Подпространства без декогеренции

Подпространство без декогеренции ( DFS ) — это подпространство системы , квантовой гильбертова пространства которое инвариантно к неунитарной динамике. Альтернативно говоря, они представляют собой небольшую часть системного гильбертова пространства, где система отделена от окружающей среды и, следовательно, ее эволюция полностью унитарна. DFS также можно охарактеризовать как особый класс квантовых кодов с исправлением ошибок . В этом представлении они являются пассивными кодами, предотвращающими ошибки, поскольку эти подпространства закодированы информацией, которая (возможно) не потребует каких-либо активных методов стабилизации. Эти подпространства предотвращают разрушительные взаимодействия с окружающей средой, изолируя квантовую информацию . По существу, они являются важным предметом в квантовых вычислениях , где ( когерентное желаемой целью является ) управление квантовыми системами. Декогеренция создает проблемы в этом отношении, вызывая потерю когерентности между квантовыми состояниями системы и, следовательно, распад их интерференционных членов, что приводит к потере информации из (открытой) квантовой системы в окружающую среду. Поскольку квантовые компьютеры не могут быть изолированы от окружающей среды (т.е. у нас не может быть по-настоящему изолированной квантовой системы в реальном мире) и информация может быть потеряна, изучение DFS важно для внедрения квантовых компьютеров в реальный мир.

Фон

Происхождение

Исследование DFS началось с поиска структурированных методов, позволяющих избежать декогеренции в области квантовой обработки информации (QIP). Методы включали попытки идентифицировать конкретные состояния, которые потенциально могут быть изменены в результате определенных процессов декогеренции (т.е. определенных взаимодействий с окружающей средой). Эти исследования начались с наблюдений Г. М. Пальмы, К. А. Суоминена и А. К. Экерта , которые изучали последствия чистой дефазировки на двух кубитах , одинаково взаимодействующих с окружающей средой. Они обнаружили, что два таких кубита не декогерируют. ^[1] Первоначально для описания этой ситуации Пальма использовал термин «субдекогеренция». Заслуживает внимания также независимая работа Мартина Пленио , Влатко Ведрала и Питера Найта , которые построили код исправления ошибок с кодовыми словами, инвариантными относительно определенной унитарной временной эволюции при спонтанном излучении. ^[2]

Дальнейшее развитие

Вскоре после этого Л. М. Дуань и Г. К. Го также изучили это явление и пришли к тем же выводам, что и Пальма, Суоминен и Экерт. Однако Дуань и Го применили свою собственную терминологию, используя «состояния, сохраняющие когерентность», для описания состояний, которые не декогерируют с дефазировкой. Дуань и Го развили идею объединения двух кубитов для сохранения когерентности от дефазировки, как для коллективной дефазировки, так и для диссипации, показывая, что декогеренция предотвращается в такой ситуации. системы и окружающей среды Это было показано путем предположения о силе связи . Однако такие модели были ограничены, поскольку они имели дело исключительно с процессами декогеренции, дефазировки и диссипации. Чтобы иметь дело с другими типами декогеренции, предыдущие модели, представленные Пальмой, Суоминеном и Экертом, а также Дуаном и Го, были приданы более общей форме П. Занарди и М. Разетти. Они расширили существующую математическую структуру, включив в нее более общие взаимодействия системы и окружающей среды, такие как коллективная декогеренция — один и тот же процесс декогеренции, действующий на все состояния квантовой системы и общие состояния. Гамильтонианы . Их анализ дал первые формальные и общие обстоятельства существования состояний без декогеренции (DF), которые не зависели от знания силы связи системы и окружающей среды. Занарди и Разетти назвали эти состояния DF «кодами предотвращения ошибок». Впоследствии Дэниел А. Лидар предложил название «подпространство без декогеренции» для пространства, в котором существуют эти состояния DF. Лидар изучил устойчивость состояний DF к возмущениям и обнаружил, что преобладающая в состояниях DF когерентность может быть нарушена эволюцией гамильтониана системы. Это наблюдение открыло еще одну предпосылку для возможного использования состояний DF для квантовых вычислений. Совершенно общее требование существования состояний DF было получено Лидаром, Д. Бэконом и К.Б. Уэйли и выражено в терминах представления суммы операторов Крауса (OSR). Позже А. Шабани и Лидар обобщили структуру DFS, ослабив требование о том, что начальное состояние должно быть DF-состоянием, и изменили некоторые известные условия для DFS. ^[3]

