Перекрестное умножение

В математике , особенно в элементарной арифметике и элементарной алгебре , учитывая уравнение между двумя дробями или рациональными выражениями , можно перекрестно умножить, чтобы упростить уравнение или определить значение переменной.

Этот метод также иногда называют методом «перекрестить сердце», потому что можно нарисовать линии, напоминающие контур сердца, чтобы запомнить, какие элементы нужно перемножить.

Учитывая уравнение типа

{\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}},

где $b$ и $d$ не равны нулю, можно перекрестно умножить, чтобы получить

ad=bc\quad {\text{or}}\quad a={\frac {bc}{d}}.

В евклидовой геометрии того же расчета можно добиться, рассматривая отношения как у подобных треугольников .

Процедура

На практике метод перекрестного умножения означает, что мы умножаем числитель каждой (или одной) стороны на знаменатель другой стороны, эффективно пересекая члены:

{\frac {a}{b}}\nwarrow {\frac {c}{d}},\quad {\frac {a}{b}}\nearrow {\frac {c}{d}}.

Математическое обоснование метода основано на следующей более длинной математической процедуре. Если мы начнем с основного уравнения

{\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}},

мы можем умножить члены каждой стороны на одно и то же число, и члены останутся равными. Следовательно, если умножить дробь каждой части на произведение знаменателей обеих частей — $bd$ — получим

{\frac {a}{b}}\times bd={\frac {c}{d}}\times bd.

Мы можем свести дроби к наименьшим членам, заметив, что два вхождения $b$ в левой части сокращаются, как и два вхождения $d$ в правой части, оставляя

ad=bc,

и мы можем разделить обе части уравнения на любой из элементов — в этом случае мы будем использовать $d$ — получая

a={\frac {bc}{d}}.

Другое обоснование перекрестного умножения состоит в следующем. Начиная с данного уравнения

{\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}},

умножить на $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ d / d ⁠$ = 1 слева и через $⁠ b / b ⁠$ = 1 справа, получив

{\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{d}}={\frac {c}{d}}\times {\frac {b}{b}},

и так

{\frac {ad}{bd}}={\frac {cb}{db}}.

Сократим общий знаменатель $bd$ = $db$ , оставив

ad=cb.

Каждый шаг этих процедур основан на одном фундаментальном свойстве уравнений . Перекрестное умножение — это упрощенная, легко понятная процедура, которой можно научить студентов.

Использовать

Это обычная процедура в математике, используемая для сокращения дробей или вычисления значения заданной переменной в дроби. Если у нас есть уравнение

{\frac {x}{b}}={\frac {c}{d}},

где $x$ — переменная, решение которой нас интересует, мы можем использовать перекрестное умножение, чтобы определить, что

x={\frac {bc}{d}}.

Например, предположим, что мы хотим знать, какое расстояние проедет автомобиль за 7 часов, если мы знаем, что его скорость постоянна и что за последние 3 часа он уже проехал 90 миль. Преобразовав слово задача в пропорции, получим

{\frac {x}{7\ {\text{hours}}}}={\frac {90\ {\text{miles}}}{3\ {\text{hours}}}}.

Перекрестное умножение доходности

x={\frac {7\ {\text{hours}}\times 90\ {\text{miles}}}{3\ {\text{hours}}}},

и так

x=210\ {\text{miles}}.

Альтернативное решение

⁠ 90 миль / 3 часа ⁠ = 30 миль в час

Итак, 30 миль в час × 7 часов = 210 миль.

Обратите внимание, что даже простые уравнения, такие как

a={\frac {x}{d}}

решаются с помощью перекрестного умножения, поскольку недостающий $член b$ неявно равен 1:

{\frac {a}{1}}={\frac {x}{d}}.

Любое уравнение, содержащее дроби или рациональные выражения, можно упростить, умножив обе части на наименьший общий знаменатель . Этот шаг называется очисткой дробей .

