Пойнткласс

В математической области описательной теории множеств , класс точек представляет собой совокупность наборов точек под , где точкой обычно понимают элемент некоторого совершенного польского пространства . На практике класс точек обычно характеризуется каким-то свойством определяемости ; например, совокупность всех открытых множеств в некотором фиксированном наборе польских пространств является классом точек. (Открытое множество можно рассматривать как в некотором смысле определяемое, поскольку оно не может быть чисто произвольным набором точек; для любой точки в множестве все точки, достаточно близкие к этой точке, также должны находиться в множестве.)

Точечные классы находят применение при формулировании многих важных принципов и теорем теории множеств и реального анализа . Сильные теоретико-множественные принципы могут быть сформулированы в терминах детерминированности различных точечных классов, что, в свою очередь, подразумевает, что множества в этих точечных классах (или иногда в более крупных) обладают свойствами регулярности, такими как измеримость по Лебегу (и даже универсальная измеримость ), свойство Бэра и свойство совершенного множества .

Базовая структура

На практике сторонники дескриптивной теории множеств часто упрощают дело, работая в фиксированном польском пространстве, таком как пространство Бэра или иногда пространство Кантора , каждое из которых имеет то преимущество, что оно нульмерно и действительно гомеоморфно своим конечным или счетным степеням , так что соображения размерность никогда не возникает. Яннис Мошовакис обеспечивает большую общность, фиксируя раз и навсегда набор основных польских пространств, включая набор всех натуральных чисел, набор всех действительных чисел, пространство Бэра и пространство Кантора, и иным образом позволяя читателю добавлять любой желаемый идеальный польский язык. космос. Затем он определяет пространство продукта как любое конечное декартово произведение этих основных пространств. Тогда, например, класс точек ${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}$ всех открытых множеств означает совокупность всех открытых подмножеств одного из этих пространств продуктов. Такой подход предотвращает ${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}$ быть собственным классом , избегая при этом излишней специфичности в отношении конкретных рассматриваемых польских пространств (учитывая, что основное внимание уделяется тому факту, что ${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}$ представляет собой совокупность открытых множеств, а не самих пространств).

Классы точек, выделенные жирным шрифтом

Классы точек в иерархии Бореля и в более сложной проективной иерархии представлены греческими буквами под- и надстрочным шрифтом, выделенными жирным шрифтом; например, ${\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}$ — точечный класс всех замкнутых множеств , ${\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{0}$ — точечный класс всех множеств F _σ , ${\boldsymbol {\Delta }}_{2}^{0}$ представляет собой совокупность всех множеств, которые одновременно являются F _σ и G _δ , и ${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}$ является точечным классом всех аналитических множеств .

Множества в таких классах точек должны быть «определимыми» только до определенной точки. Например, каждое одноэлементное множество в польском пространстве закрыто и, следовательно, ${\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}$ . Поэтому не может быть, чтобы каждый ${\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}$ множество должно быть «более определимым», чем произвольный элемент польского пространства (скажем, произвольное действительное число или произвольная счетная последовательность натуральных чисел). Однако классы точек, выделенные жирным шрифтом, могут (и на практике обычно так и делают) требовать, чтобы множества в классе были определяемы относительно некоторого действительного числа, принимаемого в качестве оракула . В этом смысле принадлежность к классу точек, выделенному жирным шрифтом, является свойством определимости, даже если это не абсолютная определимость, а только определимость относительно, возможно, неопределимого действительного числа.

Точечные классы, выделенные жирным шрифтом, или, по крайней мере, те, которые обычно считаются, замкнуты с точки зрения сводимости Ваджа ; то есть для данного набора в классе точек его обратный образ относительно непрерывной функции (из пространства произведения в пространство, подмножеством которого является данный набор) также находится в данном классе точек. Таким образом, класс точек, выделенный жирным шрифтом, представляет собой замкнутое вниз объединение степеней Ваджа .

Классы точек Lightface

Борелевская и проективная иерархии имеют аналоги в эффективной дескриптивной теории множеств, в которой свойство определимости больше не релятивизируется по отношению к оракулу, а становится абсолютным. Например, если зафиксировать некоторый набор базисных открытых окрестностей (скажем, в пространстве Бэра набор множеств вида { x ∈ω ^ой $\mid$ s — начальный сегмент x } для каждой фиксированной конечной последовательности s натуральных чисел), то открытый, или ${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}$ множества можно охарактеризовать как все (произвольные) объединения основных открытых окрестностей. Аналогичный $\Sigma _{1}^{0}$ комплекты, со светлым лицом $\Sigma$ , уже не являются произвольными объединениями таких окрестностей, а являются вычислимыми их объединениями. То есть набор лайтфейс $\Sigma _{1}^{0}$ , также называемый эффективно открытым , если существует вычислимое множество S конечных последовательностей натуральных чисел такое, что данное множество является объединением множеств { x ∈ω ^ой $\mid$ s — начальный сегмент x } для s в S .

