Геопотенциал

Геопотенциал это потенциал гравитационного Земли поля . – Для удобства его часто определяют как отрицательную величину потенциальной энергии на единицу массы , так что вектор гравитации получается как градиент геопотенциала без отрицания. Помимо реального потенциала (геопотенциала) гипотетический нормальный потенциал и их разность — возмущающий потенциал можно определить также .

Концепции

Для геофизических приложений гравитацию отличают от гравитации . Гравитация определяется как результирующая сила гравитации и центробежная сила, вызванная вращением Земли . Аналогичным образом, соответствующие скалярные потенциалы могут быть добавлены, чтобы сформировать эффективный потенциал, называемый геопотенциалом. $W$ . Поверхности постоянного геопотенциала или изоповерхности геопотенциала называются эквигеопотенциальными поверхностями (иногда сокращенно geop ), ^[1] также известные как геопотенциальные поверхности уровня , эквипотенциальные поверхности или просто поверхности уровня . ^[2]

Средняя глобальная поверхность моря близка к одному эквигеопотенциалу, называемому геоидом . ^[3] Как сила гравитации и центробежная сила складываются в силу, ортогональную геоиду, показано на рисунке (не в масштабе). На широте 50 градусов смещение между силой гравитации (красная линия на рисунке) и местной вертикалью (зеленая линия на рисунке) фактически составляет 0,098 градуса. Для движущейся точки массы (атмосферы) центробежная сила больше не соответствует гравитационной, а сумма векторов не совсем ортогональна поверхности Земли. Это является причиной эффекта Кориолиса для движения атмосферы.

Геоид представляет собой слегка волнистую поверхность из-за неравномерного распределения массы внутри Земли; Однако его можно аппроксимировать эллипсоидом вращения, называемым опорным эллипсоидом . Наиболее широко используемый в настоящее время опорный эллипсоид Геодезической опорной системы 1980 года ( GRS80 ) аппроксимирует геоид с точностью чуть более ±100 м. Можно построить простую модель геопотенциала. $U$ который имеет в качестве одной из своих эквипотенциальных поверхностей этот опорный эллипсоид с тем же модельным потенциалом $U_{0}$ как истинный потенциал $W_{0}$ геоида; эта модель называется нормальным потенциалом . Разница $T=W-U$ называется возмущающим потенциалом . Многие наблюдаемые величины гравитационного поля, такие как гравитационные аномалии и отклонения вертикали ( отвеса ), могут быть выражены в этом возмущающем потенциале.

Фон

Схема двух масс, притягивающих друг друга

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что гравитационная сила F, действующая между двумя точечными массами m ₁ и m ₂ с между центрами масс расстоянием r, определяется выражением

\mathbf {F} =-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}

где G — гравитационная постоянная , а r — радиальный единичный вектор . Для неточечного объекта с непрерывным распределением массы каждый элемент массы dm можно рассматривать как массу, распределенную по небольшому объему, поэтому интеграл объема по протяженности объекта 2 дает:

\mathbf {\bar {F}} =-Gm_{1}\int \limits _{V}{\frac {\rho _{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} \,dx\,dy\,dz

( 1 )

с соответствующим гравитационным потенциалом

V=-G\int \limits _{V}{\frac {\rho _{2}}{r}}\,dx\,dy\,dz

( 2 )

где ρ ₂ = ρ( x , y , z ) — плотность массы в элементе объема и направлении от элемента объема к точечной массе 1. $u$ - гравитационная потенциальная энергия на единицу массы.

Гравитационное поле Земли можно получить из поля гравитационного потенциала ( геопотенциала ) следующим образом:

\mathbf {g} =\nabla W=\mathrm {grad} \ W={\frac {\partial W}{\partial X}}\mathbf {i} +{\frac {\partial W}{\partial Y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial W}{\partial Z}}\mathbf {k}

который выражает вектор ускорения силы тяжести как градиент $W$ , потенциал гравитации. Векторная триада $\{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}$ — ортонормированный набор базовых векторов в пространстве, направленных вдоль $X,Y,Z$ координатные оси.Здесь, $X$ , $Y$ и $Z$ являются геоцентрическими координатами .

Формулировка

И гравитация, и ее потенциал содержат вклад центробежной псевдосилы, возникающей из-за вращения Земли. Мы можем написать

W=V+\Phi \,

где $V$ – потенциал гравитационного поля , $W$ гравитационного поля и $\Phi$ что и центробежное поле .

Центробежный потенциал

Центробежная сила на единицу массы, т. е. ускорение, определяется выражением

\mathbf {g} _{c}=\omega ^{2}\mathbf {p} ,

где

\mathbf {p} =X\mathbf {i} +Y\mathbf {j} +0\cdot \mathbf {k}

- вектор, указывающий на точку, считающуюся прямой от оси вращения Земли. Можно показать, что это псевдосиловое поле в системе отсчета, вращающейся вместе с Землей, имеет потенциал, связанный с ним с точки зрения скорости вращения Земли ω:

\Phi ={\frac {1}{2}}\omega ^{2}(X^{2}+Y^{2}).

В этом можно убедиться, взяв градиент ( $\nabla$ ) оператор этого выражения.

Центробежный потенциал также можно выразить через сферическую широту φ и геоцентрический радиус r :

\Phi =0.5\,\omega ^{2}r^{2}\sin ^{2}\phi

Нормальный потенциал

Земля имеет форму приблизительно эллипсоида .Таким образом, геопотенциал можно аппроксимировать полем, является земной эллипсоид одной из эквипотенциальных поверхностей которого .

