Теорема Борсука – Улама

В математике теорема Борсука -Улама утверждает, что каждая непрерывная функция из n -сферы в евклидово n -пространство отображает некоторую пару противоположных точек в одну и ту же точку. Здесь две точки сферы называются антиподальными, если они расположены точно в противоположных направлениях от центра сферы.

Формально: если $f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ непрерывен, то существует $x\in S^{n}$ такой, что: $f(-x)=f(x)$ .

Дело $n=1$ всегда существует пара противоположных точек можно проиллюстрировать, сказав, что на экваторе Земли с одинаковой температурой. То же самое справедливо для любого круга. Это предполагает, что температура в пространстве непрерывно меняется, что, однако, не всегда так. ^[1]

Дело $n=2$ часто иллюстрируют, говоря, что в любой момент на поверхности Земли всегда существует пара противоположных точек с равными температурами и одинаковыми барометрическими давлениями, предполагая, что оба параметра непрерывно изменяются в пространстве.

Теорема Борсука-Улама имеет несколько эквивалентных утверждений в терминах нечетных функций . Напомним, что $S^{n}$ это n -сфера и $B^{n}$ это n -шар :

Если $g:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ является непрерывной нечетной функцией, то существует $x\in S^{n}$ такой, что: $g(x)=0$ .
Если $g:B^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ — непрерывная функция, нечетная на $S^{n-1}$ (граница г. $B^{n}$ ), то существует $x\in B^{n}$ такой, что: $g(x)=0$ .

История

По мнению Матушека (2003 , стр. 25), первое историческое упоминание о формулировке теоремы Борсука-Улама появляется у Люстерника и Шнирельмана (1930) . Первое доказательство было дано Каролем Борсуком ( 1933 ), где формулировка задачи была приписана Станиславу Уламу . С тех пор различными авторами было найдено множество альтернативных доказательств, собранных Стейнлайном (1985) .

Эквивалентные утверждения

Следующие утверждения эквивалентны теореме Борсука–Улама. ^[2]

Со странными функциями

Функция $g$ называется нечетным (он же антиподальным или сохраняющим антипод ), если для каждого $x$ : $g(-x)=-g(x)$ .

Теорема Борсука–Улама эквивалентна следующему утверждению: непрерывная нечетная функция из n -сферы в евклидово n -пространство имеет нуль. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Если теорема верна, то она справедлива конкретно для нечетных функций, а для нечетной функции $g(-x)=g(x)$ если только $g(x)=0$ . Следовательно, каждая нечетная непрерывная функция имеет нуль.
Для каждой непрерывной функции $f$ , следующая функция является непрерывной и нечетной: $g(x)=f(x)-f(-x)$ . Если каждая нечетная непрерывная функция имеет нуль, то $g$ имеет ноль, и, следовательно, $f(x)=f(-x)$ . Следовательно, теорема верна.

С отзывами

Определить отвод как функцию $h:S^{n}\to S^{n-1}.$ Теорема Борсука–Улама эквивалентна следующему утверждению: не существует непрерывной нечетной ретракции.

Доказательство. Если теорема верна, то каждая непрерывная нечетная функция из $S^{n}$ должен включать 0 в свой диапазон. Однако, $0\notin S^{n-1}$ поэтому не может существовать непрерывная нечетная функция, диапазон значений которой равен $S^{n-1}$ .

Обратно, если оно неверно, то существует непрерывная нечетная функция $g:S^{n}\to {\mathbb {R}}^{n}$ без нулей. Тогда мы можем построить еще одну нечетную функцию $h:S^{n}\to S^{n-1}$ к:

h(x)={\frac {g(x)}{|g(x)|}}

с $g$ не имеет нулей, $h$ четко определена и непрерывна. Таким образом, мы имеем непрерывную нечетную ретракцию.

Доказательства

1-мерный случай

Одномерный случай легко доказать с помощью теоремы о промежуточном значении (IVT).

Позволять $g$ - нечетная непрерывная функция с действительным знаком на окружности, определяемая формулой $g(x)=f(x)-f(-x)$ . Выберите произвольный $x$ . Если $g(x)=0$ тогда мы закончили. В противном случае, без ограничения общности, $g(x)>0.$ Но $g(-x)<0.$ Следовательно, по IVT есть точка $y$ между $x$ и $-x$ на котором $g(y)=0$ .

