Квантовая вычислительная химия

Основные статьи: Квантовая химия , Электронная структура и Квантовые вычисления.

Квантовая вычислительная химия — это новая область, которая использует квантовые вычисления для моделирования химических систем. Несмотря на основополагающую роль квантовой механики в понимании химического поведения, традиционные вычислительные подходы сталкиваются с серьезными проблемами, в основном из-за сложности и интенсивности вычислений квантово-механических уравнений. Эта сложность возникает из-за экспоненциального роста волновой функции квантовой системы с каждой добавленной частицей, что делает точное моделирование на классических компьютерах неэффективным.

Ожидается, что эффективные квантовые алгоритмы для решения химических задач будут иметь время выполнения и требования к ресурсам, которые полиномиально масштабируются в зависимости от размера системы и желаемой точности. Экспериментальные усилия подтвердили принципиальные химические расчеты, хотя в настоящее время они ограничиваются небольшими системами.

история квантовой

• 1929: Дирак отметил присущую квантово-механическим уравнениям сложность, подчеркнув трудности решения этих уравнений с использованием классических вычислений.
• 1982: Фейнман предложил использовать квантовое оборудование для моделирования, обращая внимание на неэффективность классических компьютеров при моделировании квантовых систем.

методы квантовой

Хотя в квантовой химии существует несколько распространенных методов, в разделе ниже перечислены лишь несколько примеров.

Кубитизация

Основная статья: Унитарное преобразование (квантовая механика)

Кубитизация — это математическая и алгоритмическая концепция квантовых вычислений для моделирования квантовых систем с помощью гамильтоновой динамики. Основная идея кубитизации состоит в том, чтобы закодировать задачу гамильтонового моделирования таким образом, чтобы его можно было более эффективно обрабатывать квантовыми алгоритмами.

Кубитизация включает в себя преобразование оператора Гамильтона — центрального объекта квантовой механики, представляющего полную энергию системы. В классических вычислительных терминах гамильтониан можно рассматривать как матрицу, описывающую энергетические взаимодействия внутри квантовой системы. Цель кубитизации — встроить этот гамильтониан в более крупный унитарный оператор, который представляет собой тип оператора в квантовой механике, сохраняющий норму векторов, на которые он действует.

Математически процесс кубитизации создает унитарный оператор $U$ такая, что конкретная проекция $U$ пропорционален гамильтониану $H$ интереса. Эту связь часто можно представить как $H=\langle G|U|G\rangle$, где $|G\rangle$ является особым квантовым состоянием и $\langle G|$ является его сопряженным транспонированием. Эффективность этого метода обусловлена ​​тем, что унитарный оператор $U$ может быть реализован на квантовом компьютере с меньшим количеством ресурсов (таких как кубиты и квантовые вентили), чем потребуется для прямого моделирования. $H.$

Ключевой особенностью кубитизации является моделирование гамильтоновой динамики с высокой точностью при одновременном сокращении затрат квантовых ресурсов. Эта эффективность особенно полезна в квантовых алгоритмах, где необходимо моделирование сложных квантовых систем, например, в квантовой химии и симуляции материаловедения. Кубитизация также позволяет разрабатывать квантовые алгоритмы для решения определенных типов задач более эффективно, чем классические алгоритмы. Например, это имеет значение для алгоритма квантовой фазы оценки, который является фундаментальным в различных приложениях квантовых вычислений, включая факторизацию и решение линейных систем уравнений.

Применение кубитизации в химии

базисные

В базисных наборах гауссовых орбит алгоритмы оценки фазы были оптимизированы эмпирически из ${\mathcal {O}}(M^{11})$ к ${\mathcal {O}}(M^{5})$ где $M$ количество базисных наборов. Усовершенствованные алгоритмы гамильтонового моделирования еще больше сократили масштабирование благодаря внедрению таких методов, как методы рядов Тейлора и кубитизация, что обеспечивает более эффективные алгоритмы с меньшими вычислительными требованиями.

