Моллеровое рассеяние

Диаграммы Фейнмана
Т-канал
u-канал

Рассеяние Мёллера — название, данное электрон -электронному рассеянию в квантовой теории поля , в честь датского физика Кристиана Мёллера . Взаимодействие электронов, идеализированное в рассеянии Мёллера, формирует теоретическую основу многих известных явлений, таких как отталкивание электронов в атоме гелия. Если раньше многие коллайдеры частиц были разработаны специально для электрон-электронных столкновений, то в последнее время электрон-позитронные коллайдеры стали более распространенными. Тем не менее, меллеровое рассеяние остается парадигматическим процессом в теории взаимодействия частиц.

Мы можем выразить этот процесс в обычных обозначениях, часто используемых в физике элементарных частиц : $$e^{-}e^{-}\longrightarrow e^{-}e^{-},$$

В квантовой электродинамике существуют две древовидные диаграммы Фейнмана, описывающие процесс: диаграмма t-канала , в которой электроны обмениваются фотонами , и аналогичная диаграмма u-канала. Перекрестная симметрия , один из приемов, часто используемых для оценки диаграмм Фейнмана, в данном случае подразумевает, что рассеяние Мёллера должно иметь то же сечение, что и рассеяние Баба (электрон- позитронное рассеяние).

Вместо этого в электрослабой теории процесс описывается четырьмя древовидными диаграммами: двумя из КЭД и идентичной парой, в которой Z-бозон вместо фотона заменяется . Слабое взаимодействие чисто левостороннее, но слабые и электромагнитные силы смешиваются с частицами, которые мы наблюдаем. Фотон по своей конструкции симметричен, но Z-бозон предпочитает левые частицы правым. При этом сечения для левых и правых электронов различаются. Разницу впервые заметил российский физик Яков Зельдович в 1959 году, но в то время он считал, что асимметрия, нарушающая четность (несколько сотен частей на миллиард), слишком мала, чтобы ее можно было наблюдать. Эту асимметрию, нарушающую четность, можно измерить, пропустив поляризованный пучок электронов через неполяризованную электронную мишень ( например, жидкий водород ), как это было сделано в эксперименте в Стэнфордском центре линейных ускорителей SLAC-E158. Асимметрия в рассеянии Мёллера равна

$$A_{\rm {PV}}=-m_{e}E{\frac {G_{\rm {F}}}{{\sqrt {2}}\pi \alpha }}{\frac {16\sin ^{2}\Theta _{\text{cm}}}{\left(3+\cos ^{2}\Theta _{\text{cm}}\right)^{2}}}\left({\frac {1}{4}}-\sin ^{2}\theta _{\rm {W}}\right),$$

где m _e – масса электрона, E – энергия влетающего электрона (в системе отсчета другого электрона), $G_{\rm {F}}$ – постоянная Ферми , $\alpha$ — постоянная тонкой структуры , $\Theta _{\text{cm}}$ – угол рассеяния в системе центра масс, $\theta _{\rm {W}}$ — угол слабого смешивания, также известный как угол Вайнберга .

КЭД-вычисление

Рассеяние Мёллера можно рассчитать с точки зрения КЭД на уровне дерева с помощью двух диаграмм, показанных на этой странице. Эти две диаграммы вносят вклад в лидирующий порядок с точки зрения КЭД. Если мы принимаем во внимание слабое взаимодействие, которое объединяется с электромагнитным взаимодействием при высокой энергии, то нам нужно добавить две древовидные диаграммы обмена $Z^{0}$ бозон. Здесь мы сосредоточим наше внимание на строгом древовидном КЭД-вычислении сечения, которое является весьма поучительным, но, возможно, не самым точным описанием с физической точки зрения.

Перед выводом запишем 4-импульсы в виде ( $p_{1}$и $p_{2}$для входящих электронов, $p_{3}$и $p_{4}$для вылетающих электронов и $m=m_{e}$):

$$p_{1}=(E,0,0,p),~p_{2}=(E,0,0,-p),$$

$$p_{3}=(E,p\sin \theta ,0,p\cos \theta ),~p_{4}=(E,-p\sin \theta ,0,-p\cos \theta ).$$

Мандельштама Переменные :

$$s=(p_{1}+p_{2})^{2}=(p_{3}+p_{4})^{2}$$

$$t=(p_{1}-p_{3})^{2}=(p_{4}-p_{2})^{2}$$

$$u=(p_{1}-p_{4})^{2}=(p_{3}-p_{2})^{2}$$

Эти переменные Мандельштама удовлетворяют тождеству: $s+t+u\equiv \sum m_{j}^{2}=4m^{2}$.

