Море Дирака

Море Дирака для массивной частицы. • частицы, • античастицы

Море Дирака — это теоретическая модель электронного вакуума как бесконечного моря электронов с отрицательной энергией , которые теперь называются позитронами. Впервые это постулировал британский физик Поль Дирак в 1930 году. чтобы объяснить аномальные квантовые состояния с отрицательной энергией , предсказанные релятивистски правильным уравнением Дирака для электронов . Позитрон . , антивещества из аналог электрона , первоначально был задуман как дыра в море Дирака, до его экспериментального открытия в 1932 году

В теории дырок решения с отрицательными факторами эволюции во времени интерпретируются как представляющие позитрон , открытый Карлом Андерсоном . Для интерпретации этого результата требуется море Дирака, показывающее, что уравнение Дирака представляет собой не просто комбинацию специальной теории относительности и квантовой механики , но также подразумевает, что число частиц не может сохраняться.

Теория моря Дирака была заменена квантовой теорией поля , хотя они математически совместимы.

Происхождение

Подобные идеи о дырках в кристаллах были развиты советским физиком Яковом Френкелем в 1926 году, но нет никаких указаний на то, что эта концепция обсуждалась с Дираком, когда они встретились на советском физическом конгрессе летом 1928 года.

Истоки моря Дирака лежат в энергетическом спектре уравнения Дирака , расширения уравнения Шредингера, совместимого со специальной теорией относительности , уравнения, которое Дирак сформулировал в 1928 году. Хотя это уравнение было чрезвычайно успешным в описании динамики электронов, оно обладает довольно своеобразная особенность: каждому квантовому состоянию, положительной энергией E , соответствует состояние с энергией — E. обладающему Это не представляет большой трудности, если рассматривать изолированный электрон, поскольку его энергия сохраняется и электроны с отрицательной энергией могут быть опущены. возникают трудности Однако при рассмотрении эффектов электромагнитного поля , поскольку электрон с положительной энергией будет способен терять энергию, непрерывно испуская фотоны , и этот процесс может продолжаться без ограничений по мере того, как электрон опускается во все более низкие энергетические состояния. Однако реальные электроны явно не ведут себя таким образом.

Решение этой проблемы, предложенное Дираком, состояло в том, чтобы положиться на принцип исключения Паули . Электроны являются фермионами и подчиняются принципу исключения, который означает, что никакие два электрона не могут иметь одно и то же энергетическое состояние внутри атома. Дирак предположил, что то, что мы называем « вакуумом », на самом деле является состоянием, в котором все состояния с отрицательной энергией заполнены и ни одно из состояний с положительной энергией. Следовательно, если мы хотим ввести один электрон, нам придется поместить его в состояние с положительной энергией, поскольку все состояния с отрицательной энергией заняты. Более того, даже если электрон теряет энергию из-за испускания фотонов, ему будет запрещено опускаться ниже нуля.

Дирак далее указал, что может существовать ситуация, в которой все состояния с отрицательной энергией заняты, кроме одного. Эта «дыра» в море электронов с отрицательной энергией будет реагировать на электрические поля, как если бы она была положительно заряженной частицей. Первоначально Дирак идентифицировал эту дыру как протон . Однако Роберт Оппенгеймер отметил, что электрон и его дырка смогут аннигилировать друг друга, высвобождая энергию порядка энергии покоя электрона в виде энергичных фотонов; если бы дырки были протонами, стабильных атомов не существовало бы. Герман Вейль также заметил, что дырка должна вести себя так, как если бы она имела ту же массу , что и электрон, тогда как протон примерно в две тысячи раз тяжелее. Окончательно вопрос был решен в 1932 году, когда позитрон был открыт Карлом Андерсоном со всеми физическими свойствами, предсказанными для дырки Дирака.