Недавние исследования

Дальнейшее развитие обобщение картины ДФС получило, когда Э. Книлл, Р. Лафламм и Л. Виола ввели понятие «бесшумной подсистемы». ^[1] Книлл распространил его на неприводимые представления более высокой размерности алгебры , порождающей динамическую симметрию во взаимодействии системы и окружающей среды. Более ранние работы над DFS описывали состояния DF как синглеты , которые являются одномерными неприводимыми представлениями. Эта работа оказалась успешной, в результате этого анализа произошло снижение количества кубитов, необходимых для построения DFS в условиях коллективной декогеренции, с четырех до трех. ^[1] Обобщение от подпространств к подсистемам легло в основу объединения наиболее известных стратегий предотвращения декогеренции и обнуления.

Условия существования подпространств без декогеренции

гамильтонова формулировка

Рассмотрим N -мерную квантовую систему S, связанную с ванной B и описываемую комбинированным гамильтонианом системы и ванны следующим образом: ${\hat {H}}={\hat {H}}_{S}\otimes {\hat {I}}_{B}+{\hat {I}}_{S}\otimes {\hat {H}}_{B}+{\hat {H}}_{I},$ где гамильтониан взаимодействия ${\hat {H}}_{I}$ дается обычным способом как ${\hat {H}}_{I}=\sum _{i}{\hat {S}}_{i}\otimes {\hat {B}}_{i},$ и где ${\hat {S}}_{i}{\big (}{\hat {B}}_{i}{\big )}$ действовать только на систему (ванну) и ${\hat {H}}_{S}{\big (}{\hat {H}}_{B}{\big )}$ – гамильтониан системы (ванны), а ${\hat {I}}_{S}{\big (}{\hat {I}}_{B}{\big )}$ – тождественный оператор, действующий на систему (ванну). В этих условиях динамическая эволюция внутри ${\tilde {\mathcal {H}}}_{S}\subset {\mathcal {H}}_{S}$ , где ${\mathcal {H}}_{S}$ — системное гильбертово пространство, полностью унитарно $\forall |\phi \rangle$ (все возможные состояния ванны) тогда и только тогда, когда:

${\hat {S}}_{i}|\phi \rangle =s_{i}|\phi \rangle ,s_{i}\in \mathbb {C}$ для всех $|\phi \rangle$ этот промежуток ${\mathcal {\tilde {H}}}_{S}$ и $\forall {\hat {S}}_{i}\in {\mathcal {O}}_{SB}({\mathcal {H}}_{SB})$ , пространство ограниченных операторов системной ванны на ${\mathcal {H}}_{SB}$ ,
система и ванна изначально не связаны (т.е. их можно представить как состояние продукта),
нет «утечки» состояний из ${\mathcal {\tilde {H}}}_{S}$ ; т. е. системный гамильтониан ${\hat {H}}_{S}$ не отображает штаты $|\phi \rangle$ из ${\mathcal {\tilde {H}}}_{S}$ .

Другими словами, если система начинается в ${\mathcal {\tilde {H}}}_{S}$ (т.е. система и ванна изначально разделены) и гамильтониан системы ${\hat {H}}_{S}$ листья ${\textstyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}=\operatorname {span} \left[\left\{|\phi _{k}\rangle \right\}_{k=1}^{N}\right]}$ инвариант, тогда ${\mathcal {\tilde {H}}}_{S}$ является DFS тогда и только тогда, когда он удовлетворяет условию (i).

Эти состояния являются вырожденными собственными состояниями ${\hat {S}}_{i}\in {\mathcal {O}}_{SB}({\mathcal {H}}_{SB})$ и, таким образом, различимы, следовательно, сохраняют информацию в определенных процессах декогеренции. Любое подпространство системного гильбертова пространства, удовлетворяющее указанным выше условиям, является подпространством без декогеренции. Однако информация все равно может «утечь» из этого подпространства, если условие (iii) не выполнено. Следовательно, даже если ДФС существует в гамильтоновых условиях, все равно существуют неунитарные действия, которые могут действовать на эти подпространства и переносить состояния из них в другое подпространство, которое может быть или не быть ДФС системного гильбертова пространства.