Общий случай

Алгебраическое топологическое доказательство

Предположим, что $h:S^{n}\to S^{n-1}$ является нечетной непрерывной функцией с $n>2$ (случай $n=1$ рассмотрен выше, случай $n=2$ можно решить, используя базовую теорию покрытия ). Переходя к орбитам антиподального действия, мы получаем индуцированную непрерывную функцию $h':\mathbb {RP} ^{n}\to \mathbb {RP} ^{n-1}$ между вещественными проективными пространствами , что индуцирует изоморфизм фундаментальных групп . По теореме Гуревича индуцированный кольцевой гомоморфизм на когомологиях с $\mathbb {F} _{2}$ коэффициенты [где $\mathbb {F} _{2}$ обозначает поле с двумя элементами ],

\mathbb {F} _{2}[a]/a^{n+1}=H^{*}\left(\mathbb {RP} ^{n};\mathbb {F} _{2}\right)\leftarrow H^{*}\left(\mathbb {RP} ^{n-1};\mathbb {F} _{2}\right)=\mathbb {F} _{2}[b]/b^{n},

отправляет $b$ к $a$ . Но потом мы получаем это $b^{n}=0$ отправляется в $a^{n}\neq 0$ , противоречие. ^[3]

Можно также показать более сильное утверждение, что любое нечетное отображение $S^{n-1}\to S^{n-1}$ имеет нечетную степень , а затем вывести теорему из этого результата.

Комбинаторное доказательство

Теорему Борсука–Улама можно доказать с помощью леммы Такера . ^[2]^[4]^[5]

Позволять $g:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ — непрерывная нечетная функция. Поскольку g непрерывна в компактной области, она равномерно непрерывна . Следовательно, для каждого $\epsilon >0$ , есть $\delta >0$ такая, что для каждых двух точек $S_{n}$ которые находятся внутри $\delta$ друг от друга, их образы под g находятся в пределах $\epsilon$ друг друга.

Дайте определение триангуляции $S_{n}$ с ребрами длиной не более $\delta$ . Пометьте каждую вершину $v$ триангуляции с меткой $l(v)\in {\pm 1,\pm 2,\ldots ,\pm n}$ следующим образом:

Абсолютное значение метки — это индекс координаты с наибольшим абсолютным значением g : $|l(v)|=\arg \max _{k}(|g(v)_{k}|)$ .
Знак метки является знаком g , так что: $l(v)=\operatorname {sgn}(g(v))|l(v)|$ .

Поскольку g нечетно, маркировка также нечетна: $l(-v)=-l(v)$ . Следовательно, по лемме Такера существуют две смежные вершины. $u,v$ с противоположными метками. Предположим, что метки $l(u)=1,l(v)=-1$ . По определению l это означает, что и в том, и в другом случае $g(u)$ и $g(v)$ , координата №1 – самая большая координата: в $g(u)$ эта координата положительна, пока в $g(v)$ это отрицательно. По построению триангуляции расстояние между $g(u)$ и $g(v)$ самое большее $\epsilon$ , так что в частности $|g(u)_{1}-g(v)_{1}|=|g(u)_{1}|+|g(v)_{1}|\leq \epsilon$ (с $g(u)_{1}$ и $g(v)_{1}$ имеют противоположные знаки) и так $|g(u)_{1}|\leq \epsilon$ . Но поскольку наибольшая координата $g(u)$ это координата №1, это означает, что $|g(u)_{k}|\leq \epsilon$ для каждого $1\leq k\leq n$ . Так $|g(u)|\leq c_{n}\epsilon$ , где $c_{n}$ является некоторой константой, зависящей от $n$ и норма $|\cdot |$ который вы выбрали.

Вышесказанное справедливо для каждого $\epsilon >0$ ; с $S_{n}$ компактно, следовательно, должна существовать точка u , в которой $|g(u)|=0$ .

Следствия

Нет подмножества $\mathbb {R} ^{n}$ гомеоморфен $S^{n}$
Теорема сэндвиче с ветчиной : для любых компактов о A ₁ , ... An _, в $\mathbb {R} ^{n}$ мы всегда можем найти гиперплоскость, разделяющую каждое из них на два подмножества равной меры.

