Правильная аксиома принуждения

В математической области теории множеств аксиома правильного воздействия ( PFA ) является значительным усилением аксиомы Мартина , где воздействия с условием счетной цепи (ccc) заменяются собственными силами.

Заявление

множество Вынуждающее или частично упорядоченное $P$ правильно , если для всех правильных несчетных кардиналов $\lambda$ форсирование с помощью P сохраняет стационарные подмножества $[\lambda ]^{\omega }$ .

Правильная аксиома форсинга утверждает, что если $P$ является правильным и $D_{\alpha }$ представляет собой плотное подмножество $P$ для каждого $\alpha <\omega _{1}$ , тогда есть фильтр $G\subseteq P$ такой, что $D_{\alpha }\cap G$ непусто для всех $\alpha <\omega _{1}$ .

Класс собственных воздействий, к которым можно применить PFA, достаточно широк. Например, стандартные аргументы показывают, что если $P$ является ccc или ω-замкнутым , то $P$ правильно. Если $P$ является счетной опорной итерацией собственных сил, то $P$ это правильно. Крайне важно, что все надлежащие воздействия сохраняют $\aleph _{1}$ .

Последствия

PFA напрямую подразумевает свою версию для воздействий ccc, аксиому Мартина . В кардинальной арифметике PFA подразумевает $2^{\aleph _{0}}=\aleph _{2}$ . PFA подразумевает любые два $\aleph _{1}$ -плотные подмножества R изоморфны, ^[1] любые два дерева Ароншайна клубно-изоморфны, ^[2] и каждый автоморфизм булевой алгебры $P(\omega ){\text{/fin}}$ тривиально. ^[3] PFA подразумевает, что гипотеза сингулярных кардиналов верна. Особенно примечательным следствием, доказанным Джоном Р. Стилом, является то, что аксиома детерминированности справедлива в L(R) — наименьшей внутренней модели, содержащей действительные числа. Другим последствием является несостоятельность квадратных принципов и, следовательно, существование внутренних моделей со многими кардиналами Вуда .

Прочность консистенции

Если существует суперкомпактный кардинал , то существует модель теории множеств, в которой выполняется PFA. Доказательство использует тот факт, что собственные воздействия сохраняются при счетной опорной итерации, а также тот факт, что если $\kappa$ сверхкомпактна, то существует функция Лавера для $\kappa$ .

Пока точно неизвестно, насколько большая кардинальная сила исходит от PFA, и в настоящее время лучшая нижняя граница немного ниже существования кардинала Вудина, который является пределом кардиналов Вудина.

Другие аксиомы принуждения

Аксиома ограниченного собственного форсинга (BPFA) представляет собой более слабый вариант PFA, который вместо произвольных плотных подмножеств применяется только к максимальным антицепям размера $\omega _{1}$ . Максимум Мартина — это самая сильная из возможных версий аксиомы вынуждения.

Принудительные аксиомы являются жизнеспособными кандидатами на расширение аксиом теории множеств в качестве альтернативы большим кардинальным аксиомам.

Фундаментальная теорема правильного форсинга

Фундаментальная теорема правильного форсинга, предложенная Шелой , утверждает, что любая счетная итерация правильных форсингов сама по себе является правильной. Это следует из леммы о правильной итерации, которая гласит, что всякий раз, когда $(P_{\alpha })_{\alpha \leq \kappa }$ - это счетная итерация, форсирующая поддержку, основанная на $(Q_{\alpha })_{\alpha <\kappa }$ и $N$ является счетной элементарной подструктурой $H_{\lambda }$ для достаточно большого регулярного кардинала $\lambda$ , и $P_{\kappa }\in N$ и $\alpha \in \kappa \cap N$ и $p$ является $(N,P_{\alpha })$ -общий и $p$ силы $q\in P_{\kappa }/G_{P_{\alpha }}\cap N[G_{P_{\alpha }}]$ , то существует $r\in P_{\kappa }$ такой, что $r$ является $N$ -генерические и ограничение $r$ к $P_{\alpha }$ равно $p$ и $p$ вынуждает ограничить $r$ к $[\alpha ,\kappa )$ быть сильнее или равным $q$ .

Эта версия леммы о правильной итерации, в которой имя $q$ не предполагается находиться в $N$ , принадлежит Шлиндвейну. ^[4]

Лемма о правильной итерации доказывается довольно простой индукцией по $\kappa$ , и Фундаментальная теорема о правильном форсинге получается, если взять $\alpha =0$ .

См. также

Ссылки

^ Мур (2011)
^ Абрахам У. и Шела С., Типы изоморфизма деревьев Ароншайна (1985) Израильский математический журнал (50) 75-113
^ Мур (2011)
^ Шлиндвейн, К., «Непротиворечивость гипотезы Суслина, неспециального дерева Ароншайна и GCH», (1994), Журнал символической логики (59), стр. 1–29.

Джех, Томас (2002). Теория множеств (Третье тысячелетие (переработанное и расширенное) изд.). Спрингер. дои : 10.1007/3-540-44761-X . ISBN 3-540-44085-2 . Збл 1007.03002 .
Кунен, Кеннет (2011). Теория множеств . Исследования по логике. Том. 34. Лондон: Публикации колледжа. ISBN 978-1-84890-050-9 . Збл 1262.03001 .
Мур, Джастин Тэтч (2011). «Логика и основы: правильная аксиома принуждения». В Бхатиа, Раджендра (ред.). Материалы международного конгресса математиков (ICM 2010), Хайдарабад, Индия, 19–27 августа 2010 г. Том. II: Приглашенные лекции (PDF) . Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific. стр. 3–29. ISBN 978-981-4324-30-4 . Збл 1258.03075 .
Сталь, Джон Р. (2005). «PFA подразумевает AD^L(R)». Журнал символической логики . 70 (4): 1255–1296. дои : 10.2178/jsl/1129642125 .

[1] Мур (2011)

[2] Абрахам У. и Шела С., Типы изоморфизма деревьев Ароншайна (1985) Израильский математический журнал (50) 75-113

[3] Мур (2011)

[4] Шлиндвейн, К., «Непротиворечивость гипотезы Суслина, неспециального дерева Ароншайна и GCH», (1994), Журнал символической логики (59), стр. 1–29.

[1]

[2]

[3]

[4]