Базисные наборы плоских волн

Базисные наборы плоских волн, подходящие для периодических систем, также продемонстрировали повышение эффективности алгоритмов за счет усовершенствований подходов на основе формул произведения и методов рядов Тейлора.

фазы

См. Также: Квантовое преобразование Фурье и алгоритм оценки квантовой фазы.

Обзор

Оценка фазы, предложенная Китаевым в 1996 году, определяет собственное состояние с наименьшей энергией ( $|E_{0}\rangle$ ) и возбужденные состояния ( $|E_{i}\rangle$ ) физического гамильтониана, подробно описанного Абрамсом и Ллойдом в 1999 году. В квантовой вычислительной химии этот метод используется для кодирования фермионных гамильтонианов в структуру кубита .

Краткая методология

Инициализация

Стандартная схема оценки квантовой фазы использует три вспомогательных кубита. В этой конфигурации, когда вспомогательные кубиты находятся в состоянии $|k\rangle$, управляемое вращение, обозначаемое как $e^{-\pi \cdot H\cdot i\cdot 2^{k}}$, применяется к целевому состоянию $|\psi \rangle$. Эта операция является ключевым компонентом процесса. Термин «QFT» относится к квантовому преобразованию Фурье, фундаментальной операции квантовых вычислений, подробно описанной . На заключительном этапе процесса вспомогательные кубиты измеряются в вычислительной базе. Это измерение приводит к тому, что вспомогательные кубиты сжимаются до определенного собственного значения гамильтониана ( $H$), одновременно сжимая регистровые кубиты в приближение соответствующего собственного состояния энергии. Этот механизм является центральным в функционировании схемы оценки квантовой фазы, позволяя оценивать уровни энергии исследуемой системы.

Регистр кубита инициализируется в состоянии, которое имеет ненулевое перекрытие с целевым собственным состоянием полного взаимодействия конфигурации (FCI) системы. Это состояние $|\psi \rangle$ выражается как сумма по собственным состояниям энергии гамильтониана, $|\psi \rangle =\sum _{i=1}c_{i}|E_{i}\rangle$ , где $c_{i}$представляет комплексные коэффициенты.

Применение ворот Адамара

Каждый вспомогательный кубит подвергается воздействию вентиля Адамара, переводя вспомогательный регистр в наложенное состояние. Впоследствии управляемые ворота, как показано выше, изменяют это состояние.

Обратное

Это преобразование применяется к вспомогательным кубитам, раскрывая фазовую информацию, которая кодирует собственные значения энергии.

Измерение

Вспомогательные кубиты измеряются в базисе Z, сжимая основной регистр в соответствующее собственное состояние энергии. $|E_{i}\rangle$ на основе вероятности $|c_{i}|^{2}$.

Требования

Алгоритм требует $\omega$ вспомогательные кубиты, количество которых определяется желаемой точностью и вероятностью успеха оценки энергии. Получение двоичной оценки энергии с точностью до n бит с вероятностью успеха $p$ требует. $\omega =n+\lceil \log _{2}\left(2+{\frac {1}{2p}}\right)\rceil$ вспомогательные кубиты. Эта оценка фазы была подтверждена экспериментально в различных квантовых архитектурах.

Применение

Эволюция времени

Полная когерентная эволюция во времени $T$ необходимое для алгоритма примерно $T=2^{(\omega +1)}\pi$. Общее время эволюции связано с двоичной точностью. $\varepsilon _{\text{PE}}={\frac {1}{2^{n}}}$, с ожидаемым повторением процедуры точной оценки основного состояния. К ошибкам алгоритма относятся ошибки оценки собственного значения энергии ( $\varepsilon _{PE}$), унитарные эволюции ( $\varepsilon _{U}$) и ошибки синтеза схемы ( $\varepsilon _{CS}$), которые можно определить количественно с помощью таких методов, как теорема Соловея-Китаева .

