Фанк-трансформация

В математической области интегральной геометрии ( преобразование Функа известное как преобразование Минковского-Функа , преобразование Функа-Радона или сферическое преобразование Радона ) представляет собой интегральное преобразование, определяемое путем интегрирования функции на больших кругах сферы также . Он был введен Полом Фанком в 1911 году на основе работы Минковского (1904) . Оно тесно связано с преобразованием Радона . Первоначальной мотивацией изучения преобразования Функа было описание метрик Золля на сфере.

Определение

Преобразование Фанка определяется следующим образом. Пусть ƒ — непрерывная функция на 2-сфере S ² в Р ³. Тогда для единичного вектора x пусть

Ff(\mathbf {x} )=\int _{\mathbf {u} \in C(\mathbf {x} )}f(\mathbf {u} )\,ds(\mathbf {u} )

где интеграл проводится по длине дуги ds большого круга C ( x ), состоящего из всех единичных векторов, перпендикулярных x :

C(\mathbf {x} )=\{\mathbf {u} \in S^{2}\mid \mathbf {u} \cdot \mathbf {x} =0\}.

Инверсия

Преобразование Функа аннулирует все нечетные функции , поэтому естественно ограничить внимание случаем, когда ƒ четно. В этом случае преобразование Функа переводит четные (непрерывные) функции в четные непрерывные функции и, кроме того, является обратимым.

Сферические гармоники

Любая интегрируемая с квадратом функция $f\in L^{2}(S^{2})$ на сфере можно разложить на сферические гармоники $Y_{n}^{k}$

f=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}}(n,k)Y_{n}^{k}.

Тогда преобразование Фанка функции f будет иметь вид

Ff=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=-n}^{n}P_{n}(0){\hat {f}}(n,k)Y_{n}^{k}

где $P_{2n+1}(0)=0$ для нечетных значений и

P_{2n}(0)=(-1)^{n}\,{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots 2n-1}{2\cdot 4\cdot 6\cdots 2n}}=(-1)^{n}\,{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}

для четных значений. Этот результат был показан Функ (1913) .

Формула обращения Хельгасона

Другая формула обращения принадлежит Хелгасону (1999) . Как и в случае с преобразованием Радона, формула обращения опирается на двойственное преобразование F *, определяемое формулой

(F^{*}f)(p,\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi \cos p}}\int _{\|\mathbf {u} \|=1,\mathbf {x} \cdot \mathbf {u} =\sin p}f(\mathbf {u} )\,|d\mathbf {u} |.

Это среднее значение функции окружности ƒ по окружностям на расстоянии дуги p от точки x . Обратное преобразование определяется выражением

f(\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi }}\left\{{\frac {d}{du}}\int _{0}^{u}F^{*}(Ff)(\cos ^{-1}v,\mathbf {x} )v(u^{2}-v^{2})^{-1/2}\,dv\right\}_{u=1}.

Обобщение

Классическая формулировка инвариантна относительно группы вращений SO(3) . Также возможно сформулировать преобразование Функа таким образом, чтобы оно было инвариантным относительно специальной линейной группы SL(3, R ) ( Bailey et al. 2003 ). Предположим, что ƒ — однородная функция степени −2 на R ³. Затем для линейно независимых векторов x и y определим функцию φ линейным интегралом

\varphi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )={\frac {1}{2\pi }}\oint f(u\mathbf {x} +v\mathbf {y} )(u\,dv-v\,du)

берется за простую замкнутую кривую, один раз окружающую начало координат. Дифференциальная форма

f(u\mathbf {x} +v\mathbf {y} )(u\,dv-v\,du)

замкнуто , что следует из однородности ƒ . С помощью замены переменных φ удовлетворяет

\phi (a\mathbf {x} +b\mathbf {y} ,c\mathbf {x} +d\mathbf {y} )={\frac {1}{|ad-bc|}}\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} ),

и, таким образом, дает однородную функцию степени −1 на внешнем квадрате R ³,

Ff(\mathbf {x} \wedge \mathbf {y} )=\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} ).

Функция Fƒ : Λ ²Р ³ → R согласуется с преобразованием Функа, когда ƒ представляет собой однородное расширение функции на сфере и проективном пространстве степени −2, связанном с Λ. ²Р ³ отождествляется с пространством всех кругов на сфере. Альтернативно, Λ ²Р ³ можно отождествить с R ³ SL(3, R )-инвариантным образом, и поэтому преобразование Функа F отображает гладкие даже однородные функции степени −2 на R ³\{0} для сглаживания даже однородных функций степени −1 на R ³\{0}.

Приложения

Преобразование Функа-Радона используется в методе Q-Ball для диффузионной МРТ, предложенном Тачем (2004) . Это также связано с телами пересечения в выпуклой геометрии. Позволять $K\subset \mathbb {R} ^{d}$ быть звездным телом с радиальной функцией $\rho _{K}({\boldsymbol {x}})=\max\{t:t{\boldsymbol {x}}\in K\},$ $x\in S^{d-1}$ . Тогда тело пересечения IK матрицы K имеет радиальную функцию $\rho _{IK}=F\rho _{K}$ ( Гарднер 2006 , стр. 305).

См. также

Ссылки

Бейли, Теннесси; Иствуд, Майкл Г.; Говер, А. Род; Мейсон, LJ (2003), «Комплексный анализ и преобразование Фанка» (PDF) , Журнал Корейского математического общества , 40 (4): 577–593, doi : 10.4134/JKMS.2003.40.4.577 , MR 1995065 , заархивировано из оригинал (PDF) на 03 марта 2016 г. , получено 19 июня 2009 г.
Данн, Сюзанна (2010), О преобразовании Минковского-Фанка , arXiv : 1003.5565 , Бибкод : 2010arXiv1003.5565D
Функ, Пол (1913), «На поверхностях, не имеющих ничего, кроме замкнутых геодезических линий» , Mathematical Annals , 74 (2): 278–300, doi : 10.1007/BF01456044 .
Функ, Пол (1915), «О геометрическом применении интегрального уравнения Абэ» , Mathematical Annals , 77 (1): 129–135, doi : 10.1007/BF01456824 , MR 1511851 .
Гиймен, Виктор (1976), «Преобразование Радона на поверхностях Золля», Advance in Mathematics , 22 (1): 85–119, doi : 10.1016/0001-8708(76)90139-0 , MR 0426063 .
Хельгасон, Сигурдур (1999), Преобразование Радона , Progress in Mathematics, vol. 5 (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4109-2 , МР 1723736 .
Минковский, Герман (1904), «О телах постоянной ширины», Математический сборник , 25 : 505–508.
Тач, Дэвид С. (2004). «Визуализация Q-Ball». Магн. Резон. Мед . 52 (6): 1358–1372. дои : 10.1002/мрм.20279 . ПМИД 15562495 .
Гарднер, Ричард Дж. (2006), Геометрическая томография , Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-86680-4