Эквивалентные результаты

Выше мы показали, как доказать теорему Борсука–Улама на основе леммы Такера. Верно и обратное: лемму Такера можно доказать на основе теоремы Борсука–Улама. Следовательно, эти две теоремы эквивалентны.Существует несколько теорем о неподвижной точке, которые представлены в трех эквивалентных вариантах: варианте алгебраической топологии , комбинаторном варианте и варианте покрытия множеств. Каждый вариант можно доказать отдельно, используя совершенно разные аргументы, но каждый вариант можно свести и к другим вариантам в своем ряду. Кроме того, каждый результат верхнюю строку можно вывести из нижней в том же столбце. ^[6]

Алгебраическая топология	Комбинаторика	Комплект покрытия
Теорема Брауэра о неподвижной точке	тема Спернера	Лемма Кнастера – Куратовского – Мазуркевича.
Теорема Борсука – Улама	Лемма Такера	Теорема Люстерника – Шнирельмана

Обобщения

В исходной теореме областью определения функции f является единичная n -сфера (граница единичного n -шара). В общем, это верно и тогда, когда область определения f является границей любого открытого ограниченного симметричного подмножества $\mathbb {R} ^{n}$ содержащий начало координат (здесь симметричный означает, что если x находится в подмножестве, то - x также находится в подмножестве). ^[7]
В более общем смысле, если $M$ — компактное n -мерное риманово многообразие и $f:M\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ непрерывен, существует пара точек x и y в $M$ такой, что $f(x)=f(y)$ а x и y соединены геодезической длиной $\delta$ , для любого предписанного $\delta >0$ . ^[8]^[9]
Рассмотрим функцию A , которая отображает точку в ее антиподальную точку: $A(x)=-x.$ Обратите внимание, что $A(A(x))=x.$ Исходная теорема утверждает, что существует точка x, в которой $f(A(x))=f(x).$ В общем, это верно и для всякой функции А, для которой $A(A(x))=x.$ ^[10] Однако в целом это неверно для других A. функций ^[11]

См. также

Примечания

^ Джа, Адитья; Кэмпбелл, Дуглас; Монтель, Клеменси; Уилсон, Филип Л. (30 июля 2023 г.). «Об ошибке континуума: является ли температура непрерывной функцией?» . Основы физики . 53 (4): 69. дои : 10.1007/s10701-023-00713-x . ISSN 1572-9516 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Прескотт, Тимоти (2002). Расширения теоремы Борсука–Улама (BS). Колледж Харви Мадда. CiteSeerX 10.1.1.124.4120 .
^ Джозеф Дж. Ротман, Введение в алгебраическую топологию (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 (полное изложение см. в главе 12.)
^ Фройнд, Роберт М.; Тодд, Майкл Дж. (1982). «Конструктивное доказательство комбинаторной леммы Такера» . Журнал комбинаторной теории . Серия А. 30 (3): 321–325. дои : 10.1016/0097-3165(81)90027-3 .
^ Симмонс, Форест В.; Су, Фрэнсис Эдвард (2003). «Разделение половины консенсуса с помощью теорем Борсука – Улама и Такера» . Математические социальные науки . 45 : 15–25. дои : 10.1016/s0165-4896(02)00087-2 . hdl : 10419/94656 .
^ Найман, Кэтрин Л.; Су, Фрэнсис Эдвард (2013), «Эквивалент Борсука-Улама, который непосредственно подразумевает лемму Спернера» , The American Mathematical Monthly , 120 (4): 346–354, doi : 10.4169/amer.math.monthly.120.04.346 , JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.120.04.346 , МР 3035127
^ «Теорема Борсука о неподвижной точке» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
^ Хопф, Х. (1944). «Обобщение известных теорем об отображении и накрытии». Португальская математика .
^ Малютин А.В.; Широков, И.М. (2023). «Теоремы типа Хопфа для f-соседей». Сиб. Электрон. Мат. Изв . 20 (1): 165–182.
^ Ян, Чунг-Тао (1954). «О теоремах Борсука-Улама, Какутани-Ямабе-Юджобо и Дайсона I» Анналы математики 60 (2): 262–282. дои : 10.2307/1969632 . JSTOR 1969632 .
^ Йенс Рейнхольд, Фейсал; Сергей Иванов. «Обобщение Борсук-Улама» . Математическое переполнение . Проверено 18 мая 2015 г.