Алгоритм оценки фазы можно улучшить или изменить несколькими способами, например, используя один вспомогательный кубит для последовательных измерений, повышая эффективность, распараллеливая или повышая устойчивость к помехам в аналитической химии. Алгоритм также можно масштабировать, используя классически полученные знания об энергетических зазорах между состояниями.

Ограничения

Необходима эффективная подготовка состояния , поскольку случайно выбранное состояние экспоненциально уменьшит вероятность коллапса до желаемого основного состояния. Были предложены различные методы подготовки состояния, включая классические подходы и квантовые методы, такие как приготовление адиабатического состояния.

Вариационный квантовый собственный решатель (VQE)

Основная статья: Вариационный квантовый собственный решатель

Обзор

Вариационный квантовый собственный решатель — это алгоритм квантовых вычислений, имеющий решающее значение для квантового оборудования ближайшего будущего. Первоначально предложено Перуццо и др. в 2014 г. и получили дальнейшее развитие McClean et al. в 2016 году VQE находит наименьшее собственное значение гамильтонианов, особенно в химических системах. Он использует вариационный метод (квантовая механика) , который гарантирует, что математическое ожидание гамильтониана для любой параметризованной пробной волновой функции является, по крайней мере, собственным значением наименьшей энергии этого гамильтониана. VQE — это гибридный алгоритм, в котором используются как квантовые, так и классические компьютеры. Квантовый компьютер подготавливает и измеряет квантовое состояние, а классический компьютер обрабатывает эти измерения и обновляет систему. Эта синергия позволяет VQE преодолеть некоторые ограничения чисто квантовых методов.

Применение

Расчеты 1-RDM и 2-RDM

См. также: Матрица плотности.

Матрицы уменьшенной плотности (1-RDM и 2-RDM) можно использовать для экстраполяции электронной структуры системы.

энергии

В гамильтоновом вариационном анзаце начальное состояние $|\psi _{0}\rangle$ подготовлен для представления основного состояния молекулярного гамильтониана без электронных корреляций. Эволюция этого состояния под действием гамильтониана, разбитого на коммутирующие сегменты $H_{j}$ , определяется уравнением ниже.

$|\psi (\theta )\rangle =\prod _{d}\prod _{j}e^{i\theta _{d,j}H_{j}}|\psi _{0}\rangle$

где $\theta _{d,j}$ — это вариационные параметры, оптимизированные для минимизации энергии, позволяющие лучше понять электронную структуру молекулы.

Масштабирование измерений

МакКлин и др. (2016) и Ромеро и др. (2019) предложили формулу для оценки количества измерений ( $N_{m}$ ) требуется для энергетической точности. Формула имеет вид $N_{m}=\left(\sum _{i}|h_{i}|\right)^{2}/\epsilon ^{2}$ , где $h_{i}$ являются коэффициентами каждой струны Паули в гамильтониане. Это приводит к масштабированию ${\mathcal {O}}(M^{6}/\epsilon ^{2})$ в гауссовском орбитальном базисе и ${\mathcal {O}}(M^{4}/\epsilon ^{2})$ в плосковолновом двойственном базисе. Обратите внимание, что $M$ — количество базисных функций в выбранном базисном наборе.

фермионных

Метод Боне-Монройга, Бэббуша и О'Брайена (2019) фокусируется на группировке членов на фермионном уровне, а не на уровне кубита , что приводит к требованию измерения всего лишь ${\mathcal {O}}(M^{2})$ схемы с дополнительной глубиной затвора ${\mathcal {O}}(M)$.

Ограничения VQE

Хотя применение VQE для решения электронного уравнения Шредингера для малых молекул показало успех, его масштабируемость сдерживается двумя основными проблемами: сложностью требуемых квантовых схем и сложностью классического процесса оптимизации. На эти проблемы существенное влияние оказывает выбор вариационного анзаца, который используется для построения пробной волновой функции. Современные квантовые компьютеры сталкиваются с ограничениями при работе с глубокими квантовыми схемами, особенно при использовании существующих анзацев для задач, превышающих несколько кубитов.