Правило трех

Правило трех ^[1] Это была историческая сокращенная версия особой формы перекрестного умножения, которой можно было обучать студентов наизусть. Это считалось вершиной колониального математического образования. ^[2] и до сих пор фигурирует во французской национальной учебной программе среднего образования, ^[3] и в программе начального образования Испании. ^[4]

Для уравнения вида

{\frac {a}{b}}={\frac {c}{x}},

где оцениваемая переменная находится в правом знаменателе, правило трех гласит, что

x={\frac {bc}{a}}.

В этом контексте $a$ называется крайним значением пропорции , а $b$ и $c$ называются средними .

Это правило было известно китайским математикам еще до II века нашей эры. ^[5] хотя в Европе он использовался гораздо позже.

«Арифметика Кокера» , главный учебник 17 века, представляет обсуждение правила трёх. ^[6] с задачей «Если 4 ярда ткани стоят 12 шиллингов, то сколько будут стоить 6 ярдов по этой цене?» Правило трех дает непосредственный ответ на эту проблему; тогда как в современной арифметике мы бы решили ее, введя переменную $x,$ обозначающую стоимость 6 ярдов ткани, и записав уравнение

{\frac {4\ {\text{yards}}}{12\ {\text{shillings}}}}={\frac {6\ {\text{yards}}}{x}}

а затем используя перекрестное умножение для вычисления $x$ :

x={\frac {12\ {\text{shillings}}\times 6\ {\text{yards}}}{4\ {\text{yards}}}}=18\ {\text{shillings}}.

Анонимная рукопись 1570 года. ^[7] сказал:«Умножение — досада, / Разделение так же плохо; / Правило трех меня сбивает с толку, / И практика сводит меня с ума».

Чарльз Дарвин ссылается на использование им правила трех при оценке числа видов в недавно обнаруженном роде. ^[8] В письме Уильяму Дарвину Фоксу в 1855 году Чарльз Дарвин заявил: «Я не верю ни во что, кроме реальных измерений и правила трех». ^[9] Карл Пирсон принял это заявление в качестве девиза своего недавно основанного журнала «Биометрика» . ^[10]

Двойное правило трех

Расширением правила трех было двойное правило трех , которое включало поиск неизвестного значения там, где известны пять, а не три других значения.

Примером такой задачи может быть: Если 6 строителей могут построить 8 домов за 100 дней, сколько дней понадобится 10 строителям, чтобы построить 20 домов с той же скоростью? , и это можно настроить как

{\frac {\frac {8\ {\text{houses}}}{100\ {\text{days}}}}{6\ {\text{builders}}}}={\frac {\frac {20\ {\text{houses}}}{x}}{10\ {\text{builders}}}},

что при двукратном перекрестном умножении дает

x={\frac {20\ {\text{houses}}\times 100\ {\text{days}}\times 6\ {\text{builders}}}{8\ {\text{houses}}\times 10\ {\text{builders}}}}=150\ {\text{days}}.

» Льюиса Кэрролла В « Песне безумного садовника есть строки: «Он думал, что видел садовую дверь, / которая открывается ключом: / Он посмотрел еще раз и обнаружил, что это / двойное правило трех». ^[11]

