Набор уникальности

В математике набор уникальности — это концепция, относящаяся к тригонометрическим разложениям, которые не обязательно являются рядами Фурье . Их исследование представляет собой сравнительно чистую ветвь гармонического анализа .

Определение

Подмножество E окружности называется множеством единственности , или U- множеством , если любое тригонометрическое разложение

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }c(n)e^{int}$

который сходится к нулю при $t\notin E$тождественно равен нулю; то есть такой, что

c ( п ) знак равно 0 для всех п .

В противном случае E — множество кратности (иногда называемое M -множеством или множеством Меньшова ). Аналогичные определения применимы и к реальной прямой , и к более высоким измерениям. В последнем случае необходимо указать порядок суммирования, например «набор единственности по суммированию по шарам».

Чтобы понять важность определения, важно выйти из Фурье образа мышления . В анализе Фурье не возникает вопроса об однозначности, поскольку коэффициенты c ( n ) получаются путем интегрирования функции. Следовательно, в анализе Фурье порядок действий таков:

• Начните с функции f .
• Рассчитайте коэффициенты Фурье, используя

$c(n)=\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-int}\,dt$

• Спросите: сходится ли сумма к f ? В каком смысле?

В теории единственности порядок иной:

• Начнём с некоторых коэффициентов c ( n ), для которых сумма в некотором смысле сходится.
• Спросите: означает ли это, что они являются коэффициентами Фурье функции?

В действительности, обычно достаточно интересно (как в приведенном выше определении) предположить, что сумма сходится к нулю, и спросить, означает ли это, что все c ( n ) должны быть равны нулю. Как обычно в анализе , наиболее интересные вопросы возникают при обсуждении поточечной сходимости . Отсюда и приведенное выше определение, которое возникло, когда стало ясно, что ни сходимость везде , ни сходимость почти всюду не дают удовлетворительного ответа.

Ранние

Пустое множество — это множество уникальности. Это просто означает, что если тригонометрический ряд всюду сходится к нулю , то он тривиален. Это было доказано Риманом , используя тонкую технику двойного формального интегрирования; и показать, что полученная сумма имеет некоторую обобщенную вторую производную, используя операторы Теплица . Позже Георг Кантор обобщил методы Римана, чтобы показать, что любое счетное замкнутое множество является множеством уникальности, и это открытие привело его к развитию теории множеств . Пол Коэн , еще один новатор в теории множеств, начал свою карьеру с диссертации о множествах уникальности.

По мере развития теории интегрирования Лебега предполагалось, что любой набор нулевой меры будет набором уникальности - в одном измерении принцип локальности для рядов Фурье показывает, что любой набор положительной меры является набором множественности (в более высоких измерениях это пока вопрос открытый). Это было опровергнуто Дмитрием Евгеньевичем Меньшовым , который в 1916 году построил пример множества кратности, имеющего нулевую меру.

Трансформации

Трансляция расширение и множества уникальности — это множество уникальности. Объединение счетного семейства замкнутых множеств единственности есть множество единственности. Существует пример двух множеств уникальности, объединение которых не является множеством уникальности, но множества в этом примере не являются борелевскими . Вопрос о том, является ли объединение любых двух борелевских множеств единственности множеством единственности, остается открытым.

Сингулярные распределения

Замкнутое множество является множеством уникальности тогда и только тогда, когда существует распределение S, поддерживаемое на этом множестве (поэтому, в частности, оно должно быть сингулярным) такое, что

$\lim _{n\to \infty }{\widehat {S}}(n)=0$

( ${\hat {S}}(n)$вот коэффициенты Фурье). Во всех ранних примерах наборов уникальности рассматриваемое распределение фактически было мерой. Однако в 1954 году Илья Пятецкий-Шапиро построил пример множества единственности, не поддерживающего никакой меры с коэффициентами Фурье, стремящимися к нулю. Другими словами, необходимо обобщение распределения.

Сложность конструкции

Первые доказательства того, что множества уникальности имеют сложную структуру, были получены в результате изучения канторовских множеств . Рафаэль Салем и Зигмунд показали, что канторово-подобное множество с коэффициентом рассечения ξ является множеством уникальности тогда и только тогда, когда 1/ξ — число Писо , то есть целое алгебраическое число со свойством, что все его сопряженные (если таковые имеются) меньше чем 1. Это была первая демонстрация того, что свойство уникальности множества связано с арифметическими свойствами, а не просто с каким-то понятием размера ( Нина Бари доказала случай ξ рационального - множество, подобное Кантору, представляет собой множество уникальности тогда и только тогда, когда 1/ξ — целое число (несколько лет назад).

С 50-х годов , большая работа была проделана для формализации этой сложности. Семейство множеств единственности, рассматриваемое как множество внутри пространства компактов (см. расстояние Хаусдорфа ), располагалось внутри аналитической иерархии . Решающую роль в этом исследовании играет индекс множества, который представляет собой порядковый номер между 1 и ω ₁ , впервые определенный Пятецким-Шапиро. В настоящее время исследование множеств уникальности является таким же разделом дескриптивной теории множеств, как и гармонического анализа.

Ссылки

• Пол Дж. Коэн (1958), Вопросы теории уникальности тригонометрических рядов
• Александр С. Кекрис и Ален Луво (1987), Описательная теория множеств и структура множеств уникальности (серия 128 лекций Лондонского математического общества), Cambridge University Press. ISBN   0-521-35811-6 .
• Жан-Пьер Кахан и Рафаэль Салем (1994), Совершенные множества и тригонометрические ряды , Герман, Париж. ISBN   2-7056-6193-X (на французском языке).