Кодировка Джордана-Вигнера

Основная статья: преобразование Джордана-Вигнера

Кодирование Джордана-Вигнера — это метод квантовых вычислений, используемый для моделирования фермионных систем, таких как молекулярные орбитали и электронные взаимодействия в квантовой химии.

Обзор

В квантовой химии электроны моделируются как фермионы с антисимметричными волновыми функциями . Кодировка Джордана-Вигнера отображает эти фермионные орбитали в кубиты, сохраняя их антисимметричную природу. Математически это достигается путем сопоставления каждого фермионного творения $(a_{i}^{\dagger })$ и уничтожение $(a_{i})$ оператор с соответствующими операторами кубита посредством преобразования Джордана-Вигнера :

$a_{i}^{\dagger }\rightarrow {\frac {1}{2}}\left(\prod _{k=1}^{i-1}Z_{k}\right)(X_{i}-iY_{i})$

Где $X_{i}$ , $Y_{i}$ , и $Z_{i}$ матрицы Паули, действующие на $i^{\text{th}}$ кубит.

Применение кодирования Джордана-

Электронный прыжок

Прыжки электронов между орбиталями, играющие центральную роль в химической связи и реакциях, описываются такими терминами, как $a^{\dagger _{i}}a_{j}+a^{\dagger _{j}}a_{i}$. При кодировании Джордана-Вигнера они преобразуются следующим образом: $$a_{i}^{\dagger }a_{j}+a_{j}^{\dagger }a_{i}\rightarrow {\frac {1}{2}}(X_{i}X_{j}+Y_{i}Y_{j})Z_{i+1}\cdots Z_{j-1}$$Это преобразование отражает квантовомеханическое поведение движения и взаимодействия электронов внутри молекул.

сложность в

На сложность моделирования молекулярной системы с использованием кодирования Жордана-Вигнера влияет структура молекулы и характер электронных взаимодействий. Для молекулярной системы с $K$ орбиталей, количество необходимых кубитов линейно масштабируется с $K$ , но сложность операций с воротами зависит от конкретных моделируемых взаимодействий.

Ограничения кодирования

Преобразование Джордана-Вигнера кодирует фермионные операторы в операторы кубита, но оно вводит нелокальные строковые операторы, которые могут сделать моделирование неэффективным. Вентиль FSWAP используется для смягчения этой неэффективности путем изменения порядка фермионов (или их представлений в кубитах), тем самым упрощая реализацию фермионных операций.

сеть SWAP (

Сети FSWAP перестраивают кубиты для эффективного моделирования динамики электронов в молекулах. Эти сети необходимы для уменьшения сложности вентилей в симуляциях, особенно для взаимодействий несмежных электронов .

Когда две фермионные моды (представленные как кубиты после преобразования Джордана-Вигнера) меняются местами, вентиль FSWAP не только меняет свои состояния, но и правильно обновляет фазу волновой функции для поддержания фермионной антисимметрии . В этом отличие от стандартного вентиля SWAP , который не учитывает изменение фазы, необходимое в антисимметричных волновых функциях фермионов.

Использование вентилей FSWAP может значительно снизить сложность квантовых схем моделирования фермионных систем. Путем разумной перестановки фермионов можно уменьшить количество вентилей, необходимых для моделирования определенных фермионных операций, что приведет к более эффективному моделированию. Это особенно полезно при моделировании, когда фермионы необходимо перемещать на большие расстояния внутри системы, поскольку это позволяет избежать необходимости выполнения длинных цепочек операций, которые в противном случае потребовались бы.

Дальнейшее чтение

• Кук, Дэвид Брэнстон (1998). Справочник по вычислительной квантовой химии . Издательство Оксфордского университета. ISBN  9780198501145 . OCLC   468919475 .