием, в результате чего константа распространения представляет собой комплексное число , мнимая часть которого обусловлена изменением фазы.

Альтернативные названия

Термин «константа распространения» в некоторой степени неправилен, поскольку он обычно сильно зависит от ω . Вероятно, это наиболее широко используемый термин, но существует множество альтернативных названий, используемых разными авторами для этой величины. К ним относятся параметр передачи , функция передачи , параметр распространения , коэффициент распространения и константа передачи . Если используется множественное число, это предполагает, что α и β упоминаются отдельно, но вместе, как в параметрах передачи , параметрах распространения и т. д. В теории линий передачи α и β считаются одними из «вторичных коэффициентов», термин «вторичный». при этом используется в отличие от коэффициентов основной линии . Первичные коэффициенты — это физические свойства линии, а именно R, C, L и G, из которых вторичные коэффициенты могут быть получены с использованием уравнения телеграфиста . В области линий электропередачи термин « коэффициент передачи» имеет другое значение, несмотря на схожесть названия: он является аналогом термина «коэффициент передачи». коэффициент отражения .

Определение

Постоянная распространения, символ $γ$ , для данной системы определяется отношением комплексной амплитуды в источнике волны к комплексной амплитуде на некотором расстоянии $x$ , таком что,

{\frac {A_{0}}{A_{x}}}=e^{\gamma x}

Обращение приведенного выше уравнения и выделение $γ$ приводит к получению отношения натурального логарифма комплексного отношения амплитуд к пройденному расстоянию $x$ :

\gamma =\ln \left({\frac {A_{0}}{A_{x}}}\right)/x

Поскольку константа распространения является комплексной величиной, мы можем написать:

\gamma =\alpha +i\beta \

где

$α$ , действительная часть, называется константой затухания
$β$ , мнимая часть, называется фазовой постоянной.
$i\equiv j\equiv {\sqrt {-1\ }}\ ;$ чаще $j$ используется для электрических цепей.

То, что $β$ действительно представляет фазу, можно увидеть из формулы Эйлера :

e^{i\theta }=\cos {\theta }+i\sin {\theta }\

которая представляет собой синусоиду, которая меняется по фазе при $изменении θ$ , но не меняется по амплитуде, потому что

\left|e^{i\theta }\right|={\sqrt {\cos ^{2}{\theta }+\sin ^{2}{\theta }\;}}=1

причина использования основания $е$ Теперь также ясна . Мнимая фазовая постоянная $i β$ может быть добавлена непосредственно к константе затухания $α$ , чтобы сформировать одно комплексное число, которое можно обработать с помощью одной математической операции, при условии, что они относятся к одному и тому же основанию. Углы, измеряемые в радианах, требуют основания $e$ , поэтому затухание также выражается в основании $e$ .

Постоянная распространения проводящих линий может быть рассчитана из коэффициентов первичной линии с помощью соотношения

\gamma ={\sqrt {ZY\ }}

где

Z=R+i\ \omega L\ ,

последовательное сопротивление линии на единицу длины и,

Y=G+i\ \omega C\ ,

шунтирующая проводимость линии на единицу длины.

Плоская волна

Коэффициент распространения плоской волны, распространяющейся в линейной среде в $направлении x,$ определяется выражением $P=e^{-\gamma x}$ где

${\textstyle \gamma =\alpha +i\ \beta ={\sqrt {i\ \omega \ \mu \ (\sigma +i\ \omega \varepsilon )\ }}\ }$ ^{[ 1 ]}^: 126
$x=$ расстояние, пройденное в $x$ направлении
$\alpha =\$ константа затухания в единицах неперс /метр
$\beta =\$ фазовая постоянная в радианах / метрах
$\omega =\$ частота в радианах в секунду
$\sigma =\$ проводимость среды
$\varepsilon =\varepsilon '-i\ \varepsilon ''\$ = комплексная диэлектрическая проницаемость среды
$\mu =\mu '-i\ \mu ''\;$ = комплексная проницаемость среды
$i\equiv {\sqrt {-1\ }}$

Соглашение о знаках выбрано для обеспечения совместимости с распространением в средах с потерями. Если константа затухания положительна, то амплитуда волны уменьшается по мере распространения волны в $направлении x$ .

