Деление на бесконечность

В математике , деление на бесконечность — это деление при котором делитель (знаменатель) равен ∞ . В обычной арифметике это не имеет четко определенного значения, поскольку ∞ — математическое понятие, не соответствующее конкретному числу, и более того, не существует ненулевого действительного числа, которое при добавлении к самому себе бесконечное число раз дает конечное число. Однако «делению на ∞» можно придать значение как неформальный способ выражения предела деления числа на все большие и большие делители. ^[1]^{: 201–204}

Используя математические структуры, выходящие за рамки действительных чисел , можно определить числа, имеющие бесконечную величину , но которыми при этом можно манипулировать так же, как и в обычной арифметике. Например, на расширенной линии действительных чисел деление любого действительного числа на бесконечность дает ноль: ^[2] в то время как в сюрреалистической системе счисления деление 1 на бесконечное число $\omega$ дает бесконечно малое число $\epsilon$ . ^[3]^[4]^: 12 В арифметике с плавающей запятой любое конечное число, разделенное на $\pm \infty$ равен положительному или отрицательному нулю, если числитель конечен. В противном случае результатом будет NaN .

Проблемы, связанные с определением строгого значения понятия «деление на бесконечность», аналогичны проблемам с определением деления на ноль .

Использование в технике

Поскольку большинству калькуляторов и компьютеров трудно справиться с бесконечностью, у многих нет формального способа вычисления деления на бесконечность. ^[5]^[6] Калькуляторы, такие как TI-84 , и большинство бытовых калькуляторов не имеют кнопки бесконечности, поэтому невозможно ввести в калькулятор « x, разделенный на бесконечность», поэтому вместо этого пользователи могут вводить большое число, например «1e99» ( $1\times 10^{99}$ ) или «-1e99». При вводе некоторого числа, разделенного на достаточно большое число, на выходе будет 0. В некоторых случаях это не удается, поскольку возникает либо ошибка переполнения, либо если числитель также является достаточно большим числом, то на выходе может быть 1 или действительное число. В языке Wolfram деление целого числа на бесконечность приведет к результату 0. ^[7] Кроме того, в некоторых калькуляторах, таких как TI-Nspire , 1, разделенная на бесконечность, может быть оценена как 0.

Использование в исчислении

Интеграция

В исчислении взятие интеграла от функции определяется нахождением площади под кривой. Это можно сделать, просто разбив эту область на прямоугольные секции и взяв сумму этих секций. Они называются суммами Римана . По мере того как сечения становятся уже, сумма Римана становится все более точным приближением к истинной площади. Взятие предела этих сумм Римана, в котором сечения можно эвристически рассматривать как «бесконечно тонкие», дает определенный интеграл функции на заданном интервале. Концептуально это приводит к делению интервала на бесконечность, в результате чего получаются бесконечно маленькие кусочки. ^[1]^{: 255–259}

С другой стороны, когда берут интеграл, одна из границ которого равна бесконечности, это определяется как несобственный интеграл . ^[8] Чтобы определить это, нужно принять предел как переменную, приближающуюся к бесконечности, заменив знак бесконечности на in. Затем это позволит вычислить интеграл и затем принять предел. Во многих случаях оценка этого приведет к тому, что член будет разделен на бесконечность. В этом случае для вычисления интеграла можно было бы предположить, что он равен нулю. Это позволяет предположить, что интеграл сходится, что означает, что конечный ответ может быть определен из интеграла с использованием этого предположения. ^[8]

Правило больницы

Если задано соотношение между двумя функциями, предел этого отношения можно оценить, вычислив предел каждой функции отдельно. Если предел функции в знаменателе равен бесконечности, а числитель не позволяет точно определить отношение, говорят, что предел отношения имеет неопределенную форму. ^[9] Примером этого является:

{\frac {\infty }{\infty }}

Использование правила Лопиталя для оценки пределов дробей, у которых знаменатель стремится к бесконечности, может дать результаты, отличные от 0.

