Предельный цикл

В математике , в изучении динамических систем с двумерным фазовым пространством , ограниченный цикл -это закрытая траектория в фазовом пространстве, имеющую свойство, которое по крайней мере еще одна траектория в него входит в него, либо с течением времени приближается к бесконечности, либо с течением времени приближается к негативной бесконечности. Такое поведение демонстрируется в некоторых нелинейных системах . Ограничные циклы использовались для моделирования поведения многих реальных колебательных систем. Изучение предельных циклов было инициировано Анри Пуанкаре (1854–1912).

Определение

Мы рассмотрим двухмерную динамическую систему формы $x'(t)=V(x(t))$ где $V:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ это гладкая функция. Траектория функция этой системы - некоторая плавная $x(t)$ со значениями в $\mathbb {R} ^{2}$ который удовлетворяет это дифференциальным уравнением. Такая траектория называется закрытой (или периодической ), если она не является постоянной, но возвращается к своей отправной точке, то есть, если есть некоторые $t_{0}>0$ так что $x(t+t_{0})=x(t)$ для всех $t\in \mathbb {R}$ Полем Орбита - это изображение траектории, подмножества $\mathbb {R} ^{2}$ Полем или Закрытая орбита цикл - это изображение закрытой траектории. Предельный цикл - это цикл, который является предельным набором какой -либо другой траектории.

Характеристики

По теореме Иордан Кривой , каждая закрытая траектория делит плоскость на две области, внутреннюю часть и внешнюю часть кривой.

Учитывая ограниченный цикл и траекторию в его интерьере, которая приближается к ограниченному циклу для приближения времени $+\infty$ , затем вокруг предельного цикла существует район, так что все траектории в внутренней части, которые начинаются по соседству. $+\infty$ Полем Соответствующее утверждение удерживается для траектории во внутренней части, которая приближается к ограниченному циклу для приближающегося времени $-\infty$ , а также для траекторий на внешней стороне, приближающейся к ограниченному циклу.

Стабильные, нестабильные и полустабильные ограниченные циклы

В случае, когда все соседние траектории приближаются к ограниченному циклу, когда время приближается к бесконечности, это называется стабильным или привлекательным ограниченным циклом (цикл ω-ограничения). Если вместо этого, все соседние траектории приближаются к нему, когда время приближается к негативной бесконечности, то это нестабильный предельный цикл (цикл α-ограничения). Если существует соседняя траектория, которая превращается в предельный цикл по мере приближения к бесконечности, и другая, которая превращается в нее, когда время приближается к негативной бесконечности, то это полустабильный предельный цикл. Существуют также ограниченные циклы, которые не являются ни стабильными, ни нестабильными, ни полуталевыми: например, соседняя траектория может приблизиться к предельному циклу извне, но внутренняя часть предельного цикла приближается к семейству других циклов (которые не будут быть ограниченными циклами).

Стабильные предельные циклы являются примерами аттракторов . Они подразумевают самооцененные колебания : закрытая траектория описывает идеальное периодическое поведение системы, и любое небольшое возмущение от этой закрытой траектории заставляет систему вернуться к ней, что заставит систему придерживаться предельного цикла.

Поиск лимитных циклов

Каждая закрытая траектория содержит внутри его внутренней части стационарной точки системы, то есть точка $p$ где $V'(p)=0$ Полем Теорема Бендикссон -Дюлака и теорема Пуанкаре-Бендикссона предсказывают отсутствие или существование, соответственно, предельных циклов двумерных нелинейных динамических систем.

Открытые проблемы

Поиск лимитных циклов, в целом, является очень сложной проблемой. Количество ограниченных циклов полиномиального дифференциального уравнения в плоскости является основным объектом второй части шестнадцатой проблемы Гильберта . Например, неизвестно, есть ли какая -либо система $x'=V(x)$ в плоскости, где оба компонента $V$ являются квадратичными полиномами двух переменных, так что система имеет более 4 предельных циклов.

Приложения

Примеры ограниченных циклов разветвляются из фиксированных точек вблизи бифуркации Хопфа . Траектории в красных, стабильных структурах в темно -синих, нестабильных структурах в светло -голубых. Выбор параметров определяет возникновение и стабильность предельных циклов.