Формулировка представления операторной суммы

Позволять ${\mathcal {\tilde {H}}}_{S}\subset {\mathcal {H}}_{S}$ быть N-мерной DFS, где ${\mathcal {H}}_{S}$ — это гильбертово пространство системы (только квантовой системы). Операторы Крауса , записанные в терминах $базиса N,$ утверждают, что охватывают ${\mathcal {H}}_{S}$ даны как: ^{[ нужны разъяснения ]} $\mathbf {A} _{l}={\begin{pmatrix}g_{l}\mathbf {\tilde {U}} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {\bar {A}} _{l}\end{pmatrix}},\quad g_{l}={\sqrt {a_{j}}}\langle k|\mathbf {U} _{C}|j\rangle$ где ${\textstyle \mathbf {U} _{C}=\exp \left({-i\mathbf {H} _{C}t}/{\hbar }\right)}$ ( $\mathbf {H} _{C}$ — объединенный гамильтониан системной ванны), $\mathbf {\tilde {U}}$ действует на ${\mathcal {\tilde {H}}}_{S}\subset {\mathcal {H}}_{S}$ , и $\mathbf {\bar {A}} _{l}$ — произвольная матрица, действующая на ${\mathcal {{\tilde {H}}^{\bot }}}_{S}$ ( ортогональное дополнение к ${\mathcal {\tilde {H}}}_{S}$ ). С $\mathbf {\bar {A}} _{l}$ действует на ${\mathcal {{\tilde {H}}^{\bot }}}_{S}$ , то это не создаст декогеренции в ${\mathcal {\tilde {H}}}_{S}$ ; однако он может (возможно) создавать эффекты декогеренции в ${\mathcal {{\tilde {H}}^{\bot }}}_{S}$ . Рассмотрим базисные наборы $\left\{|j\rangle \right\}_{j=1}^{N}$ который охватывает ${\mathcal {\tilde {H}}}_{S}$ и, кроме того, они выполняют: $\mathbf {\bar {A}} _{l}|j\rangle =g_{l}\mathbf {\tilde {U}} |j\rangle ,\quad \forall {l}.$

$\mathbf {\tilde {U}}$ является произвольным унитарным оператором и может зависеть или не зависеть от времени, но не зависит от индексирующей переменной. $l$ . $g_{l}$ 's - комплексные константы. С $\left\{|j\rangle \right\}_{j=1}^{N}$ пролеты ${\mathcal {\tilde {H}}}_{S}$ , то любое чистое состояние $|\psi \rangle \in {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}$ можно записать как линейную комбинацию этих базисных наборов: $|\psi \rangle =\sum _{j=1}^{N}b_{j}|j\rangle ,\quad b_{j}\in \mathbb {C} .$

Это состояние будет свободным от декогеренции; в этом можно убедиться, рассмотрев действие $\mathbf {\bar {A}} _{l}$ на $|\psi \rangle$ : ${\begin{aligned}\mathbf {\bar {A}} _{l}|\psi \rangle &=\sum _{j=1}^{N}b_{j}(\mathbf {\bar {A}} _{l}|j\rangle )\\&=\sum _{j=1}^{N}b_{j}(g_{l}\mathbf {\tilde {U}} |j\rangle )\\\mathbf {\bar {A}} _{l}|\psi \rangle &=g_{l}\mathbf {\tilde {U}} |\psi \rangle .\end{aligned}}$

Следовательно, в терминах оператора плотности представления $|\psi \rangle$ , $\rho _{\text{initial}}=|\psi \rangle \langle \psi |$ , эволюция этого состояния такова: ${\begin{aligned}\rho _{\text{final}}&=\sum _{l}\mathbf {A} _{l}\rho _{\text{initial}}\mathbf {A} _{l}^{\dagger }\\&=\sum _{l}g_{l}\mathbf {\tilde {U}} |\psi \rangle \langle \psi |h_{l}\mathbf {\tilde {U}} ^{\dagger }\\&=\mathbf {\tilde {U}} |\psi \rangle \langle \psi |\mathbf {\tilde {U}} ^{\dagger }.\end{aligned}}$