См. также

Ссылки

^ Иногда это также называют золотым правилом , хотя такое использование встречается редко по сравнению с другими вариантами использования золотого правила . Видеть Э. Кобэм Брюэр (1898). «Золотое правило» . Словарь фраз и басен Брюера . Филадельфия: Генри Альтемус.
^ Убиратан Д'Амброзио; Джозеф В. Добен; Карен Хангер Паршалл (2014). «Математическое образование в Америке в досовременный период». У Александра Карпа; Герт Шубринг (ред.). Справочник по истории математического образования . Спрингер Наука. п. 177. ИСБН 978-1-4614-9155-2 .
^ «Socle de Connaissances, пильер 3» . Министерство образования Франции. 30 декабря 2012 года . Проверено 24 сентября 2015 г.
^ «Королевский указ 126/2014 от 28 февраля, устанавливающий базовую учебную программу начального образования» . Министерство образования, культуры и спорта. 28 февраля 2014. с. 19349–19420 . Проверено 10 мая 2022 г.
^ Шэнь Каншен; Джон Н. Кроссли; Энтони В.-К. Лунь (1999). Девять глав математического искусства: спутник и комментарий . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета.
^ Эдвард Кокер (1702 г.). Арифметика Кокера . Лондон: Джон Хокинс. п. 103 .
^ Краткий Оксфордский словарь цитат, 1964.
^ Ариев, Андре (2022). «Чарльз Дарвин как статистический мыслитель» . Исследования по истории и философии науки . 95 : 215–223. дои : 10.1016/j.shpsa.2022.08.005 . ПМИД 36113233 . S2CID 252246047 .
^ Стиглер, Стивен М. (7 марта 2016 г.). Семь столпов статистической мудрости (Иллюстрированное издание). Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0674088917 .
^ Стиглер, Стивен М. (7 марта 2016 г.). Семь столпов статистической мудрости (Иллюстрированное издание). Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0674088917 .
^ Сильви и Бруно , Глава 12.

Дальнейшее чтение

Брайан Бурелл: Руководство Merriam-Webster по повседневной математике: справочник по дому и бизнесу . Мерриам-Вебстер, 1998 г., ISBN 9780877796213 , стр. 85–101.
«Доктор математика», Правило трех
«Доктор Математик», Авраам Линкольн и правило трех
Сокращенная система арифметики Пайка: предназначена для облегчения изучения науки о числах, включает наиболее ясные и точные правила, иллюстрируется полезными примерами, к которым добавлены соответствующие вопросы для проверки ученых и краткая система книг. сохранение. , 1827 г. - факсимиле соответствующего раздела
Правило трех, примененное Михаилом Родосским в пятнадцатом веке.
Правило трёх в «Матушке Гусыне»
Редьярд Киплинг: Вы можете решить это с помощью дробей или простого правила трех, но путь Твидл-дума — это не путь Твидл-ди.

Внешние ссылки

СМИ, связанные с перекрестным умножением, на Викискладе?

[1] Иногда это также называют золотым правилом , хотя такое использование встречается редко по сравнению с другими вариантами использования золотого правила . Видеть Э. Кобэм Брюэр (1898). «Золотое правило» . Словарь фраз и басен Брюера . Филадельфия: Генри Альтемус.

[2] Убиратан Д'Амброзио; Джозеф В. Добен; Карен Хангер Паршалл (2014). «Математическое образование в Америке в досовременный период». У Александра Карпа; Герт Шубринг (ред.). Справочник по истории математического образования . Спрингер Наука. п. 177. ИСБН 978-1-4614-9155-2 .

[3] «Socle de Connaissances, пильер 3» . Министерство образования Франции. 30 декабря 2012 года . Проверено 24 сентября 2015 г.

[4] «Королевский указ 126/2014 от 28 февраля, устанавливающий базовую учебную программу начального образования» . Министерство образования, культуры и спорта. 28 февраля 2014. с. 19349–19420 . Проверено 10 мая 2022 г.

[5] Шэнь Каншен; Джон Н. Кроссли; Энтони В.-К. Лунь (1999). Девять глав математического искусства: спутник и комментарий . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета.

[6] Эдвард Кокер (1702 г.). Арифметика Кокера . Лондон: Джон Хокинс. п. 103 .

[7] Краткий Оксфордский словарь цитат, 1964.

[8] Ариев, Андре (2022). «Чарльз Дарвин как статистический мыслитель» . Исследования по истории и философии науки . 95 : 215–223. дои : 10.1016/j.shpsa.2022.08.005 . ПМИД 36113233 . S2CID 252246047 .

[9] Стиглер, Стивен М. (7 марта 2016 г.). Семь столпов статистической мудрости (Иллюстрированное издание). Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0674088917 .

[10] Стиглер, Стивен М. (7 марта 2016 г.). Семь столпов статистической мудрости (Иллюстрированное издание). Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0674088917 .

[11] Сильви и Бруно , Глава 12.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]