Согласно двум диаграммам на этой странице, матричный элемент t-канала равен

$$i{\mathcal {M}}_{t}=(-ie)^{2}{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{1}){\frac {-i}{t}}{\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{2}),$$

матричный элемент u-канала

$$i{\mathcal {M}}_{u}=(-ie)^{2}{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{2}){\frac {-i}{u}}{\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{1}).$$

Итак, сумма

$${\begin{aligned}i{\mathcal {M}}&=i({\mathcal {M}}_{t}-{\mathcal {M}}_{u})\\&=-i(-ie)^{2}\left[{\frac {1}{t}}{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{1}){\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{2})-{\frac {1}{u}}{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{2}){\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{1})\right].\end{aligned}}$$

Поэтому,

$${\begin{aligned}|{\mathcal {M}}|^{2}&=e^{4}{\biggl \{}{\frac {1}{t^{2}}}[{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{1})][{\bar {u}}(p_{1})\gamma ^{\nu }u(p_{3})][{\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{2})][{\bar {u}}(p_{2})\gamma _{\nu }u(p_{4})]\\&\qquad +{\frac {1}{u^{2}}}[{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{2})][{\bar {u}}(p_{2})\gamma ^{\nu }u(p_{3})][{\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{1})][{\bar {u}}(p_{1})\gamma _{\nu }u(p_{4})]\\&\qquad -{\frac {1}{tu}}[{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{1})][{\bar {u}}(p_{2})\gamma ^{\nu }u(p_{3})][{\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{2})][{\bar {u}}(p_{1})\gamma _{\nu }u(p_{4})]\\&\qquad -{\frac {1}{tu}}[{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{2})][{\bar {u}}(p_{1})\gamma ^{\nu }u(p_{3})][{\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{1})][{\bar {u}}(p_{2})\gamma _{\nu }u(p_{4})]{\biggr \}}.\end{aligned}}$$

Чтобы вычислить неполяризованное сечение, мы усредняем по начальным спинам и суммируем по конечным спинам с коэффициентом 1/4 (1/2 для каждого входящего электрона):

$${\begin{aligned}{\frac {1}{4}}\sum _{\text{spins}}|{\mathcal {M}}|^{2}&={\frac {e^{4}}{4}}{\biggl \{}{\frac {1}{t^{2}}}\mathrm {Tr} [\gamma ^{\mu }(\not p_{1}+m)\gamma ^{\nu }(\not p_{3}+m)]\mathrm {Tr} [\gamma _{\mu }(\not p_{2}+m)\gamma _{\nu }(\not p_{4}+m)]\\&~~+{\frac {1}{u^{2}}}\mathrm {Tr} [\gamma ^{\mu }(\not p_{2}+m)\gamma ^{\nu }(\not p_{3}+m)]\mathrm {Tr} [\gamma _{\mu }(\not p_{1}+m)\gamma _{\nu }(\not p_{4}+m)]\\&~~-{\frac {2}{tu}}\mathrm {Tr} [(\not p_{3}+m)\gamma ^{\mu }(\not p_{1}+m)\gamma ^{\nu }(\not p_{4}+m)\gamma _{\mu }(\not p_{2}+m)\gamma _{\nu }]{\biggl \}}\end{aligned}}$$

где мы использовали соотношение $\sum _{s}u^{s}(p){\bar {u}}^{s}(p)=\not p+m=\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m$. Далее мы вычислим следы.

Первое слагаемое в фигурных скобках равно

$${\begin{aligned}&~~{\frac {1}{t^{2}}}\mathrm {Tr} [\gamma ^{\mu }(\not p_{1}+m)\gamma ^{\nu }(\not p_{3}+m)]\mathrm {Tr} [\gamma _{\mu }(\not p_{2}+m)\gamma _{\nu }(\not p_{4}+m)]\\&={\frac {16}{t^{2}}}(p_{1}^{\mu }p_{3}^{\nu }+p_{3}^{\mu }p_{1}^{\nu }+(-p_{13}+m^{2})g^{\mu \nu })(p_{2\mu }p_{4\nu }+p_{4\mu }p_{2\nu }+(-p_{24}+m^{2})g_{\mu \nu })\\&={\frac {32}{t^{2}}}{\big (}p_{12}p_{34}+p_{23}p_{14}-m^{2}p_{13}-m^{2}p_{24}+2m^{4}{\big )}\\&={\frac {32}{t^{2}}}{\big (}p_{12}^{2}+p_{14}^{2}+2m^{2}(p_{14}-p_{12}){\big )}\\&={\frac {8}{t^{2}}}(s^{2}+u^{2}-8m^{2}(s+u)+24m^{4})\end{aligned}}$$

Здесь $p_{ij}\equiv p_{i}\cdot p_{j}$, и мы использовали $\gamma$-матрица тождества

$$\mathrm {Tr} [\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }]=4\left(\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\rho \sigma }-\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }\right)$$

и этот след любого произведения нечетного числа $\gamma ^{\mu }$ равен нулю.