Ссылки

Борсук, Кароль (1933). «Три теоремы о n -мерной евклидовой сфере» (PDF) . Fundamenta Mathematicae (на немецком языке). 20 : 177-190. дои : 10.4064/fm-20-1-177-190 . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
Lyusternik, Lazar ; Shnirel'man, Lev (1930). "Topological Methods in Variational Problems". Issledowatelskii Institut Matematiki I Mechaniki Pri O. M. G. U . Moscow.
Матушек, Иржи (2003). Используя теорему Борсука–Улама . Берлин: Springer Verlag. дои : 10.1007/978-3-540-76649-0 . ISBN 978-3-540-00362-5 .
Стейнлайн, Х. (1985). «Антиподальная теорема Борсука, ее обобщения и приложения: обзор. Топологические методы в нелинейном анализе». Сем. Математика. Большой. Монреаль, Сем. наук. НАТО (Институт перспективных исследований НАТО) . 95 : 166–235.
Су, Фрэнсис Эдвард (ноябрь 1997 г.). «Борсук-Улам подразумевает Брауэра: прямая конструкция» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 104 (9): 855–859. CiteSeerX 10.1.1.142.4935 . дои : 10.2307/2975293 . JSTOR 2975293 . Архивировано из оригинала (PDF) 13 октября 2008 г. Проверено 21 апреля 2006 г.

Внешние ссылки

Кого (еще) волнует топология? Украденные ожерелья и Борсук-Улам на YouTube
Борсук-Уламский исследователь . Интерактивная иллюстрация теоремы Борсука-Улама.

[:0-1] Джа, Адитья; Кэмпбелл, Дуглас; Монтель, Клеменси; Уилсон, Филип Л. (30 июля 2023 г.). «Об ошибке континуума: является ли температура непрерывной функцией?» . Основы физики . 53 (4): 69. дои : 10.1007/s10701-023-00713-x . ISSN 1572-9516 .

[prescott2002-2] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Прескотт, Тимоти (2002). Расширения теоремы Борсука–Улама (BS). Колледж Харви Мадда. CiteSeerX 10.1.1.124.4120 .

[rotman-3] Джозеф Дж. Ротман, Введение в алгебраическую топологию (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 (полное изложение см. в главе 12.)

[FreundTodd1982-4] Фройнд, Роберт М.; Тодд, Майкл Дж. (1982). «Конструктивное доказательство комбинаторной леммы Такера» . Журнал комбинаторной теории . Серия А. 30 (3): 321–325. дои : 10.1016/0097-3165(81)90027-3 .

[SimmonsSu2003-5] Симмонс, Форест В.; Су, Фрэнсис Эдвард (2003). «Разделение половины консенсуса с помощью теорем Борсука – Улама и Такера» . Математические социальные науки . 45 : 15–25. дои : 10.1016/s0165-4896(02)00087-2 . hdl : 10419/94656 .

[6] Найман, Кэтрин Л.; Су, Фрэнсис Эдвард (2013), «Эквивалент Борсука-Улама, который непосредственно подразумевает лемму Спернера» , The American Mathematical Monthly , 120 (4): 346–354, doi : 10.4169/amer.math.monthly.120.04.346 , JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.120.04.346 , МР 3035127

[7] «Теорема Борсука о неподвижной точке» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[8] Хопф, Х. (1944). «Обобщение известных теорем об отображении и накрытии». Португальская математика .

[9] Малютин А.В.; Широков, И.М. (2023). «Теоремы типа Хопфа для f-соседей». Сиб. Электрон. Мат. Изв . 20 (1): 165–182.

[10] Ян, Чунг-Тао (1954). «О теоремах Борсука-Улама, Какутани-Ямабе-Юджобо и Дайсона I» Анналы математики 60 (2): 262–282. дои : 10.2307/1969632 . JSTOR 1969632 .

[11] Йенс Рейнхольд, Фейсал; Сергей Иванов. «Обобщение Борсук-Улама» . Математическое переполнение . Проверено 18 мая 2015 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]