Приведенное выше выражение говорит о том, что $\rho _{\text{final}}$ является чистым состоянием и что его эволюция унитарна, поскольку $\mathbf {\tilde {U}}$ является унитарным. Поэтому любое государство в ${\mathcal {\tilde {H}}}_{S}$ не будет декогерировать, поскольку его эволюция управляется унитарным оператором, и поэтому его динамическая эволюция будет полностью унитарной. Таким образом ${\mathcal {\tilde {H}}}_{S}$ является подпространством без декогеренции. Приведенный выше аргумент можно обобщить на произвольное начальное смешанное состояние . и ^[1]

Полугрупповая формулировка

Эта формулировка использует полугрупповой подход . Член декогерентности Линдблада определяет, когда динамика квантовой системы будет унитарной; в частности, когда $L_{D}[\rho ]=0$ , где $\rho$ — представление состояния системы оператором плотности, динамика будет без декогеренции. Позволять $\left\{|j\rangle \right\}_{j=1}^{N}$ охватывать ${\mathcal {\tilde {H}}}_{S}\subset {\mathcal {H}}_{S}$ , где ${\mathcal {H}}_{S}$ — гильбертово пространство системы. При предположениях, что:

шумовые параметры матрицы коэффициентов декогерентного члена Линдблада не настраиваются точно (т.е. в отношении них не делается никаких специальных предположений)
нет зависимости от начальных условий начального состояния системы

необходимое и достаточное условие для ${\mathcal {\tilde {H}}}_{S}$ быть DFS - это $\forall {|j\rangle }$ : $\mathbf {F} _{\alpha }|j\rangle =\lambda _{\alpha }|j\rangle ,\quad \forall \alpha .$

Вышеприведенное выражение утверждает, что все базисные состояния $|j\rangle$ являются вырожденными собственными состояниями генераторов ошибок $\left\{\mathbf {F} _{\alpha }\right\}_{\alpha =1}^{M=N\times {N}}.$ По существу, их соответствующие члены когерентности не декогерируют. Таким образом, государства внутри ${\mathcal {\tilde {H}}}_{S}$ останутся взаимно различимыми после процесса декогеренции, поскольку их соответствующие собственные значения вырождены и, следовательно, идентифицируемы после воздействия генераторов ошибок.

DFS как особый класс структур сохранения информации (IPS) и квантовых кодов с исправлением ошибок (QECC)

Информационно-сохраняющие структуры (ИСС)

DFS можно рассматривать как «кодирование» информации через набор состояний. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим d -мерную открытую квантовую систему, которая находится в состоянии ${\boldsymbol {\rho }}$ - неотрицательный (т.е. его собственные значения положительны), нормализованный по следу ( $\operatorname {Tr} [\rho ]=1$ ), $d\times d$ системы оператор плотности, принадлежащий пространству Гильберта – Шмидта , пространству ограниченных операторов на ${\mathcal {H}}$ ( ${\mathcal {B({\mathcal {H}})}}$ ). Предположим, что этот оператор плотности (состояние) выбран из набора состояний $S=\left\{\rho _{i}\right\}_{i=1}^{n}\in {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}$ , DFS ${\mathcal {H}}_{S}$ (гильбертово пространство системы) и где $n<d$ . Этот набор состояний называется кодом , поскольку состояния внутри этого набора кодируют определенный вид информации; ^[4] то есть набор S кодирует информацию через свои состояния. Эта информация, содержащаяся внутри $S$ должен быть доступен доступ; поскольку информация закодирована в состояниях в $S$ , эти состояния должны быть отличимы от некоторого процесса, ${\boldsymbol {\zeta }}$ говорят, что пытается получить информацию. Следовательно, для двух состояний ${\boldsymbol {\rho }}_{i},{\boldsymbol {\rho }}_{j}\in S,\;(i\neq j)$ , процесс ${\boldsymbol {\zeta }}$ сохраняется ли информация для этих состояний, если состояния ${\boldsymbol {\rho }}_{i},{\boldsymbol {\rho }}_{j}$ остаются такими же различимыми после процесса, как и до него. В более общем виде код $S$ (или DFS) сохраняется процессом ${\boldsymbol {\zeta }}$ тогда и только тогда, когда каждая пара состояний ${\boldsymbol {\rho }}_{i},{\boldsymbol {\rho }}_{j}\in S$ так же различим после ${\boldsymbol {\zeta }}$ применяется так, как было до его применения. ^[4] Более практическое описание было бы таким: $S$ сохраняется процессом ${\boldsymbol {\zeta }}$ тогда и только тогда, когда $\forall {\boldsymbol {\rho }},{\boldsymbol {\rho }}'\in S$ и $x\in \mathbb {R} ^{+}$ ${\big \|}{\boldsymbol {\zeta }}{\big (}{\boldsymbol {\rho }}-x{\boldsymbol {\rho }}'{\big )}{\big \|}_{1}={\big \|}{\boldsymbol {\rho }}-x{\boldsymbol {\rho }}'{\big \|}_{1}.$

