Индексированное семейство

Не путать с «Семейством наборов» .

В математике семейство — или индексированное семейство это неформально совокупность объектов, каждый из которых связан с индексом из некоторого набора индексов . Например, семейство действительных чисел , индексированное набором целых чисел , представляет собой набор действительных чисел, где заданная функция выбирает одно вещественное число для каждого целого числа (возможно, одного и того же) в качестве индексации.

Более формально, индексированное семейство — это математическая функция вместе со своей областью определения. $I$ и изображение $X$ (то есть индексированные семейства и математические функции технически идентичны, просто точки зрения разные). Часто элементы множества $X$ называются составляющими семью. С этой точки зрения индексированные семейства интерпретируются как коллекции индексированных элементов, а не как функции. Набор $I$ называется индексным набором семейства, а $X$ это индексированный набор .

Последовательности — это один из типов семейств, индексируемых натуральными числами . В общем, индексный набор $I$ не ограничивается счетностью . Например, можно рассмотреть несчетное семейство подмножеств натуральных чисел, индексированных действительными числами.

Формальное определение

Позволять $I$ и $X$ быть наборами и $f$ функция что такая, $${\begin{aligned}f~:~&I\to X\\&i\mapsto x_{i}=f(i),\end{aligned}}$$где $i$ является элементом $I$ и изображение $f(i)$ из $i$ под функцией $f$ обозначается $x_{i}$. Например, $f(3)$ обозначается $x_{3}.$ Символ $x_{i}$ используется, чтобы указать, что $x_{i}$ является элементом $X$ индексируется $i\in I.$ Функция $f$ таким образом устанавливается семейство элементов в $X$ индексируется $I,$ который обозначается $\left(x_{i}\right)_{i\in I},$ или просто $\left(x_{i}\right)$ если предполагается, что набор индексов известен. Иногда вместо круглых скобок используются угловые или фигурные скобки, хотя использование фигурных скобок может привести к путанице индексированных семейств с множествами.

Функции и индексированные семейства формально эквивалентны, поскольку любая функция $f$ с доменом $I$ создает семью $(f(i))_{i\in I}$ и наоборот. Быть элементом семейства эквивалентно нахождению в области действия соответствующей функции. Однако на практике семья рассматривается как совокупность, а не функция.

Любой набор $X$ рождает семью $\left(x_{x}\right)_{x\in X},$ где $X$ индексируется сам по себе (это означает, что $f$ – тождественная функция). Однако семейства отличаются от наборов тем, что один и тот же объект может появляться в семействе несколько раз с разными индексами, тогда как набор представляет собой коллекцию различных объектов. Семейство содержит любой элемент ровно один раз тогда и только тогда, когда соответствующая функция инъективна .

Индексированное семейство $\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ определяет набор ${\mathcal {X}}=\{x_{i}:i\in I\},$ то есть образ $I$ под $f.$ Поскольку отображение $f$ не обязательно должен быть инъективным , могут существовать $i,j\in I$ с $i\neq j$ такой, что $x_{i}=x_{j}.$ Таким образом, $|{\mathcal {X}}|\leq |I|$, где $|A|$ обозначает мощность множества $A.$ Например, последовательность $\left((-1)^{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$ индексируется натуральными числами $\mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \}$ есть набор изображений $\left\{(-1)^{i}:i\in \mathbb {N} \right\}=\{-1,1\}.$ Кроме того, набор $\{x_{i}:i\in I\}$ не несет информации о каких-либо структурах на $I.$ Следовательно, при использовании набора вместо семейства некоторая информация может быть потеряна. Например, упорядочение набора индексов семейства приводит к упорядочению семейства, но не упорядочению соответствующего набора изображений.

Индексированное подсемейство

Индексированное семейство $\left(B_{i}\right)_{i\in J}$ является подсемейством индексированного семейства $\left(A_{i}\right)_{i\in I},$ тогда и только тогда, когда $J$ является подмножеством $I$ и $B_{i}=A_{i}$ держится для всех $i\in J.$

Примеры

Индексированные векторы

Например, рассмотрим следующее предложение:

Векторы $v_{1},\ldots ,v_{n}$ независимы линейно .

