Абсолютная группа Галуа

Абсолютная группа Галуа действительных чисел — это циклическая группа порядка 2, порожденная комплексным сопряжением, поскольку C — сепарабельное замыкание R и [ C : R ] = 2.

В математике абсолютная группа Галуа G _K поля поля K это группа Галуа K. — ^{сентябрь} над K , где K ^{сентябрь} является сепарабельным замыканием K . Альтернативно это группа всех автоморфизмов замыкания алгебраического K , которые фиксируют K . Абсолютная группа Галуа определена с точностью до внутреннего автоморфизма . Это проконечная группа .

(Когда K — идеальное поле , K ^{сентябрь} то же самое, что алгебраическое замыкание K ^Алг К. ​ ​Это справедливо, например, для K или нулевой характеристики K — конечного поля .)

Примеры

• Абсолютная группа Галуа алгебраически замкнутого поля тривиальна.
• Абсолютная группа Галуа действительных чисел представляет собой циклическую группу из двух элементов (комплексное сопряжение и тождественное отображение), поскольку C является сепарабельным замыканием R и [ C : R ] = 2.
• Абсолютная группа Галуа конечного поля K изоморфна группе проконечных целых чисел

${\hat {\mathbf {Z} }}=\varprojlim \mathbf {Z} /n\mathbf {Z} .$

(Обозначения см. в разделе Обратный предел .)

Автоморфизм Фробениуса каноническим (топологическим) генератором GK _{Fr является} . (Напомним, что Fr( x ) = x ^д для всех x в K ^Алг , где q — количество элементов в K .)

• Абсолютная группа Галуа поля рациональных функций с комплексными коэффициентами свободна (как проконечная группа). Этот результат принадлежит Адриану Дуади и берет свое начало в теореме существования Римана .
• В более общем смысле, пусть C — алгебраически замкнутое поле, а x — переменная. Тогда абсолютная группа Галуа группы K = C ( x равного мощности C. ) не имеет ранга , Этот результат принадлежит Дэвиду Харбатеру и Флориану Попу , а также был позже доказан Дэном Хараном и Моше Жарденом с использованием алгебраических методов.
• Пусть K — конечное расширение чисел -адических Qp _p . При p ≠ 2 ее абсолютная группа Галуа порождается [ K : Q _p ] + 3 элементами и имеет явное описание генераторами и отношениями. Это результат Уве Яннсена и Кей Вингберг. Некоторые результаты известны в случае p = 2, но структура Q ₂ неизвестна.
• Другой случай, когда абсолютная группа Галуа была определена, - это самое большое полностью вещественное подполе поля алгебраических чисел.

Проблемы

• Никакого прямого описания абсолютной группы Галуа рациональных чисел не известно . следует В этом случае из теоремы Белого что абсолютная группа Галуа оказывает точное действие на рисунки Гротендика , (отображения на поверхности), что позволяет нам «увидеть» теорию Галуа полей алгебраических чисел.
• Пусть K — максимальное абелево расширение рациональных чисел. Тогда гипотеза Шафаревича утверждает, что абсолютная группа Галуа группы K является свободной проконечной группой.
• Интересная проблема заключается в разрешении гипотезы Яна Минача и Нгуена Дуй Тана об исчезновении $n$- Продукция Massey для $n\geq 3$.

Некоторые общие результаты

• Каждая проконечная группа встречается как группа Галуа некоторого расширения Галуа: однако не каждая проконечная группа встречается как абсолютная группа Галуа. Например, теорема Артина-Шрайера утверждает, что единственные конечные абсолютные группы Галуа либо тривиальны, либо имеют порядок 2, то есть только два класса изоморфизма.
• Любая проективная проконечная группа может быть реализована как абсолютная группа Галуа псевдоалгебраически замкнутого поля . Этот результат принадлежит Александру Любоцки и Лу ван ден Дрису .

Ссылки

Источники

• Дуади, Адриен (1964), «Определение группы Галуа», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris , 258 : 5305–5308, MR   0162796
• Фрид, Майкл Д.; Жарден, Моше (2008), Полевая арифметика , результаты математики и ее границы. 3-я серия, том. 11 (3-е изд.), Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-77269-9 , Збл   1145.12001
• Харан, Дэн; Жарден, Моше (2000), «Абсолютная группа Галуа C ( x )», Pacific Journal of Mathematics , 196 (2): 445–459, doi : 10.2140/pjm.2000.196.445 , MR   1800587
• Харбатер, Дэвид (1995), «Фундаментальные группы и проблемы вложения в характеристику p », Последние разработки в обратной задаче Галуа (Сиэтл, Вашингтон, 1993) , Contemporary Mathematics, vol. 186, Провиденс, Род-Айленд : Американское математическое общество , стр. 353–369, MR   1352282.
• Яннсен, Уве; Вингберг, Кей (1982), "Структура абсолютной группы Галуа" . ${\mathfrak {p}}$-adischer Zahlkörper" (PDF) , Mathematical Inventions , 70 : 71–78, Bibcode : 1982InMat..70...71J , doi : 10.1007/bf01393199 , S2CID   119378923
• Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей , Основы математических наук , том. 323, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-66671-4 , МР   1737196 , Збл   0948.11001
• Поп, Флориан (1995), «Этальные накрытия Галуа аффинных гладких кривых. Геометрический случай гипотезы Шафаревича. О гипотезе Абхьянкара», Inventiones Mathematicae , 120 (3): 555–578, Bibcode : 1995InMat.120..555P , doi : 10.1007/bf01241142 , MR   1334484 , S2CID   128157587
• Минач, Ян; Тан, Нгуен Дуй (2016), «Тройные произведения Масси и теория Галуа», Журнал Европейского математического общества , 19 (1): 255–284
• Харпас, Йонатан; Виттенберг, Оливье (2023), «Гипотеза об исчезновении Мэсси для числовых полей», Duke Mathematical Journal , 172 (1): 1–41
• Самуэли, Тамаш (2009), Группы Галуа и фундаментальные группы , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 117, Кембридж : Издательство Кембриджского университета