Оператор сжатия

В квантовой физике оператор сжатия для одной моды электромагнитного поля имеет вид

${\hat {S}}(z)=\exp \left({1 \over 2}(z^{*}{\hat {a}}^{2}-z{\hat {a}}^{\dagger 2})\right),\qquad z=r\,e^{i\theta }$

где операторы внутри экспоненты являются операторами лестницы . Это унитарный оператор и поэтому подчиняется $S(\zeta )S^{\dagger }(\zeta )=S^{\dagger }(\zeta )S(\zeta )={\hat {1}}$, где ${\hat {1}}$ является идентификационным оператором.

Его действие на операторы уничтожения и создания дает

${\hat {S}}^{\dagger }(z){\hat {a}}{\hat {S}}(z)={\hat {a}}\cosh r-e^{i\theta }{\hat {a}}^{\dagger }\sinh r\qquad {\text{and}}\qquad {\hat {S}}^{\dagger }(z){\hat {a}}^{\dagger }{\hat {S}}(z)={\hat {a}}^{\dagger }\cosh r-e^{-i\theta }{\hat {a}}\sinh r$

Оператор сжатия широко распространен в квантовой оптике и может работать в любом состоянии. Например, воздействуя на вакуум, оператор сжатия создает состояние сжатого вакуума.

Оператор сжатия также может воздействовать на когерентные состояния и создавать сжатые когерентные состояния . Оператор сжатия не коммутирует с оператором смещения :

${\hat {S}}(z){\hat {D}}(\alpha )\neq {\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(z),$

он также не взаимодействует с операторами лестниц, поэтому необходимо уделять пристальное внимание тому, как используются операторы. Однако существует простое соотношение сплетения: ${\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(z)={\hat {S}}(z){\hat {S}}^{\dagger }(z){\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(z)={\hat {S}}(z){\hat {D}}(\gamma ),\qquad {\text{where}}\qquad \gamma =\alpha \cosh r+\alpha ^{*}e^{i\theta }\sinh r$

Применение обоих приведенных выше операторов к вакууму приводит к смещению сжатого состояния :

${\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(r)|0\rangle =|r,\alpha \rangle$.

Или сжатое когерентное состояние :

${\hat {S}}(r){\hat {D}}(\alpha )|0\rangle =|\alpha ,r\rangle$.

Вывод действия по созданию оператора

Как уже говорилось выше, действие оператора сжатия $S(z)$ об операторе уничтожения $a$ можно записать как $$S^{\dagger }(z)aS(z)=\cosh(|z|)a-{\frac {z}{|z|}}\sinh(|z|)a^{\dagger }.$$ Чтобы вывести это равенство, определим (косоэрмитовый) оператор $A\equiv (za^{\dagger 2}-z^{*}a^{2})/2$, так что $S^{\dagger }=e^{A}$.

Таким образом, левая часть равенства равна $e^{A}ae^{-A}$. Теперь мы можем воспользоваться общим равенством $$e^{A}Be^{-A}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}[\underbrace {A,[A,\dots ,[A} _{k\,{\text{times}}},B]\dots ]],$$ что справедливо для любой пары операторов $A$ и $B$. Чтобы вычислить $e^{A}ae^{-A}$ таким образом, сводится к проблеме вычисления повторяющихся коммутаторов между $A$ и $a$. Как можно легко проверить, мы имеем $$[A,a]={\frac {1}{2}}[za^{\dagger 2}-z^{*}a^{2},a]={\frac {z}{2}}[a^{\dagger 2},a]=-za^{\dagger },$$$$[A,a^{\dagger }]={\frac {1}{2}}[za^{\dagger 2}-z^{*}a^{2},a^{\dagger }]=-{\frac {z^{*}}{2}}[a^{2},a^{\dagger }]=-z^{*}a.$$Используя эти равенства, получаем

$[\underbrace {A,[A,\dots ,[A} _{k},a]\dots ]]={\begin{cases}|z|^{k}a,&{\text{ for }}k{\text{ even}},\\-z|z|^{k-1}a^{\dagger },&{\text{ for }}k{\text{ odd}}.\end{cases}}$

так что, наконец, мы получим

$e^{A}ae^{-A}=a\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {|z|^{2k}}{(2k)!}}-a^{\dagger }{\frac {z}{|z|}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {|z|^{2k+1}}{(2k+1)!}}=a\cosh |z|-a^{\dagger }e^{i\theta }\sinh |z|.$

См. также

• Сжатое когерентное состояние