Это просто говорит о том, что ${\boldsymbol {\zeta }}$ представляет собой карту 1:1, сохраняющую расстояние трассировки на $S$ . ^[4] В этой картине DFS представляют собой наборы состояний (вернее, кодов), на взаимную различимость которых не влияет процесс. ${\boldsymbol {\zeta }}$ .

Квантовые коды с исправлением ошибок (QECC)

Поскольку DFS могут кодировать информацию через свои наборы состояний, они защищены от ошибок (процессов декогеренции). Таким образом, DFS можно рассматривать как особый класс QECC, где информация кодируется в состояния, которые могут быть нарушены взаимодействием с окружающей средой, но восстановлены в результате некоторого обратного процесса. ^[1]

Рассмотрим код $C=\operatorname {span} \left[\left\{|j_{k}\rangle \right\}\right]$ , которое является подпространством системного гильбертова пространства, с закодированной информацией, заданной формулой $\left\{|j_{k}\rangle \right\}$ (т.е. «кодовые слова»). Этот код может быть реализован для защиты от декогеренции и, таким образом, предотвращения потери информации в небольшом участке гильбертова пространства системы. Ошибки вызваны взаимодействием системы с окружающей средой (ванной) и представлены операторами Крауса. ^[1] После взаимодействия системы с ванной информация, содержащаяся внутри $C$ должен иметь возможность «декодироваться»; поэтому для получения этой информации оператор восстановления $\mathbf {R}$ вводится. Итак, QECC — это подпространство $C$ вместе с набором операторов восстановления $\left\{\mathbf {R} _{r}\right\}.$

Позволять $C$ быть QECC для операторов ошибок, представленных операторами Крауса $\left\{\mathbf {A} _{l}\right\}$ , с операторами восстановления $\left\{\mathbf {R} _{r}\right\}.$ Затем $C$ является DFS тогда и только тогда, когда при ограничении $C$ , затем $\mathbf {R} _{r}\propto \mathbf {\tilde {U}} _{S}^{\dagger },\forall {r}$ , ^[1] где $\mathbf {\tilde {U}} _{S}^{\dagger }$ является обратным оператору эволюции системы.

В этой картине обращения квантовых операций DFS являются частным случаем более общих QECC, после чего ограничения на данный код операторы восстановления становятся пропорциональными обратному оператору эволюции системы, что позволяет обеспечить унитарную эволюцию системы.

Обратите внимание, что тонкая разница между этими двумя формулировками заключается в двух словах: сохранение и исправление ; в первом случае используется метод предотвращения ошибок , тогда как во втором случае это исправление ошибок . Таким образом, две формулировки отличаются тем, что одна представляет собой пассивный метод, а другая — активный метод.