Аналогично, второй член

$${\begin{aligned}&~~{\frac {1}{u^{2}}}\mathrm {Tr} [\gamma ^{\mu }(\not p_{2}+m)\gamma ^{\nu }(\not p_{3}+m)]\mathrm {Tr} [\gamma _{\mu }(\not p_{1}+m)\gamma _{\nu }(\not p_{4}+m)]\\&={\frac {32}{u^{2}}}{\big (}p_{12}p_{34}+p_{13}p_{24}-m^{2}p_{23}-m^{2}p_{14}+2m^{4}{\big )}\\&={\frac {8}{u^{2}}}(s^{2}+t^{2}-8m^{2}(s+t)+24m^{4})\end{aligned}}$$

Используя $\gamma$-матричные тождества

$$\mathrm {Tr} [\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }]=-32,$$

$$\mathrm {Tr} [\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }]=\mathrm {Tr} [\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }]=16g^{\rho \sigma },$$

$$\mathrm {Tr} [\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\lambda }\gamma _{\mu }\gamma ^{\tau }\gamma _{\nu }]=-32g^{\rho \lambda }g^{\sigma \tau },$$

и тождество переменных Мандельштама: $s+t+u\equiv \sum m_{j}^{2}$, мы получаем третий член

$${\begin{aligned}&-{\frac {2}{tu}}\mathrm {Tr} \left[(\not p_{3}+m)\gamma ^{\mu }(\not p_{1}+m)\gamma ^{\nu }(\not p_{4}+m)\gamma _{\mu }(\not p_{2}+m)\gamma _{\nu }\right]\\={}&-{\frac {32}{tu}}\left(-2p_{12}p_{34}+2m^{2}(p_{12}+p_{13}+p_{14})-2m^{4}\right)\\={}&{\frac {16}{tu}}\left(s^{2}-8m^{2}s+12m^{4}\right)\end{aligned}}$$

Поэтому,

$${\begin{aligned}{\overline {|{\mathcal {M}}|^{2}}}&\equiv {\frac {1}{4}}\sum _{\text{spins}}|{\mathcal {M}}|^{2}\\&=2e^{4}{\Big \{}{\frac {1}{t^{2}}}{\big (}s^{2}+u^{2}-8m^{2}(s+u)+24m^{4}{\big )}\\&~~+{\frac {1}{u^{2}}}{\big (}s^{2}+t^{2}-8m^{2}(s+t)+24m^{4}{\big )}\\&~~+{\frac {2}{tu}}{\big (}s^{2}-8m^{2}s+12m^{4}{\big )}{\Big \}}\end{aligned}}.$$

Замените импульсы, которые мы здесь установили, которые

$$s=4E^{2}=E_{CM}^{2},$$

$$t=2p^{2}(\cos \theta -1),$$

$$u=2p^{2}(-\cos \theta -1).$$

Наконец мы получаем неполяризованное сечение $${\begin{aligned}{\frac {d\sigma }{d\Omega }}&={\frac {1}{64\pi ^{2}E_{CM}^{2}}}{\frac {|{\vec {p}}_{f}|}{|{\vec {p}}_{i}|}}{\overline {|{\mathcal {M}}|^{2}}}\\&={\frac {\alpha ^{2}}{2E_{CM}^{2}}}{\Big \{}{\frac {1}{t^{2}}}{\big (}s^{2}+u^{2}-8m^{2}(s+u)+24m^{4}{\big )}\\&~~+{\frac {1}{u^{2}}}{\big (}s^{2}+t^{2}-8m^{2}(s+t)+24m^{4}{\big )}\\&~~+{\frac {2}{tu}}{\big (}s^{2}-8m^{2}s+12m^{4}{\big )}{\Big \}}\\&={\frac {\alpha ^{2}}{E_{CM}^{2}p^{4}\sin ^{4}\theta }}{\Big [}4(m^{2}+2p^{2})^{2}+{\big (}4p^{4}-3(m^{2}+2p^{2})^{2}{\big )}\sin ^{2}\theta +p^{4}\sin ^{4}\theta {\Big ]}.\end{aligned}}$$

с $E^{2}=m^{2}+p^{2}$ и $E_{CM}=2E$.

В нерелятивистском пределе $m\gg p$,

$${\begin{aligned}{\frac {d\sigma }{d\Omega }}&={\frac {m^{4}\alpha ^{2}}{E_{CM}^{2}p^{4}\sin ^{4}\theta }}{\Big (}4-3\sin ^{2}\theta {\Big )}\\&={\frac {m^{4}\alpha ^{2}}{E_{CM}^{2}p^{4}\sin ^{4}\theta }}{\Big (}1+3\cos ^{2}\theta {\Big )}.\end{aligned}}$$

В ультрарелятивистском пределе $m\ll p$,

$${\begin{aligned}{\frac {d\sigma }{d\Omega }}&={\frac {\alpha ^{2}}{E_{CM}^{2}p^{4}\sin ^{4}\theta }}{\Big (}16p^{4}-8p^{4}\sin ^{2}\theta +p^{4}\sin ^{4}\theta {\Big )}\\&={\frac {\alpha ^{2}}{E_{CM}^{2}\sin ^{4}\theta }}{\Big (}3+\cos ^{2}\theta {\Big )}^{2}.\end{aligned}}$$

Внешние ссылки

• SLAC E158: Измерение СЛАБОГО заряда электрона