Ограниченные циклы важны во многих научных приложениях, где моделируются системы с самостоятельными колебаниями. Некоторые примеры включают:

Аэродинамические колебания предельного цикла ^{[ 1 ]}
Модель Ходжкина - Хексли для потенциалов действия в нейронах .
Модель гликолиза Sel'kov . ^{[ 2 ]}
Ежедневные колебания экспрессии генов, уровня гормонов и температуры тела животных, которые являются частью циркадного ритма , ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} Хотя это противоречит более поздним доказательствам. ^{[ 5 ]}
Миграция . раковых клеток в ограничивающих микроавтобусах следует за колебаниями ограниченного цикла ^{[ 6 ]}
Некоторые нелинейные электрические цепи демонстрируют колебания предельного цикла, ^{[ 7 ]} который вдохновил оригинальную модель Van der Pol .
Контроль дыхания и гематопоэза, как появляется в уравнениях Макки-Зеркаса . ^{[ 8 ]}

Смотрите также

Ссылки

^ Томас, Джеффри П.; Доуэлл, Эрл Х.; Холл, Кеннет С. (2002), «Нелинейное невистское аэродинамическое воздействие на трансническую дивергенцию, трепетание и колебания предельного цикла» (PDF) , AIAA Journal , 40 (4), Американский институт аэронавтики и астронавтики: 638, Bibcode : 2002aiaaj ..40..638T , doi : 10.2514/2.1720 , получен 9 декабря 2019 г.
^ Sel'kov, EE (1968). «Самооварихая в гликолизе 1. Простая кинетическая модель» . Европейский журнал биохимии . 4 (1): 79–86. doi : 10.1111/j.1432-1033.1968.tb00175.x . ISSN 1432-1033 . PMID 4230812 .
^ Лелуп, Жан-Кристоф; Гонзе, Дидье; Goldbeter, Albert (1999-12-01). «Модели ограниченного цикла для циркадных ритмов, основанных на регуляции транскрипции у дрозофилы и нейроспоры». Журнал биологических ритмов . 14 (6): 433–448. doi : 10.1177/074873099129000948 . ISSN 0748-7304 . PMID 10643740 . S2CID 15074869 .
^ Реннеберг, до; Чуа, Элейн Джейн; Бернардо, Рик; Мендоса, Эдуардо (2008-09-09). «Моделирование биологических ритмов» . Текущая биология . 18 (17): R826 - R835. Bibcode : 2008cbio ... 18.r826r . doi : 10.1016/j.cub.2008.07.017 . ISSN 0960-9822 . PMID 18786388 . S2CID 2798371 .
^ Meijer, JH; Мишель, S; Vanderleest, HT; Ролинг, JH (декабрь 2010 г.). «Ежедневная и сезонная адаптация циркадных часов требует пластичности нейрональной сети SCN». Европейский журнал нейробиологии . 32 (12): 2143–51. doi : 10.1111/j.1460-9568.2010.07522.x . PMID 21143668 . S2CID 12754517 .
^ Брюкнер, Дэвид Б.; Финк, Александра; Шрайбер, Кристоф; Röttgermann, Peter JF; Радлер, Иоахим; Broedersz, Chase P. (2019). «Стохастическая нелинейная динамика миграции ограниченной ячейки в системах с двумя государствами». Природа Физика . 15 (6): 595–601. Bibcode : 2019natph..15..595b . doi : 10.1038/s41567-019-0445-4 . ISSN 1745-2481 . S2CID 126819906 .
^ Джину, Жан-Марк; Летеллиер, Кристоф (2012-04-30). «Ван дер Пол и история расслабления колебаний: к появлению концепции». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 22 (2): 023120. Arxiv : 1408.4890 . Bibcode : 2012chaos..22b3120g . doi : 10.1063/1,3670008 . ISSN 1054-1500 . PMID 22757527 . S2CID 293369 .
^ Mackey, M.; Glass, L (1977-07-15). «Колебание и хаос в системах физиологического контроля» . Наука . 197 (4300): 287–289. Bibcode : 1977sci ... 197..287m . doi : 10.1126/science.267326 . ISSN 0036-8075 . PMID 267326 .