Пример подпространства без декогеренции

Коллективная дефазировка

Рассмотрим двухкубитное гильбертово пространство, натянутое базисными кубитами. $\left\{|0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2},|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2},|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2},|1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}\right\}$ которые подвергаются коллективной дефазировке . Случайная фаза $\phi$ будут созданы между этими базисными кубитами; следовательно, кубиты преобразуются следующим образом:

${\begin{aligned}|0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}&\longrightarrow |0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}\\|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}&\longrightarrow e^{i\phi }|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}\\|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}&\longrightarrow e^{i\phi }|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}\\|1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}&\longrightarrow e^{2i\phi }|1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}.\end{aligned}}$

При этом преобразовании базис утверждает $|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2},|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}$ получить тот же фазовый коэффициент $e^{i\phi }$ . Таким образом, принимая во внимание это, государство $|\psi \rangle$ могут быть закодированы с помощью этой информации (т. е. фазового коэффициента) и, таким образом, эволюционировать унитарно в рамках этого процесса дефазировки, определяя следующие закодированные кубиты:

${\begin{aligned}|0_{E}\rangle &=|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}\\|1_{E}\rangle &=|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}.\end{aligned}}$

Поскольку это базисные кубиты, то любое состояние можно записать как линейную комбинацию этих состояний; поэтому, $|\psi _{E}\rangle =l|0_{E}\rangle +m|1_{E}\rangle ,\quad l,m\in \mathbb {C} .$

Это состояние будет развиваться в процессе дефазировки как: $|\psi _{E}\rangle \longrightarrow l|0\rangle _{1}\otimes e^{i\phi }|1\rangle _{2}+e^{i\phi }m|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}=e^{i\phi }|\psi _{E}\rangle .$

Однако общая фаза квантового состояния ненаблюдаема и, как таковая, не имеет значения для описания состояния. Поэтому, $|\psi _{E}\rangle$ остается инвариантным относительно этого процесса дефазировки и, следовательно, базисный набор ${\big \{}|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2},|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}{\big \}}$ — подпространство без декогеренции в 4-мерном гильбертовом пространстве. Аналогично, подпространства ${\big \{}|0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}{\big \}},{\big \{}|1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}{\big \}}$ также являются DFS.

Альтернатива: подсистемы без декогеренции.

Рассмотрим квантовую систему с N-мерным системным гильбертовым пространством. ${\mathcal {H}}_{C}$ который имеет общую декомпозицию подсистем ${\textstyle {\mathcal {H}}_{C}=\bigoplus _{j=1}^{N}(\bigotimes _{i=1}^{l_{N}}{\mathcal {H}}_{ji}).}$ Подсистема ${\mathcal {H}}_{ji}$ является подсистемой без декогеренции относительно связи системы и окружающей среды, если каждое чистое состояние в ${\mathcal {H}}_{ji}$ остается неизменным по отношению к этой подсистеме в ходе эволюции ЛРН. Это справедливо для любого возможного начального состояния среды. ^[5] без декогеренции Чтобы понять разницу между подпространством без декогеренции и подсистемой , рассмотрим кодирование одного кубита информации в двухкубитную систему. Эта двухкубитная система имеет 4-мерное гильбертово пространство; Один из методов кодирования одного кубита в это пространство — это кодирование информации в подпространство, охватываемое двумя ортогональными кубитами 4-мерного гильбертова пространства. Предположим, информация закодирована в ортогональном состоянии. $\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle$ следующим образом:

$\alpha |0\rangle _{1}+\beta |1\rangle _{2}\longrightarrow \alpha |0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}+\beta |1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}.$

Это показывает, что информация была закодирована в подпространстве двухкубитного гильбертова пространства. Другой способ кодирования той же информации — закодировать только один из кубитов двух кубитов. Предположим, что первый кубит закодирован, тогда состояние второго кубита совершенно произвольно, поскольку:

$\alpha |0\rangle _{1}+\beta |1\rangle _{2}\longrightarrow {\bigl (}\alpha |0\rangle _{1}+\beta |1\rangle _{2}{\bigr )}\otimes |\psi \rangle .$

Это отображение представляет собой отображение «один ко многим» информации о кодировании одного кубита в гильбертово пространство с двумя кубитами. ^[5] Вместо этого, если отображение должно $|\psi \rangle$ , то оно идентично отображению кубита в подпространство двухкубитного гильбертова пространства.

