Полициклическая группа

В математике полициклическая группа — это разрешимая группа , которая удовлетворяет условию максимума на подгруппы (то есть каждая подгруппа конечно порождена ). Полициклические группы конечно представлены , что делает их интересными с вычислительной точки зрения.

Терминология

Эквивалентно, группа G является полициклической тогда и только тогда, когда она допускает субнормальный ряд с циклическими факторами, то есть конечное множество подгрупп, скажем, G ₀ , ..., G _n таких, что

G _n совпадает с G
G ₀ — тривиальная подгруппа
Gi _— нормальная подгруппа в Gi _{( +1} для каждого i от 0 до n — 1)
и факторгруппа G _{i +1} / G _i является циклической группой (для каждого i между 0 и n - 1)

Метациклическая группа — это полициклическая группа с n ≤ 2 или, другими словами, расширение циклической группы с помощью циклической группы.

Примеры

Примеры полициклических групп включают конечно порожденные абелевы группы, конечно порожденные нильпотентные группы и конечные разрешимые группы. Анатолий Мальцев доказал, что разрешимые подгруппы целочисленной полной линейной группы полицикличны; а позже Луи Ауслендер (1967) и Свон доказали обратное: любая полициклическая группа с точностью до изоморфизма является группой целочисленных матриц. ^[1] Голоморф полициклической группы также является такой группой целочисленных матриц. ^[2]

Сильно полициклические группы

Полициклическая группа G называется сильно полициклической, если каждый фактор G _{i +1} / G _i бесконечен. Любая подгруппа сильно полициклической группы является сильно полициклической.

Полициклические группы

— Виртуально полициклическая группа это группа, которая имеет полициклическую подгруппу конечного индекса , пример виртуального свойства . Такая группа обязательно имеет нормальную полициклическую подгруппу конечного индекса, поэтому такие группы называют еще полициклическими по конечным группам . Хотя полициклические группы не обязательно должны быть разрешимыми, они все же обладают многими свойствами конечности полициклических групп; например, они удовлетворяют условию максимальности, конечно представимы и аппроксимируемы .

В учебнике ( Scott 1964 , Ch 7.1) и некоторых статьях M-группа относится к тому, что сейчас называется полициклической по конечной группе , что по теореме Хирша также можно выразить как группа, имеющая субнормальный ряд конечной длины, каждый фактор которого является конечной группой или бесконечной циклической группой .

Эти группы особенно интересны, поскольку они являются единственными известными примерами нетеровых групповых колец ( Иванов 1989 ) или групповых колец конечной инъективной размерности. ^{[ нужна ссылка ]}

Длина Хирша

Длина Хирша или число Хирша полициклической группы G — это количество бесконечных множителей в ее субнормальном ряду.

Если G — полициклическая группа, то длина Хирша группы G это длина Хирша полициклической нормальной подгруппы H группы G , где H имеет конечный индекс в G. — Это не зависит от выбора подгруппы, поскольку все такие подгруппы будут иметь одинаковую длину Хирша.

См. также

Ссылки

Ivanov, S. V. (1989), "Group rings of Noetherian groups", Akademiya Nauk SSSR. Matematicheskie Zametki , 46 (6): 61–66, ISSN 0025-567X , MR 1051052
Скотт, WR (1987), Теория групп , Нью-Йорк: Dover Publications , стр. 45–46, ISBN 978-0-486-65377-8

Примечания

^ Dmitriĭ Alekseevich Suprunenko, K. A. Hirsch, Matrix groups (1976), pp. 174–5; Google Books .
^ «Полициклическая группа» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Dmitriĭ Alekseevich Suprunenko, K. A. Hirsch, Matrix groups (1976), pp. 174–5; Google Books .

[2] «Полициклическая группа» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[1]

[2]