Длина волны , фазовая скорость и глубина скин-слоя имеют простые отношения с компонентами постоянной распространения: $\lambda ={\frac {2\pi }{\beta }}\qquad v_{p}={\frac {\omega }{\beta }}\qquad \delta ={\frac {1}{\alpha }}$

Константа затухания

В телекоммуникациях термин «константа затухания» , также называемый параметром затухания или коэффициентом затухания , представляет собой затухание электромагнитной волны, распространяющейся через среду, на единицу расстояния от источника. Это действительная часть постоянной распространения, измеряемая в неперах на метр. Непер составляет примерно 8,7 дБ . Константу затухания можно определить по отношению амплитуд

\left|{\frac {A_{0}}{A_{x}}}\right|=e^{\alpha x}

Постоянная распространения на единицу длины определяется как натуральный логарифм отношения тока или напряжения на передающем конце к току или напряжению на принимающем конце, деленный на расстояние x :

\alpha =\ln \left(\left|{\frac {A_{0}}{A_{x}}}\right|\right)/x

Проводящие линии

Константу затухания для проводящих линий можно рассчитать на основе коэффициентов первичной линии, как показано выше. Для линии, соответствующей условию отсутствия искажений , с проводимостью G в изоляторе, константа затухания определяется выражением

\alpha ={\sqrt {RG}}\,\!

однако реальная линия вряд ли будет соответствовать этому условию без добавления нагрузочных катушек , и, кроме того, существуют некоторые частотно-зависимые эффекты, действующие на первичные «константы», которые вызывают частотную зависимость потерь. Эти потери состоят из двух основных компонентов: потери металла и диэлектрические потери.

Потери в большинстве линий передачи связаны с потерями металла, которые вызывают частотную зависимость из-за конечной проводимости металлов, а также скин-эффектом внутри проводника. Скин-эффект приводит к тому, что R вдоль проводника приблизительно зависит от частоты согласно

R\propto {\sqrt {\omega }}

Потери в диэлектрике зависят от тангенса потерь (tan δ ) материала, деленного на длину волны сигнала. Таким образом, они прямо пропорциональны частоте.

\alpha _{d}={{\pi }{\sqrt {\varepsilon _{r}}} \over {\lambda }}{\tan \delta }

Оптическое волокно

Константа затухания для конкретной моды распространения в оптическом волокне представляет собой действительную часть осевой постоянной распространения.

Фазовая постоянная

В теории электромагнетизма фазовая константа , также называемая константой изменения фазы , параметром или коэффициентом, является мнимой составляющей постоянной распространения плоской волны. Он представляет собой изменение фазы на единицу длины на пути, пройденном волной в любой момент времени, и равен действительной части углового волнового числа волны. Он обозначается символом β и измеряется в радианах на единицу длины.

Из определения (углового) волнового числа поперечных электромагнитных (ТЕМ) волн в средах без потерь:

k={\frac {2\pi }{\lambda }}=\beta

Для линии передачи говорят уравнения телеграфиста нам, что волновое число должно быть пропорционально частоте, чтобы передача волны была неискаженной во временной области . Это включает, помимо прочего, идеальный случай линии без потерь. Причину этого условия можно понять, если принять во внимание, что полезный сигнал состоит из множества длин волн различной длины в частотной области. Чтобы не было искажения формы волны , все эти волны должны двигаться с одинаковой скоростью, чтобы они достигли дальнего конца линии одновременно как группа . волны Поскольку фазовая скорость определяется выражением

v_{p}={\frac {\lambda }{T}}={\frac {f}{\tilde {\nu }}}={\frac {\omega }{\beta }},

доказано, что β должна быть пропорциональна ω . С точки зрения первичных коэффициентов линии это дает из уравнения телеграфиста для линии без искажений условие

\beta =\omega {\sqrt {LC}},

где L и C — соответственно индуктивность и емкость на единицу длины линии. Однако можно ожидать, что практические линии будут соответствовать этому условию лишь приблизительно в ограниченном диапазоне частот.

В частности, фазовая константа $\beta$ не всегда эквивалентно волновому числу $k$ . Отношение

\beta =k

относится к ТЕМ-волне, которая распространяется в свободном пространстве, или к ТЕМ-устройствам, таким как коаксиальный кабель и два параллельных провода линии передачи . Тем не менее, это не относится к волне TE (поперечная электрическая волна) и волне TM (поперечная магнитная волна). Например, ^{[ 2 ]} в полом волноводе , где волна TEM не может существовать, но могут распространяться волны TE и TM,

k={\frac {\omega }{c}}

\beta =k{\sqrt {1-{\frac {\omega _{c}^{2}}{\omega ^{2}}}}}

Здесь $\omega _{c}$ это частота среза . В прямоугольном волноводе частота среза равна

\omega _{c}=c{\sqrt {\left({\frac {n\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}\right)^{2}}},

где $m,n\geq 0$ — номера мод для сторон прямоугольника длиной $a$ и $b$ соответственно. Для режимов TE $m,n\geq 0$ (но $m=n=0$ не допускается), а для режимов ТМ $m,n\geq 1$ .