Дальнейшее чтение

Стивен Х. Строгац (2014). Нелинейная динамика и хаос: с применением к физике, биологии, химии и технике . Авалон. ISBN 9780813349114 .
М. Видьясагар (2002). Анализ нелинейных систем (второе изд.). Сиам ISBN 9780898715262 .
Филипп Хартман, «Обычное дифференциальное уравнение», Общество промышленной и прикладной математики, 2002.
Witold Hurewicz, «Лекции по обычным дифференциальным уравнениям», Dover, 2002.
Соломон Лефшетц, «Дифференциальные уравнения: геометрическая теория», Dover, 2005.
Лоуренс Перко, «Дифференциальные уравнения и динамические системы», Springer-Verlag, 2006.
Артур Маттук, Ограниченные циклы: критерии существования и несуществующего, MIT Open Courseware http://videolectures.net/mit1803s06_mattuck_lec32/#

Внешние ссылки

«Ограниченный цикл» . Planetmath.org . Получено 2019-07-06 .

[1] Томас, Джеффри П.; Доуэлл, Эрл Х.; Холл, Кеннет С. (2002), «Нелинейное невистское аэродинамическое воздействие на трансническую дивергенцию, трепетание и колебания предельного цикла» (PDF) , AIAA Journal , 40 (4), Американский институт аэронавтики и астронавтики: 638, Bibcode : 2002aiaaj ..40..638T , doi : 10.2514/2.1720 , получен 9 декабря 2019 г.

[2] Sel'kov, EE (1968). «Самооварихая в гликолизе 1. Простая кинетическая модель» . Европейский журнал биохимии . 4 (1): 79–86. doi : 10.1111/j.1432-1033.1968.tb00175.x . ISSN 1432-1033 . PMID 4230812 .

[3] Лелуп, Жан-Кристоф; Гонзе, Дидье; Goldbeter, Albert (1999-12-01). «Модели ограниченного цикла для циркадных ритмов, основанных на регуляции транскрипции у дрозофилы и нейроспоры». Журнал биологических ритмов . 14 (6): 433–448. doi : 10.1177/074873099129000948 . ISSN 0748-7304 . PMID 10643740 . S2CID 15074869 .

[4] Реннеберг, до; Чуа, Элейн Джейн; Бернардо, Рик; Мендоса, Эдуардо (2008-09-09). «Моделирование биологических ритмов» . Текущая биология . 18 (17): R826 - R835. Bibcode : 2008cbio ... 18.r826r . doi : 10.1016/j.cub.2008.07.017 . ISSN 0960-9822 . PMID 18786388 . S2CID 2798371 .

[5] Meijer, JH; Мишель, S; Vanderleest, HT; Ролинг, JH (декабрь 2010 г.). «Ежедневная и сезонная адаптация циркадных часов требует пластичности нейрональной сети SCN». Европейский журнал нейробиологии . 32 (12): 2143–51. doi : 10.1111/j.1460-9568.2010.07522.x . PMID 21143668 . S2CID 12754517 .

[6] Брюкнер, Дэвид Б.; Финк, Александра; Шрайбер, Кристоф; Röttgermann, Peter JF; Радлер, Иоахим; Broedersz, Chase P. (2019). «Стохастическая нелинейная динамика миграции ограниченной ячейки в системах с двумя государствами». Природа Физика . 15 (6): 595–601. Bibcode : 2019natph..15..595b . doi : 10.1038/s41567-019-0445-4 . ISSN 1745-2481 . S2CID 126819906 .

[7] Джину, Жан-Марк; Летеллиер, Кристоф (2012-04-30). «Ван дер Пол и история расслабления колебаний: к появлению концепции». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 22 (2): 023120. Arxiv : 1408.4890 . Bibcode : 2012chaos..22b3120g . doi : 10.1063/1,3670008 . ISSN 1054-1500 . PMID 22757527 . S2CID 293369 .

[8] Mackey, M.; Glass, L (1977-07-15). «Колебание и хаос в системах физиологического контроля» . Наука . 197 (4300): 287–289. Bibcode : 1977sci ... 197..287m . doi : 10.1126/science.267326 . ISSN 0036-8075 . PMID 267326 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]