Неэлегантность моря Дирака

Несмотря на свой успех, идея моря Дирака не кажется людям очень элегантной. Существование моря подразумевает наличие бесконечного отрицательного электрического заряда, заполняющего все пространство. Чтобы иметь в этом какой-то смысл, нужно предположить, что «голый вакуум» должен иметь бесконечную плотность положительного заряда, которая в точности компенсируется морем Дирака. Поскольку абсолютная плотность энергии ненаблюдаема ( за исключением космологической постоянной ), бесконечная плотность энергии вакуума не представляет проблемы. Наблюдаются только изменения плотности энергии. Джеффри Лэндис также отмечает что исключение Паули не означает окончательно, что заполненное море Дирака не может принять больше электронов, поскольку, как пояснил Гильберт , море бесконечной протяженности может принимать новые частицы, даже если оно заполнено. Это происходит, когда мы имеем киральную аномалию и калибровочный инстантон .

Развитие квантовой теории поля (КТП) в 1930-х годах позволило переформулировать уравнение Дирака таким образом, чтобы рассматривать позитрон как «настоящую» частицу, а не как отсутствие частицы, и превращая вакуум в состояние, в котором нет частиц. частицы существуют вместо бесконечного моря частиц. Эта фотография отражает все достоверные предсказания о море Дирака. , например, электрон-позитронная аннигиляция. С другой стороны, полевая формулировка не устраняет всех трудностей, связанных с морем Дирака; в частности проблема вакуума, обладающего бесконечной энергией .

Математическое выражение

Решив свободное уравнение Дирака,

$$i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=(c{\hat {\boldsymbol {\alpha }}}\cdot {\hat {\boldsymbol {p}}}+mc^{2}{\hat {\beta }})\Psi ,$$

можно найти

$$\Psi _{\mathbf {p} \lambda }=N\left({\begin{matrix}U\\{\frac {(c{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}\cdot {\boldsymbol {p}})}{mc^{2}+\lambda E_{p}}}U\end{matrix}}\right){\frac {\exp[i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} -\varepsilon t)/\hbar ]}{{\sqrt {2\pi \hbar }}^{3}}},$$

где

$$\varepsilon =\pm E_{p},\quad E_{p}=+c{\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m^{2}c^{2}}},\quad \lambda =\operatorname {sgn} \varepsilon$$

для плоских волновых решений с 3- импульсом p . Это прямое следствие релятивистского соотношения энергии и импульса.

$$E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}$$

на основе которого построено уравнение Дирака. Величина U представляет собой постоянный 2 × 1 вектор-столбец , а N — константа нормализации. Величина ε называется фактором временной эволюции , а ее интерпретация в аналогичных ролях, например, в плоских волновых решениях уравнения Шрёдингера , — это энергия волны (частицы). Эта интерпретация здесь недоступна, поскольку она может приобретать отрицательные значения. Аналогичная ситуация преобладает и для уравнения Клейна–Гордона . В этом случае абсолютное значение ε ε можно интерпретировать как энергию волны, поскольку в каноническом формализме волны с отрицательным на самом деле имеют положительную энергию E _p . Но это не относится к уравнению Дирака. Энергия в каноническом формализме, связанная с отрицательным ε, равна – E _p .

Современная интерпретация

Интерпретация моря Дирака и современная интерпретация КТП связаны тем, что можно рассматривать как очень простое преобразование Боголюбова , идентификацию операторов рождения и уничтожения двух разных теорий свободного поля. В современной интерпретации полевой оператор спинора Дирака представляет собой сумму операторов рождения и операторов уничтожения в схематических обозначениях:

$$\psi (x)=\sum a^{\dagger }(k)e^{ikx}+a(k)e^{-ikx}$$

Оператор с отрицательной частотой снижает энергию любого состояния на величину, пропорциональную частоте, а операторы с положительной частотой повышают энергию любого состояния.

В современной интерпретации операторы положительной частоты добавляют частицу положительной энергии, увеличивая энергию, а операторы отрицательной частоты аннигилируют частицу положительной энергии и понижают энергию. Для фермионного поля оператор рождения $a^{\dagger }(k)$ дает ноль, когда состояние с импульсом k уже заполнено, а оператор уничтожения $a(k)$ дает ноль, когда состояние с импульсом k пусто.