Подобно реальному геопотенциальному полю W , нормальное поле U (не путать с потенциальной энергией , также U ) строится как сумма двух частей:

U=\Psi +\Phi

где $\Psi$ - нормальный гравитационный потенциал и $\Phi$ центробежный потенциал.

Точное выражение в замкнутой форме существует в терминах эллипсоидно-гармонических координат (не путать с геодезическими координатами ). ^[4]Его также можно выразить как разложение в ряд по сферическим координатам; усечение ряда приводит к: ^[4]

\Psi \approx (GM/r)(1-(a/r)^{2}J_{2}((3/2)\cos ^{2}(\phi )-1/2))

где a — большая полуось , а J ₂ — второй динамический форм-фактор . ^[4]

Самый последний земной эллипсоид — это GRS80 , или геодезическая система отсчета 1980 года, которую система глобального позиционирования использует в качестве эталона. Его геометрические параметры: большая полуось а = 6378137,0 м, уплощение f = 1/298,257222101.Если мы также потребуем, чтобы приложенная масса была равна известной массе Земли (включая атмосферу), GM = 3986005 × 10. ⁸ м ³·с ⁻² получаем : , для потенциала на опорном эллипсоиде

U_{0}=62636860.850\ {\textrm {m}}^{2}\,{\textrm {s}}^{-2}

Очевидно, это значение зависит от предположения, что потенциал асимптотически стремится к нулю на бесконечности ( $R\rightarrow \infty$ ), как это принято в физике. Для практических целей имеет смысл выбрать нулевую точку нормальной гравитации в качестве точки отсчета эллипсоида и относить к ней потенциалы других точек.

Тревожный потенциал

Когда-то чистое, гладкое геопотенциальное поле $U$ было построено сопоставление известного опорного эллипсоида GRS80 с эквипотенциальной поверхностью (такое поле мы называем нормальным потенциалом ) мы можем вычесть его из истинного (измеренного) потенциала $W$ настоящей Земли. Результат определяется как T , возмущающий потенциал :

T=W-U

Возмущающий потенциал T численно намного меньше, чем U или W , и отражает подробные, сложные изменения истинного гравитационного поля реально существующей Земли от точки к точке, в отличие от общей глобальной тенденции, фиксируемой плавным математический эллипсоид нормального потенциала.

Геопотенциальное число

В практических наземных работах, например при нивелировании , используется альтернативный вариант геопотенциала, называемый числом геопотенциала. $C$ , которые отсчитываются от геоида вверх: $C=-\left(W-W_{0}\right),$ где $W_{0}$ – геопотенциал геоида.

Простой случай: невращающаяся симметричная сфера.

В частном случае сферы со сферически-симметричной плотностью массы тогда ρ = ρ( s ); т. е. плотность зависит только от радиального расстояния

s={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,.

Эти интегралы можно оценить аналитически. Это теорема оболочки, говорящая, что в этом случае:

{\bar {F}}=-{\frac {GMm}{R^{2}}}\ {\hat {r}}

( 3 )

с соответствующим потенциалом

\Psi =-{\frac {GM}{r}}

( 4 )

где M = ∫ _V ρ( s ) dxdydz — полная масса сферы.

Для целей орбитальной механики спутников геопотенциал обычно описывается разложением в ряд по сферическим гармоникам ( спектральное представление). В этом контексте геопотенциал принимается за потенциал гравитационного поля Земли, то есть без учета центробежного потенциала.Решение геопотенциала в простом случае невращающейся сферы в единицах [м ²/с ²] или [Дж/кг]: ^[5] $\Psi (h)=\int _{0}^{h}g\,dz$ $\Psi =\int _{0}^{z}\left[{\frac {Gm}{(a+z)^{2}}}\right]dz$

Интегрируйте, чтобы получить $\Psi =Gm\left[{\frac {1}{a}}-{\frac {1}{a+z}}\right]$ где:

$Г = 6,673 \times 10 -11 Нм 2 /кг 2$ гравитационная постоянная,
$м = 5,975 \times 1024 кг$ – масса Земли,
$а = 6,378 \times 106 м$ – средний радиус Земли,
$z$ — геометрическая высота в метрах

См. также

Ссылки

^ Хойберг, М. (2007). Геометрическая геодезия: использование информационных и компьютерных технологий . Шпрингер Берлин Гейдельберг. п. 9. ISBN 978-3-540-68225-7 . Проверено 11 сентября 2023 г.
^ «Геопотенциал» . ametsoc.com . Проверено 14 апреля 2023 г.
^ Хейсканен, Вейкко Алексантери ; Мориц, Гельмут (1967). Физическая геодезия . У. Х. Фриман . ISBN 0-7167-0233-9 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Торге, Геодезия. 3-е изд. 2001.
^ Холтон, Джеймс Р. (2004). Введение в динамическую метеорологию (4-е изд.). Берлингтон: Эльзевир . ISBN 0-12-354015-1 .

[Hooijberg_2007_p._9-1] Хойберг, М. (2007). Геометрическая геодезия: использование информационных и компьютерных технологий . Шпрингер Берлин Гейдельберг. п. 9. ISBN 978-3-540-68225-7 . Проверено 11 сентября 2023 г.

[2] «Геопотенциал» . ametsoc.com . Проверено 14 апреля 2023 г.

[3] Хейсканен, Вейкко Алексантери ; Мориц, Гельмут (1967). Физическая геодезия . У. Х. Фриман . ISBN 0-7167-0233-9 .

[Torge-4] Jump up to: ^а ^б ^с Торге, Геодезия. 3-е изд. 2001.

[5] Холтон, Джеймс Р. (2004). Введение в динамическую метеорологию (4-е изд.). Берлингтон: Эльзевир . ISBN 0-12-354015-1 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]