Фазовая скорость равна

v_{p}={\frac {\omega }{\beta }}={\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {\omega _{\mathrm {c} }^{2}}{\omega ^{2}}}}}}>c

Фильтры и двухпортовые сети

Термин «константа распространения» или «функция распространения» применяется к фильтрам и другим двухпортовым схемам, используемым для обработки сигналов . Однако в этих случаях коэффициенты затухания и фазы выражаются в неперах и радианах на участок сети, а не на единицу длины. Некоторые авторы ^{[ 3 ]} делайте различие между мерами на единицу длины (для которых используется «постоянная») и мерами на секцию (для которых используется «функция»).

Постоянная распространения — полезная концепция при проектировании фильтров, которые неизменно используют топологию каскадных секций . В каскадной топологии константа распространения, константа затухания и фазовая постоянная отдельных секций могут быть просто добавлены, чтобы найти общую константу распространения и т. д.

Каскадные сети

Отношение выходного напряжения к входному для каждой сети определяется выражением ^{[ 4 ]}

{\frac {V_{1}}{V_{2}}}={\sqrt {\frac {Z_{I1}}{Z_{I2}}}}e^{\gamma _{1}}

{\frac {V_{2}}{V_{3}}}={\sqrt {\frac {Z_{I2}}{Z_{I3}}}}e^{\gamma _{2}}

{\frac {V_{3}}{V_{4}}}={\sqrt {\frac {Z_{I3}}{Z_{I4}}}}e^{\gamma _{3}}

Условия ${\sqrt {\frac {Z_{In}}{Z_{Im}}}}$ являются условиями масштабирования импеданса ^{[ 5 ]} и их использование объясняется в статье об импедансе изображения .

Общий коэффициент напряжения определяется выражением

{\frac {V_{1}}{V_{4}}}={\frac {V_{1}}{V_{2}}}\cdot {\frac {V_{2}}{V_{3}}}\cdot {\frac {V_{3}}{V_{4}}}={\sqrt {\frac {Z_{I1}}{Z_{I4}}}}e^{\gamma _{1}+\gamma _{2}+\gamma _{3}}

Таким образом, для n каскадных секций, имеющих одинаковые импедансы, обращенных друг к другу, общая константа распространения определяется выражением

\gamma _{\mathrm {total} }=\gamma _{1}+\gamma _{2}+\gamma _{3}+\cdots +\gamma _{n}

См. также

Понятие глубины проникновения — один из многих способов описания поглощения электромагнитных волн. Остальные и их взаимосвязи см. в статье: Математические описания непрозрачности .

Скорость распространения

Примечания

^ Джордон, Эдвард С.; Балман, Кейт Г. (1968). Электромагнитные волны и излучающие системы (2-е изд.). Прентис-Холл.
^ Позар, Дэвид (2012). Микроволновая техника (4-е изд.). Джон Уайли и сыновья. стр. 62–164. ISBN 978-0-470-63155-3 .
^ Мэтью и др., стр. 49.
^ Мэтью и др., стр. 51-52.
^ Мэтью и др., стр. 37-38.

Ссылки

В этой статье использованы общедоступные материалы из Федеральный стандарт 1037C . Управление общего обслуживания . Архивировано из оригинала 22 января 2022 г. .
Маттеи, Янг, Джонс. Микроволновые фильтры, схемы согласования импедансов и структуры связи. МакГроу-Хилл, 1964.

Внешние ссылки

«Константа распространения» . Микроволновая энциклопедия. 2011. Архивировано из оригинала (онлайн) 14 июля 2014 года . Проверено 2 февраля 2011 г.
Пашотта, доктор Рюдигер (2011). «Константа распространения» (Онлайн) . Энциклопедия лазерной физики и техники . Проверено 2 февраля 2011 г.
Янезич, Майкл Д.; Джеффри А. Жаргон (февраль 1999 г.). «Определение комплексной диэлектрической проницаемости на основе измерений постоянной распространения» (PDF) . IEEE СВЧ и направляющие волны . 9 (2): 76–78. дои : 10.1109/75.755052 . Проверено 2 февраля 2011 г. Доступна бесплатная загрузка PDF. Есть обновленная версия от 6 августа 2002 года.

[Jordon&Balman-1] Джордон, Эдвард С.; Балман, Кейт Г. (1968). Электромагнитные волны и излучающие системы (2-е изд.). Прентис-Холл.

[2] Позар, Дэвид (2012). Микроволновая техника (4-е изд.). Джон Уайли и сыновья. стр. 62–164. ISBN 978-0-470-63155-3 .

[3] Мэтью и др., стр. 49.

[4] Мэтью и др., стр. 51-52.

[5] Мэтью и др., стр. 37-38.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]