Здесь $\left(v_{i}\right)_{i\in \{1,\ldots ,n\}}$ обозначает семейство векторов. $i$-й вектор $v_{i}$ имеет смысл только в отношении этого семейства, поскольку множества неупорядочены, поэтому нет $i$-й вектор множества. Более того, линейная независимость определяется как свойство коллекции; поэтому важно, являются ли эти векторы линейно независимыми как набор или как семейство. Например, если мы рассмотрим $n=2$ и $v_{1}=v_{2}=(1,0)$ как один и тот же вектор, то множество их состоит всего из одного элемента (поскольку множество представляет собой совокупность неупорядоченных различных элементов) и линейно независимо, но семейство содержит один и тот же элемент дважды (поскольку индексируется по-разному) и линейно зависимо ( одни и те же векторы линейно зависимы).

Матрицы

Предположим, в тексте говорится следующее:

Квадратная матрица $A$ обратима тогда и только тогда, когда строки $A$ линейно независимы.

Как и в предыдущем примере, важно, чтобы строки $A$ линейно независимы как семейство, а не как множество. Например, рассмотрим матрицу $$A={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}.$$Набор элемента строк состоит из одного $(1,1)$ поскольку набор состоит из уникальных элементов, поэтому он линейно независим, но матрица не обратима, поскольку определитель матрицы равен 0. С другой стороны, семейство строк содержит два элемента, индексированных по-разному, например, 1-я строка. $(1,1)$ и 2-й ряд $(1,1)$ поэтому он линейно зависим. Следовательно, утверждение верно, если оно относится к семейству строк, но неверно, если оно относится к множеству строк. (Утверждение также верно, когда «строки» интерпретируются как относящиеся к мультимножеству , в котором элементы также сохраняются отдельными, но в котором отсутствует некоторая структура индексированного семейства.)

Другие примеры

Позволять $\mathbf {n}$ быть конечным множеством $\{1,2,\ldots n\},$ где $n$ является положительным целым числом .

• Упорядоченная пара (2- кортеж ) — это семейство, индексированное набором из двух элементов: $\mathbf {2} =\{1,2\};$ каждый элемент упорядоченной пары индексируется каждым элементом набора $\mathbf {2} .$
• Ан $n$-tuple — это семейство, индексированное набором $\mathbf {n} .$
• Бесконечная последовательность — это семейство, индексированное натуральными числами .
• Список – это $n$-кортеж для неопределенного $n,$ или бесконечная последовательность.
• Ан $n\times m$ матрица представляет собой семейство, индексированное декартовым произведением $\mathbf {n} \times \mathbf {m}$ какие элементы являются упорядоченными парами; например, $(2,5)$ индексирование элемента матрицы во 2-й строке и 5-м столбце.
• Сеть направленным — это семейство, индексированное множеством .

Операции с индексированными семействами

Наборы индексов часто используются в суммах и других подобных операциях. Например, если $\left(a_{i}\right)_{i\in I}$ представляет собой индексированное семейство чисел, сумма всех этих чисел обозначается через $$\sum _{i\in I}a_{i}.$$

Когда $\left(A_{i}\right)_{i\in I}$ является семейством множеств , объединение всех этих множеств обозначается через $$\bigcup _{i\in I}A_{i}.$$

То же самое касается пересечений и декартовых произведений .

Использование в теории категорий

Основная статья: Диаграмма (теория категорий)

Аналогичное понятие в теории категорий называется диаграммой . Диаграмма — это функтор, порождающий индексированное семейство объектов в категории C , индексированное другой категорией J и связанное морфизмами, зависящими от двух индексов.

См. также

• Тип данных массива — тип данных, представляющий упорядоченный набор элементов (значений или переменных). Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Копродукт – теоретико-категорное построение
• Диаграмма (теория категорий) - индексированный набор объектов и морфизмов в категории.
• Непересекающееся объединение - в математике операции над множествами.
• Семейство наборов – любая коллекция наборов или подмножеств набора.
• Обозначение индекса - способ обращения к элементам массивов или тензоров.
• Сеть (математика) - обобщение последовательности точек.
• Параметрическое семейство – семейство объектов, определения которых зависят от набора параметров. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Последовательность — конечный или бесконечный упорядоченный список элементов.
• Теговое объединение — структура данных, используемая для хранения значения, которое может принимать несколько разных, но фиксированных типов.

Ссылки

• Математическое общество Японии , Энциклопедический математический словарь , 2-е издание, 2 тома, Киёси Ито (редактор), MIT Press, Кембридж, Массачусетс, 1993. Цитируется как EDM (том).