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Лидар, Дэниел А.; Уэйли, К. Биргитта (2003). «Подпространства и подсистемы без декогеренции». В Бенатти, Ф.; Флореанини, Р. (ред.). Необратимая квантовая динамика . Конспекты лекций Спрингера по физике. Том. 622. Берлин. стр. 83–120. arXiv : Quant-ph/0301032 . Бибкод : 2003ЛНП...622...83Л . дои : 10.1007/3-540-44874-8_5 . ISBN 978-3-540-40223-7 . S2CID 117748831 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Пленио, МБ; Ведрал, В.; Найт, Польша (1997). «Квантовая коррекция ошибок при наличии спонтанной эмиссии». Физ. Преподобный А. 55 (1): 67. arXiv : quant-ph/9603022 . Бибкод : 1997PhRvA..55...67P . дои : 10.1103/PhysRevA.55.67 . S2CID 119420057 .
^ Шабани, Алиреза; Лидар, Дэниел А. (2005). «Теория подпространств и подсистем, свободных от инициализации и декогеренции». Физ. Преподобный А. 72 (4): 042303. arXiv : quant-ph/0505051 . Бибкод : 2005PhRvA..72d2303S . дои : 10.1103/PhysRevA.72.042303 . S2CID 3729369 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Блюм-Когоут, Робин; Нг, Хуэй Хун; Пулен, Дэвид; Виола, Лоренца (2008). «Характеристика структуры сохраняемой информации в квантовых процессах». Физ. Преподобный Летт . 100 (3): 030501. arXiv : 0705.4282 . Бибкод : 2008PhRvL.100c0501B . doi : 10.1103/PhysRevLett.100.030501 . ПМИД 18232952 . S2CID 14309547 .
^ Jump up to: ^а ^б Бэкон, Д. (2001). Декогерентность, управление и симметрия в квантовых компьютерах (кандидатская диссертация). Калифорнийский университет, Беркли. arXiv : Quant-ph/0305025 .

[Lidar_and_Whaley-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Лидар, Дэниел А.; Уэйли, К. Биргитта (2003). «Подпространства и подсистемы без декогеренции». В Бенатти, Ф.; Флореанини, Р. (ред.). Необратимая квантовая динамика . Конспекты лекций Спрингера по физике. Том. 622. Берлин. стр. 83–120. arXiv : Quant-ph/0301032 . Бибкод : 2003ЛНП...622...83Л . дои : 10.1007/3-540-44874-8_5 . ISBN 978-3-540-40223-7 . S2CID 117748831 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[Plenio,_Vedral_and_Knight-2] Пленио, МБ; Ведрал, В.; Найт, Польша (1997). «Квантовая коррекция ошибок при наличии спонтанной эмиссии». Физ. Преподобный А. 55 (1): 67. arXiv : quant-ph/9603022 . Бибкод : 1997PhRvA..55...67P . дои : 10.1103/PhysRevA.55.67 . S2CID 119420057 .

[Shabani_and_Lidar-3] Шабани, Алиреза; Лидар, Дэниел А. (2005). «Теория подпространств и подсистем, свободных от инициализации и декогеренции». Физ. Преподобный А. 72 (4): 042303. arXiv : quant-ph/0505051 . Бибкод : 2005PhRvA..72d2303S . дои : 10.1103/PhysRevA.72.042303 . S2CID 3729369 .

[Blume-Kohout,_Khoon_Ng,_Poulin,_and_Viola-4] Jump up to: ^а ^б ^с Блюм-Когоут, Робин; Нг, Хуэй Хун; Пулен, Дэвид; Виола, Лоренца (2008). «Характеристика структуры сохраняемой информации в квантовых процессах». Физ. Преподобный Летт . 100 (3): 030501. arXiv : 0705.4282 . Бибкод : 2008PhRvL.100c0501B . doi : 10.1103/PhysRevLett.100.030501 . ПМИД 18232952 . S2CID 14309547 .

[Bacon-5] Jump up to: ^а ^б Бэкон, Д. (2001). Декогерентность, управление и симметрия в квантовых компьютерах (кандидатская диссертация). Калифорнийский университет, Беркли. arXiv : Quant-ph/0305025 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]