Но тогда можно переинтерпретировать оператор уничтожения как рождения оператор частицы с отрицательной энергией . Он по-прежнему снижает энергию вакуума, но с этой точки зрения он делает это за счет создания объекта с отрицательной энергией. Эта реинтерпретация затрагивает только философию. Чтобы воспроизвести правила, когда аннигиляция в вакууме дает ноль, понятия «пустое» и «заполненное» необходимо поменять местами для состояний с отрицательной энергией. Это не состояния без античастиц, а состояния, которые уже заполнены частицей отрицательной энергии.

Цена состоит в том, что в некоторых выражениях наблюдается неоднородность, поскольку замена уничтожения созданием добавляет константу к числу частиц отрицательной энергии. Числовой оператор поля Ферми является:

$$N=a^{\dagger }a=1-aa^{\dagger }$$

это означает, что если заменить N на 1− N для состояний с отрицательной энергией , произойдет постоянный сдвиг таких величин, как энергия и плотность заряда, величин, которые подсчитывают общее количество частиц. Бесконечная константа придает морю Дирака бесконечную энергию и плотность заряда. Плотность заряда вакуума должна быть равна нулю, поскольку вакуум лоренц-инвариантен , но это искусственно устроить в картине Дирака. Это делается путем перехода к современной интерпретации.

Идея Дирака более непосредственно применима к физике твердого тела , где валентную зону в твердом теле можно рассматривать как «море» электронов. Дыры в этом море действительно существуют и чрезвычайно важны для понимания эффектов полупроводников , хотя их никогда не называют «позитронами». В отличие от физики элементарных частиц, в основе лежит положительный заряд — заряд ионной решетки , — который нейтрализует электрический заряд моря.

Возрождение в теории причинных фермионных систем

Первоначальная концепция Дирака о море частиц была возрождена в теории причинных фермионных систем , недавнем предложении единой физической теории. В этом подходе проблемы бесконечной энергии вакуума и бесконечной плотности заряда моря Дирака исчезают, поскольку эти расходимости выпадают из физических уравнений, сформулированных через принцип причинного действия . Эти уравнения не требуют заранее существующего пространства-времени, что позволяет реализовать концепцию, согласно которой пространство-время и все структуры в нем возникают в результате коллективного взаимодействия морских состояний друг с другом, а также с дополнительными частицами и «дырками». в море.

См. также

• Стоп море
• Позитроний
• Поляризация вакуума
• Виртуальная частица

Ссылки

• Альварес-Гауме, Луис; Васкес-Мозо, Мигель А. (2005). «Вводные лекции по квантовой теории поля». Желтый отчет ЦЕРН ЦЕРН . 1 (96): 2010–001. arXiv : hep-th/0510040 . Бибкод : 2005hep.th...10040A .
• Дирак, ПАМ (1930). «Теория электронов и протонов» . Учеб. Р. Сок. Лонд. А. ​ 126 (801): 360–365. Бибкод : 1930RSPSA.126..360D . дои : 10.1098/rspa.1930.0013 . JSTOR   95359 .
• Дирак, ПАМ (1931). «Квантованные особенности в электромагнитных полях». Учеб. Р. Сок. А. ​ 133 (821): 60–72. Бибкод : 1931РСПСА.133...60Д . дои : 10.1098/rspa.1931.0130 . JSTOR   95639 .
• Финстер, Ф. (2011). «Формулировка квантовой теории поля, реализующая море взаимодействующих частиц Дирака». Летт. Математика. Физ . 97 (2): 165–183. arXiv : 0911.2102 . Бибкод : 2011LMaPh..97..165F . дои : 10.1007/s11005-011-0473-1 . ISSN   0377-9017 . S2CID   39764396 .
• Грейнер, В. (2000). Релятивистская квантовая механика. Волновые уравнения (3-е изд.). Спрингер Верлаг . ISBN  978-3-5406-74573 . (Глава 12 посвящена теории дырок.)
• Саттлер, К.Д. (2010). Справочник по нанофизике: принципы и методы . ЦРК Пресс . стр. 10–4. ISBN  978-1-4200-7540-3 . Проверено 24 октября 2011 г.