Комплект светлолицый $\Pi _{1}^{0}$ если оно является дополнением $\Sigma _{1}^{0}$ набор. Таким образом, каждый $\Sigma _{1}^{0}$ set имеет хотя бы один индекс , который описывает вычислимую функцию, перечисляющую основные открытые множества, из которых он состоит; на самом деле таких индексов будет бесконечно много. Аналогично, индекс для $\Pi _{1}^{0}$ set B описывает вычислимую функцию, перечисляющую основные открытые множества в дополнении B .

Набор A является светлым. $\Sigma _{2}^{0}$ если это объединение вычислимой последовательности $\Pi _{1}^{0}$ множеств (т.е. существует вычислимое перечисление индексов $\Pi _{1}^{0}$ множества такие, что A является объединением этих множеств). Эта связь между наборами световых граней и их индексами используется для расширения борелевской иерархии световых граней до трансфинита посредством рекурсивных порядковых номеров . Это создает гиперарифметическую иерархию , которая является облегченным аналогом иерархии Бореля. (Конечные уровни гиперарифметической иерархии известны как арифметическая иерархия .)

Аналогичный подход можно применить и к проективной иерархии. Его аналог светового лица известен как аналитическая иерархия .

Краткое содержание

Каждый класс по крайней мере такой же большой, как и классы над ним.

Светлое лицо		Жирный шрифт
С ⁰ ₀ = П ⁰ ₀ = Д ⁰ ₀ (иногда то же, что ∆ ⁰ ₁)		С ⁰ ₀ = П ⁰ ₀ = Д ⁰ ₀ (если определено)
Д ⁰ ₁ = рекурсивный		Д ⁰ ₁ = закрыто открыто
С ⁰ ₁ = рекурсивно перечисляемый	П ⁰ ₁ = ко-рекурсивно перечисляемый	С ⁰ ₁ = G = открыто	П ⁰ ₁ = F = закрыто
Д ⁰ ₂		Д ⁰ ₂
С ⁰ ₂	П ⁰ ₂	С ⁰ ₂ = Ф _п	П ⁰ ₂ = г _δ
Д ⁰ ₃		Д ⁰ ₃
С ⁰ ₃	П ⁰ ₃	С ⁰ ₃ = г _дс	П ⁰ ₃ = Ф _сд
⋮		⋮
С ⁰ _<ω = Р ⁰ _<ω = D ⁰ _<ω = S ¹ ₀ = П ¹ ₀ = Д ¹ ₀ = арифметический		С ⁰ _<ω = Р ⁰ _<ω = D ⁰ _<ω = S ¹ ₀ = П ¹ ₀ = Д ¹ ₀ = жирный арифметический шрифт
⋮		⋮
Д ⁰ _а ( рекурсивный )		Д ⁰ _а ( счетное число )
С ⁰ _а	П ⁰ _а	С ⁰ _а	П ⁰ _а
⋮		⋮
С ⁰ _{ой ^СК ₁} = П ⁰ _{ой ^СК ₁} = Д ⁰ _{ой ^СК ₁} = Д ¹ ₁ = гиперарифметический		С ⁰ _{ω ₁} = Р ⁰ _{ω ₁} = Д ⁰ _{ω ₁} = Д ¹ ₁ = Б = Борель
С ¹ ₁ = аналитика светлого лица	П ¹ ₁ = коаналитик светлой поверхности	С ¹ ₁ = А = аналитический	П ¹ ₁ = СА = коаналитический
Д ¹ ₂		Д ¹ ₂
С ¹ ₂	П ¹ ₂	С ¹ ₂ = PCA	П ¹ ₂ = КПКА
Д ¹ ₃		Д ¹ ₃
С ¹ ₃	П ¹ ₃	С ¹ ₃ = ПКПККА	П ¹ ₃ = CPCPCA
⋮		⋮
С ¹ _<ω = Р ¹ _<ω = D ¹ _<ω = S ² ₀ = П ² ₀ = Д ² ₀ = аналитический		С ¹ _<ω = Р ¹ _<ω = D ¹ _<ω = S ² ₀ = П ² ₀ = Д ² ₀ = P = проективный
⋮		⋮

Ссылки

Мошовакис, Яннис Н. (1980). Описательная теория множеств . Северная Голландия. ISBN 0-444-70199-0 .