Если

\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}

затем

\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}

Итак, если

\lim _{x\to c}|f(x)|=\lim _{x\to c}|g(x)|=\infty ,

затем

\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L

^[10]

Это означает, что при использовании пределов для придания смысла делению на бесконечность результат «деления на бесконечность» не всегда равен 0.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Ченг, Евгения (2018). За пределами бесконечности: Экспедиция к внешним пределам математики . Основные книги. ISBN 9781541644137 . OCLC 1003309980 .
^ Хансен, Элдон Р.; Уолстер, Дж. Уильям (2004). Глобальная оптимизация с использованием интервального анализа (2-е изд.). Нью-Йорк: Марсель Деккер. п. 57. ИСБН 0-8247-5870-6 . OCLC 55013079 .
^ Кнут, Дональд Эрвин (1974). Сюрреалистические числа: Как два бывших студента обратились к чистой математике и обрели полное счастье . Бостон, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. п. 109. ИСБН 978-0-201-03812-5 . OCLC 1194979 .
^ Конвей, Джон Х. (2001). О числах и играх (2-е изд.). АК Петерс. ISBN 1-56881-127-6 .
^ Чжан, Инь (1998). «Решение крупномасштабных линейных программ методами внутренних точек в среде Matlab ∗ Environment †» . Методы оптимизации и программное обеспечение . 10 (1): 1–31. дои : 10.1080/10556789808805699 . ISSN 1055-6788 .
^ Маниатакос, М.; Кудва, П.; Флейшер, Б.М.; Макрис, Ю. (2013). «Бюджетное параллельное обнаружение ошибок для контроллеров с плавающей запятой (FPU)» . Транзакции IEEE на компьютерах . 62 (7): 1376–1388. дои : 10.1109/TC.2012.81 . ISSN 0018-9340 . S2CID 1300358 .
^ «Wolfram|Alpha: Сделать мировые знания вычислимыми» . www.wolframalpha.com . Проверено 30 октября 2018 г.
^ Jump up to: ^а ^б Введение в несобственные интегралы , получено 30 октября 2018 г.
^ Менц, Петра; Малберри, Никола (13 июля 2020 г.). «Неопределенная форма и правило Лопиталя» . Ранние трансцендентальные исчисления: дифференциальное исчисление и исчисление с несколькими переменными для социальных наук . Университет Саймона Фрейзера . Проверено 10 августа 2022 г.
^ «IMOMath: Теорема Лопиталя» . www.imomath.com . Проверено 29 ноября 2018 г.

Внешние ссылки

Как делить на ноль Билл Шиллито

[:1-1] Jump up to: ^а ^б Ченг, Евгения (2018). За пределами бесконечности: Экспедиция к внешним пределам математики . Основные книги. ISBN 9781541644137 . OCLC 1003309980 .

[2] Хансен, Элдон Р.; Уолстер, Дж. Уильям (2004). Глобальная оптимизация с использованием интервального анализа (2-е изд.). Нью-Йорк: Марсель Деккер. п. 57. ИСБН 0-8247-5870-6 . OCLC 55013079 .

[3] Кнут, Дональд Эрвин (1974). Сюрреалистические числа: Как два бывших студента обратились к чистой математике и обрели полное счастье . Бостон, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. п. 109. ИСБН 978-0-201-03812-5 . OCLC 1194979 .

[4] Конвей, Джон Х. (2001). О числах и играх (2-е изд.). АК Петерс. ISBN 1-56881-127-6 .

[5] Чжан, Инь (1998). «Решение крупномасштабных линейных программ методами внутренних точек в среде Matlab ∗ Environment †» . Методы оптимизации и программное обеспечение . 10 (1): 1–31. дои : 10.1080/10556789808805699 . ISSN 1055-6788 .

[6] Маниатакос, М.; Кудва, П.; Флейшер, Б.М.; Макрис, Ю. (2013). «Бюджетное параллельное обнаружение ошибок для контроллеров с плавающей запятой (FPU)» . Транзакции IEEE на компьютерах . 62 (7): 1376–1388. дои : 10.1109/TC.2012.81 . ISSN 0018-9340 . S2CID 1300358 .

[7] «Wolfram|Alpha: Сделать мировые знания вычислимыми» . www.wolframalpha.com . Проверено 30 октября 2018 г.

[:0-8] Jump up to: ^а ^б Введение в несобственные интегралы , получено 30 октября 2018 г.

[9] Менц, Петра; Малберри, Никола (13 июля 2020 г.). «Неопределенная форма и правило Лопиталя» . Ранние трансцендентальные исчисления: дифференциальное исчисление и исчисление с несколькими переменными для социальных наук . Университет Саймона Фрейзера . Проверено 10 августа 2022 г.

[10] «IMOMath: Теорема Лопиталя» . www.imomath.com . Проверено 29 ноября 2018 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]